知識導(dǎo)圖
考點(diǎn)分類講解
考點(diǎn)一：截面問題
規(guī)律方法 作幾何體截面的方法
(1)利用平行直線找截面．
(2)利用相交直線找截面．
考向1 多面體中的截面問題
【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先確定截面的形狀，再通過幾何計(jì)算，確定面積的最大值.
【詳解】連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所?br>且，平面，所以平面，平面，
所以，同理，且，平面，
所以平面；
所以平面為平面或與其平行的平面，只能為三角形或六邊形.
當(dāng)為三角形時，其面積的最大值為；
當(dāng)為六邊形時，此時的情況如圖所示，
設(shè)，則，
依次可以表示出六邊形的邊長，如圖所示：六邊形可由兩個等腰梯形構(gòu)成，
其中，兩個等腰梯形的高分別為，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時截面面積最大，最大值為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵1是理解題意，并能利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，直觀象限和數(shù)學(xué)計(jì)算相結(jié)合，2是確定平面，從而將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體計(jì)算.
【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的動點(diǎn)（包含端點(diǎn)），當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時，則過，，三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為 邊形．

【答案】五
【分析】利用線線、線面平行的性質(zhì)作出截面即可判斷.
【詳解】

如圖，取中點(diǎn)，連接，有，且，
則四邊形是平行四邊形，有，過作的平行線交于點(diǎn)，
此時，則，即為過，，三點(diǎn)的平面與平面的交線，
連接，在上取點(diǎn)，使得，連接，同證的方法得，
在棱上取點(diǎn)，使，連接并延長交直線于，則，
即，而，于是四邊形是平行四邊形，
有，則為過，，三點(diǎn)的平面與平面的交線，
連接，則可得五邊形即為正方體中過，，三點(diǎn)的截面．
故答案為：五
【變式2】（23-24高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為矩形，為的中點(diǎn)，平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為 .
【答案】
【分析】設(shè)四棱錐的體積為，取的中點(diǎn)，連接、、、，即可得到為截面，再根據(jù)錐體的體積公式得到，從而得解.
【詳解】設(shè)四棱錐的體積為，取的中點(diǎn)，連接、、、，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又，
所以，，所以、、、四點(diǎn)共面，即為截面，
又，其中，
，
所以，
即截面截得四棱錐上部分的體積為，則下部分的體積為，
所以平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.
故答案為：
【變式3】(多選）（2023·河北承德·模擬預(yù)測）如圖，正六棱柱的各棱長均為1，下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．過A，，三點(diǎn)的平面截該六棱柱的截面面積為
B．過A，，三點(diǎn)的平面將該六棱柱分割成體積相等的兩部分
C．以A為球心，1為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為
D．以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為
【答案】ACD
【分析】對于A：根據(jù)平行關(guān)系分析交線，進(jìn)而運(yùn)算求解；對于B：利用割補(bǔ)法求體積，分析運(yùn)算；對于C、D：根據(jù)球的半徑分析交線，運(yùn)算求解.
【詳解】對于A：過點(diǎn)A作//，設(shè)，
連接，設(shè)，
則過A，，三點(diǎn)的平面截該六棱柱的截面即為，
可得，
因?yàn)?，?/，則，
可得，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
，平面，可得平面，
平面，則，
由//，則，
連接，則，
故截面面積，故A正確；
對于B：連接CE，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
，，平面，可得平面，
則四棱錐的高為，則其體積，
四棱柱的體積，
三棱柱的體積，
故平面下半部分的體積，
正六棱柱的體積，
顯然，故B錯誤；
對于C：因?yàn)榍虻陌霃綖?，則球只與側(cè)面、側(cè)面和底面相交，
因?yàn)?，在?cè)面、側(cè)面的交線為個圓，在底面的交線為個圓，半徑均為1，
故交線的長為，故C正確；
對于D：因?yàn)榍虻陌霃綖?，顯然球不與側(cè)面、側(cè)面相交，
由選項(xiàng)A可知：平面，且，
則球與側(cè)面、側(cè)面分別交于點(diǎn)、，
連接，則，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，
，平面，可得平面，
且，則球與側(cè)面的交線為個圓，且半徑為1，
同理可得：球與側(cè)面的交線為個圓，且半徑為1，
又因?yàn)槠矫?，且?br>則球與底面的交線為個圓，且半徑為，
又因?yàn)?，則球與底面的交點(diǎn)為D，
所以球面與該六棱柱的各面的交線總長為，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法定睛：在立體幾何中，某些點(diǎn)、線、面按照一定的規(guī)則運(yùn)動，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與探求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化．對于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動點(diǎn)的位置，然后對任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問題．對每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性.
考向2 球的截面問題
【例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正方形的邊長為4，若將沿BD翻折到的位置，使得二面角為，N為的四等分點(diǎn)靠近D點(diǎn)，已知點(diǎn)，B，C，D都在球O的表面上，過N作球O的截面，則截球所得截面面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】記BC的中點(diǎn)為O，可得O為外接球球心，當(dāng)截面時，截面面積最小，再利用余弦定理及截面小圓性質(zhì)計(jì)算求解.
【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)為O，
由正方形的邊長為4，則，
因此O為空間四邊形的外接球球心，外接球半徑，
設(shè)球心到平面的距離為d，截面圓的半徑為r，則有，
即，當(dāng)截面時，d最大，此時截面面積最小，且，
在中，，，，由余弦定理可得，
，
此時，
所以截面面積最小值為.
故選：D
【變式1】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為 ．
【答案】
【分析】利用球的截面圓性質(zhì)求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.
【詳解】由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑，
則該球的體積為.
故答案為：.
【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知球的直徑，、是該球面上的兩點(diǎn)，且，，，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理證明，設(shè)的外心為中點(diǎn)，可得平面，由計(jì)算得解.
【詳解】設(shè)球心為，連結(jié)、，
為球的直徑，A、是球面上的點(diǎn)，．
又，，，
，，．
又，，
，設(shè)的外心為中點(diǎn)，
連接，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，
，
，
，三棱錐的體積為．
故選：C．
考點(diǎn)二 交線問題
規(guī)律方法 找交線的方法
(1)線面交點(diǎn)法：各棱線與截平面的交點(diǎn)．
(2)面面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線．
考向1 多面體中的交線問題
【例3】（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知在正方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線分別為，，則（ ）
A．的長度為B．的長度為
C．的長度為D．的長度為
【答案】A
【分析】做出截面，確定線段，，由平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可得解.
【詳解】如圖所示，
連接并延長交的延長線于，連接并延長交于點(diǎn)，
交的延長線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，
則即為，即為，
由，得，所以，，
由，得，則，
所以，故C，D項(xiàng)錯誤；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用平面的性質(zhì)作出截面，從而得到為，為，由此得解.
【變式1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面滿足，若直線AC到平面的距離與BC1到平面的距離相等，平面與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】D
【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，證明6點(diǎn)共面，為六邊形，再證明此平面滿足條件即可得解.
【詳解】如圖，
設(shè)分別為的中點(diǎn)，
連接，
，
，，
同理可得，，，
共面，
平面，平面，
平面，
同理可得平面，
為的中點(diǎn)，
到平面的距離與到平面的距離相等，
即平面為所求的平面，故與正方體交線為正六邊形.
故選：D
【變式2】（23-24高三下·北京海淀·階段練習(xí)）“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，則下列說法正確的是（ ）
A．一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線互相垂直
B．該“十字貫穿體”的表面積是
C．該“十字貫穿體”的體積是
D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線長為
【答案】C
【分析】對于A：求出，看是否符合勾股定理即可；對于B：該“十字貫穿體”由個正方形和個與梯形全等的梯形組成，分別求出來即可；對于C：求出兩個正四棱錐重疊部分為多面體的體積，然后求整個幾何體的體積；對于D：將面，面，面繞著面與面之間的交線旋轉(zhuǎn)到與面共面，則線段的長即為所求.
【詳解】依題意，不妨設(shè)該幾何體中心對稱，
對于A：在梯形中，，，
則，所以，
即一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線不互相垂直，A錯誤；
對于B：該“十字貫穿體”由個正方形和個與梯形全等的梯形組成，
故表面積，B錯誤；
對于C：如圖兩個正四棱錐重疊部分為多面體，取的中點(diǎn)，
則多面體可以分成個全等的三棱錐，
又，
所以該“十字貫穿體”的體積是，C正確；
對于D：將面，面，面繞著面與面之間的交線旋轉(zhuǎn)到與面共面，如圖：
則，所以為鈍角，
連接，則線段的長為一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線長，根據(jù)對稱性可得，
因?yàn)?，所以?br>又，
所以，
所以，又，
所以，
則，D錯誤.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于幾何體表面距離和問題，一般通過將各面旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為共面問題，然后距離最小問題可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短或者垂線段最短的問題來解答.
【變式3】（多選）（23-24高三上·湖北·期中）如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)E、F、G分別在棱、、上，滿足，，記平面與平面的交線為，則（ ）
A．存在使得平面截正方體所得截面圖形為四邊形
B．當(dāng)時，三棱錐體積為
C．當(dāng)時，三棱錐的外接球表面積為
D．當(dāng)時，直線與平面所成的角的正弦值為
【答案】BD
【分析】對于，對分情況討論，圖形展示即可；
對于， 當(dāng)時，，得出平面 ，利用等體積可求體積；
對于，當(dāng)時，三棱錐的外接球心在過線段的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線上，可求出，得表面積；
對于，求出的方向向量與平面法向量，利用向量公式可得答案.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為4，以為原點(diǎn)，以、、所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

對于A選項(xiàng)，時，在點(diǎn)，，由可知，所以截面即為四邊形；由圖形知，截面為五邊形或六邊形．故A錯誤．

對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，所以，所以平面，，又平面，
所以，三棱錐體積為，故B正確．
對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，且平面，
所以根據(jù)球的性質(zhì)容易判斷，三棱錐的外接球的球心在過線段的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線上，
，，所以的中點(diǎn)，可記球心，，
外接球的半徑，解得，，
所以三棱錐的外接球表面積為，故C錯誤．
對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，，，，，，
所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，，所以可取，
由平面知，平面的法向量為，
記平面與平面的交線的一個方向向量為，
則，令，則，，所以可取，
又平面的法向量為
，則，，，設(shè)與平面所成的角為，
則，故D正確．
故選：BD．
考向2 與球有關(guān)的交線問題
【例4】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）某圓柱的軸截面是面積為12的正方形為圓柱底面圓弧的中點(diǎn)，在圓柱內(nèi)放置一個球，則當(dāng)球的體積最大時，平面與球的交線長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件知當(dāng)球的體積最大時，球與圓柱的上下底面及母線均相切，作出圖形后，計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，當(dāng)球的體積最大時，球與圓柱的上下底面及母線均相切，
因?yàn)檎叫蔚拿娣e為12，所以，
如圖1，記所在底面的圓心為所在底面的圓心為，
平面與球的交線為圓形，
如圖即為截面圓的直徑，
易知，
易知RtRt，
故，所以，
所以交線長為.
故選:D.
【變式1】（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長度的和為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等體積公式求出截面圓的半徑為，畫出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長公式求出，最后求出交線長度.
【詳解】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點(diǎn)在底面的射影為的中心，連接，由，
得，所以，
因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以截面圓的半徑，
所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，
如圖所示

易求，所以，
易得，所以，
所以交線長度和為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題為空間幾何體交線問題，找到球面與三棱錐的表面相交所得到的曲線是解決問題的關(guān)鍵.具體做法為由等體積公式求出截面圓的半徑，畫出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長公式求出，最后求出交線長度.
【變式2】（22-23高三上·河北保定·期末）已知三棱錐的所有棱長均為2，以BD為直徑的球面與的交線為L，則交線L的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別取的中點(diǎn)，由題意分析知，以BD為直徑的球面與的交線為外接圓周長的，求出的外接圓半徑，求解即可.
【詳解】取BD的中點(diǎn)為，所以為球心，過作平面于點(diǎn)，
即為的中心，延長交所以交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
所以，，
取的中點(diǎn)，連接，，則平面，
因?yàn)槠矫妫?，且?br>，
所以為以BD為直徑的球面上一點(diǎn)，
分別取的中點(diǎn)，連接，
且，所以也為以BD為直徑的球面上一點(diǎn)，
則為等邊三角形，的外接圓即為四邊形的外接圓，
為外接圓的半徑，所以，
所以以BD為直徑的球面與的交線L長為外接圓周長的，
所以.
故選：A.
【變式3】（多選）（23-24高三上·遼寧·開學(xué)考試）若平面與一個球只有一個交點(diǎn)，則稱該平面為球的切平面．過球面上一點(diǎn)恒能作出唯一的切平面，且該點(diǎn)處的半徑與切平面垂直．已知在空間直角坐標(biāo)系中，球O的半徑為1．記平面，平面，平面分別為．過球面上一點(diǎn)作切平面，且與的交線為，下列說法正確的是（ ）.
A．的一個方向向量為.
B．的方程為.
C．過正半軸上一點(diǎn)作與原點(diǎn)距離為1的直線，設(shè)，若，則h的取值范圍為.
D．過球面上任意一點(diǎn)作切平面，記，，， 分別為到原點(diǎn)的距離，則
【答案】AC
【分析】對于A，由題可求得切平面與平面的法向量，設(shè)的方向向量為， 利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求得；對于B，確定的位置，進(jìn)而求得其方程；對于C，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得，知當(dāng)與相切時，切點(diǎn)即為點(diǎn)，此時與軸的交點(diǎn)正是點(diǎn)最低的位置即可求得；對于D，分析可知，，，再結(jié)合柯西不等式可得.
【詳解】對于A，由于球面上切點(diǎn)處的半徑垂直于切點(diǎn)處的切平面，
所以切平面的一個法向量是，平面的一個法向量是，
因?yàn)榻痪€同時在與的內(nèi)，所以且，
設(shè)的方向向量為，則，
取 ，故A正確.
對于B，設(shè)，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作于，
則，，
由于與共線，且,得，
從而，
因此，
所以，結(jié)合A選項(xiàng)，取，
易知，直線的一個方向向量為，
所以設(shè)的一般方程為，
代入點(diǎn)可得，解得，
因此的方程為，即，故B錯誤；
對于C，顯然與球O相切，所有的組成雙錐面，雙錐面與平面的交線即為圓.
由于，因此圓與直線相離.
臨界條件下，與相切，的半徑長即為，
下面證明，，，；，，；
因?yàn)?，平面，所以平?
因?yàn)槠矫?，所?
當(dāng)與相切時，切點(diǎn)即為點(diǎn)，此時與軸的交點(diǎn)正是點(diǎn)最低的位置.
由得，
從而得到，
因此，故C正確.
對于D，分析得知，，由對稱性得知，，，
點(diǎn)半徑為1的球的面上，有，顯然有，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即時等號成立，但，故D錯誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何與平面解析幾何的綜合問題，解題時主要要清楚直線與球的切結(jié)關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯思維能力與空間想象能力，屬于難題.
強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（22-23高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知正四面體的棱長為，為上一點(diǎn)，且，則截面的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在立體圖形中作平面幾何分析，利用余弦定理和面積公式求解即可.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以在正三角形中，由余弦定理可知：
因?yàn)楹投际钦切危?br>所以,
所以，所以，
所以是等腰三角形，取中點(diǎn)，則，
所以，
.
故選:D.
2．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知一正方體木塊的棱長為4，點(diǎn)在校上，且.現(xiàn)過三點(diǎn)作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，則四邊形為平行四邊形，即平行四邊形為所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系和三角形的面積公式求出，即可求解.
【詳解】
如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，
因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形?br>所以與相交于且為的中點(diǎn)，
又在上，所以與相交于，且O平分，，
所以四點(diǎn)四點(diǎn)共面且四邊形為平行四邊形，
所以過三點(diǎn)的截面是平行四邊形，
，
，
，
故截面面積為.
故選：A.
3．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)及球的面積公式計(jì)算即得.
【詳解】由平面截球所得截面圓的面積為，得此截面小圓半徑，而球心到此小圓距離，
因此球的半徑，有，
所以球的表面積.
故選：C
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可求得正方體的外接球球心位置，易知當(dāng)截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑，當(dāng)截面與OP垂直時，截面面積最??；分別求出對應(yīng)的半徑大小即可得出結(jié)果.
【詳解】如圖，正方體的外接球球心在其中心點(diǎn)處，設(shè)該正方體的棱長為，
則外接球的半徑，
要使過直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點(diǎn)，
連接OE，OF，OP，則，
，
所以，
此時截面圓的半徑．
顯然當(dāng)截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑；
所以．
故選：D．
5．（2024·陜西榆林·一模）已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，由平面幾何知識得截面與球心的距離為，利用勾股定理求得的值，由題意可知球心到所求截面的距離最大時截面面積最小，利用面積公式，即可得答案.
【詳解】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，
因?yàn)椋?br>所以.由勾股定理，得，由題意得，
所以，解得，
此時過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.
設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，
所以只需球心到所求截面的距離最大即可，
而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時，球心到所求截面的距離最大，
即，所以.
故選：C
6．（2024·四川成都·二模）在正方體中，、分別是棱、靠近下底面的三等分點(diǎn)，平面平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．過點(diǎn)
B．
C．過點(diǎn)的截面是三角形
D．過點(diǎn)的截面是四邊形
【答案】B
【分析】取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，的另一個三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、、、，即可證明五邊形即為過點(diǎn)的截面，即可判斷.
【詳解】如圖取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，的另一個三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
連接、、、、、、，
依題意可得且，且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
同理可證、，所以，
又、為的三等分點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，則，
所以、、、四點(diǎn)共面，
又，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，
所以、、、、共面，
所以五邊形即為過點(diǎn)的截面，平面平面，
所以.
故選：B.
7．（22-23高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知三棱錐的棱，，兩兩互相垂直，，以頂點(diǎn)為球心，1為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相交得到的交線最長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件可得球與三棱錐的表面的交線均為以點(diǎn)為頂點(diǎn)，半徑為，圓心角為的圓弧，然后利用等體積法算出點(diǎn)到平面的距離，然后可得球與表面的交線為以的中心為圓心，半徑為的圓，然后可得答案.
【詳解】因?yàn)槿忮F的棱，，兩兩互相垂直，，
所以球與三棱錐的表面的交線均為以點(diǎn)為頂點(diǎn)，半徑為，圓心角為的圓弧，其長度為，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?，所以是邊長為的等邊三角形，
由可得，解得，
所以球與表面的交線為以的中心為圓心，半徑為的圓，其長度為，
因?yàn)椋?br>所以以頂點(diǎn)為球心，1為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相交得到的交線最長為，
故選：D
8．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.
【詳解】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，

因?yàn)椋瑒t，設(shè)其相似比為，即，
則；
又因?yàn)?，，?br>由余弦定理得，，則，
即.
又平面，，平面，所以，.
又，則，.
因?yàn)?，則，則，
因?yàn)?，所以，即?br>同理可得，即，
因?yàn)椋?，則，
故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四邊形為截面圖形；
又平面，平面，則，
又，所以.
故平行四邊形為矩形，則，
所以當(dāng)時，有最大值，則，
在中，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面平行以及線面垂直說明四邊形為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出最值得解.
二、多選題
1．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（ ）

A．過棱的截面中，截面面積的最小值為
B．若過棱的截面與棱（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)，則
C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D．與該木塊各個頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個
【答案】ACD
【分析】利用平面的性質(zhì)確定截面，再解三角形即可判定A、B，利用基本不等式可判定C，利用空間想象結(jié)合圖形性質(zhì)分類討論可判定D項(xiàng).
【詳解】設(shè)截面與棱的交點(diǎn)為，
對于A項(xiàng)，如圖1，過棱的截面為，易知當(dāng)為棱的中點(diǎn)時，,且，平面，故平面，
取的中點(diǎn)，連接，則，
又平面，，即是異面直線的公垂線，，
故此時的面積取得最小值，最小值為，正確；

對于B項(xiàng)，易知，故結(jié)合A項(xiàng)，可設(shè)，
在中，由余弦定理，
所以，即，B錯誤；
對于C項(xiàng)，如圖2，當(dāng)截面為平行四邊形時，，，
由正四面體的性質(zhì)可知，故，從而平行四邊形為長方形.
設(shè)，則，所以長方形的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，正確；

對于D項(xiàng)，與該木塊各個頂點(diǎn)的距離都相等的截面分為兩類.第一類：平行于正四面體的一個面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等，這樣的截面有4個.
第二類：平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個.
故與該木塊各個頂點(diǎn)的距離都相等的截面共有7個，D正確.
故選：ACD
2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，已知正三棱臺是由一個平面截棱長為6的正四面體所得，其中，以點(diǎn)A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為曲線為上一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．點(diǎn)A到平面的距離為B．曲線的長度為
C．的最小值為D．所有線段所形成的曲面的面積為
【答案】ACD
【分析】A，補(bǔ)形為正四面體，即求體高；B，結(jié)合平面截球的性質(zhì)求解即可；C，結(jié)合點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離求解；D，即為圓錐側(cè)面積的一部分，即可求解.
【詳解】對A，將三棱臺補(bǔ)形為棱長為6的正四面體，
取中點(diǎn)，連接交于，連接，
則是邊長為6的等邊三角形，且，
所以，即，解得，
是邊長為4的等邊三角形，又，故為的外心，
則由正四面體知，正四面體的體高，則平面，
故為點(diǎn)A到平面的距離，，則.A正確；
對B，因?yàn)槠矫?，?dāng)時，可得，
因此點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓與等腰梯形重合部分的兩段弧和（如圖2），
連接，，由，，易得，
因此，所以的長度，則點(diǎn)P的軌跡的長度為，B錯誤；
對C，的最小值為，C正確；
對D，所有線段所形成的曲面的面積為圓錐側(cè)面積的一部分，
由B知點(diǎn)P的軌跡的長度為，則曲面的面積為，D正確.
故選：ACD
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE折起，連接AB，AC，得到四棱錐，則（ ）
A．存在使的四棱錐
B．四棱錐體積的最大值是
C．平面ABE與平面ACD的交線平行于底面
D．在平面ABC與平面ADE的交線上存在點(diǎn)F，使得
【答案】BCD
【分析】用反證法思想判定A；求出四棱錐體積的最大值判斷B；利用線面平行的性質(zhì)和判定定理判斷C；求出點(diǎn)E到平面ABC與平面ADE的交線的距離判斷D.
【詳解】對于A，將沿DE折起，的過程中，，折起后，
若存在使的四棱錐，
又，，AE、平面ABE，
平面ABE，平面ABE，
，又，
，在中，，與折起后矛盾，
故不存在使的四棱錐，故A錯誤；
對于B，由四棱錐體積最大時，平面平面DEBC，
過A作ED的垂線AH，交ED于點(diǎn)H，
平面平面，平面ADE，
平面DEBC，
為棱錐底面DEBC的高，，
，故B正確；
對于C，設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為l，
，平面ADC，平面ADC，
平面ADC，又平面ABE，，
又平面BCDE，平面BCDE，
平面BCDE，故C正確；
對于D，分別延長CB，DE交于P，連接AP，則AP為平面ABC與平面ADE的交線，
過A作ED的垂線AH，，
在折疊的過程中，，
E為AB的中點(diǎn)，故，，
過E作AP的垂線，垂足為F，則∽，
，故D正確．
故選：BCD.
三、填空題
1．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）在正四面體中，M為PA邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑為R，最小的截面半徑為r，則 ；若記該正四面體和其外接球的體積分別為和，則 ．
【答案】 /
【分析】把正四面體放置于正方體中，利用正四面體與正方體有相同的外接球，結(jié)合球的截面小圓的性質(zhì)、體積公式計(jì)算即得.
【詳解】將正四面體放置于正方體中，可得正方體的外接球即為該正四面體的外接球，如圖，

外接球球心為正方體的體對角線的中點(diǎn)，設(shè)正四面體的棱長為，則正方體棱長為，
由外接球直徑等于正方體的體對角線，得正四面體外接球半徑，
當(dāng)過中點(diǎn)的正四面體外接球截面過球心時，截面圓面積最大，截面圓半徑為，
當(dāng)該截面到球心的距離最大時，截面圓面積最小，此時球心到截面距離為，
可得最小截面圓半徑，因此；
正四面體外接球體積，
正四面體的體積，因此.
故答案為：；
2．（23-24高三下·江蘇·開學(xué)考試）在正三棱錐A－BCD中，底面△BCD的邊長為4，E為AD的中點(diǎn)，AB⊥CE，則以AD為直徑的球截該棱錐各面所得交線長為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，作平面，證得平面，得到兩兩垂直，且，求得球的半徑為，以及球與平面截得的弧為小圓的半徑，結(jié)合弧長公式，即可求解.
【詳解】取的中點(diǎn)，作平面，垂足為，
由三棱錐為正三棱錐，所以為底面正三角形的中心，所以，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又由正三角形的性質(zhì)，可得，
又因?yàn)?，且平面，所以平?
因?yàn)槠矫妫裕?br>又因?yàn)?，且，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>由正三棱錐的性質(zhì)可得，兩兩垂直，且，
以為直徑的球的半徑為，
可得球在平面上截得的交線分別為個圓，
可得弧長的和為，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，
可得，即，
解得，即點(diǎn)到平面的距離為，
所以面截球體所得小圓的半徑為，
如圖所示，球在平面截得的弧為小圓的弧，其中,
所以弧的弧長為，
球與平面只有一個交點(diǎn)，截得的弧長為，
所以，以為直徑的球與三棱錐截得的交線長為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑：根據(jù)作出截面中的幾何元素，利用球的截面的性質(zhì)，運(yùn)用公式（為底面多邊形的外接圓的半徑，為幾何體的外接球的半徑，表示球心到底面的距離）求得球的半徑，建立關(guān)于球半徑的方程，進(jìn)行求解，該方法的實(shí)質(zhì)是通過尋找外接球的一個軸截面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.
3．（2024·河南·模擬預(yù)測）在三棱柱中，四面體是棱長為2的正四面體，為棱的中點(diǎn)，平面過點(diǎn)且與垂直，則與三棱柱表面的交線的長度之和為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，可證平面，可得平面∥平面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得平面即為平面，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，
可知，
由題意可知：，且，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫?，可知平面∥平面?br>設(shè)平面，即平面平面，
且平面平面，則∥，
且為棱的中點(diǎn)，可知為棱的中點(diǎn)，
同理取的中點(diǎn)，連接，
可知平面即為平面，
則，
所以與三棱柱表面的交線的長度之和為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正四面體的性質(zhì)可證平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)可得平面∥平面，即以平面為參考作截面，即可得結(jié)果.
四、解答題
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知正方體，棱長為2.
(1)求證：平面；
(2)若平面平面，且平面與正方體的棱相交，當(dāng)截面面積最大時，在所給圖形上畫出截面圖形（不必說出畫法和理由），并求出截面面積的最大值；
(3)在（2）的情形下，設(shè)平面與正方體的棱、、交于點(diǎn)、、，當(dāng)截面的面積最大時，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)作圖見解析，
(3)
【分析】（1）通過證明、來證得平面.
（2）通過棱的中點(diǎn)作出符合題意的截面，并計(jì)算出截面的面積.
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得正確答案.
【詳解】（1）連接，，，
因?yàn)槭钦襟w，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?br>又因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所?同理可證得：，
又因?yàn)槠矫?，所以平?

（2）設(shè)分別是的中點(diǎn)，
連接，
根據(jù)題意知截面面積最大時，圖形是邊長為的正六邊形，
所以最大的截面面積為.

（3）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?dāng)截面的面積最大時，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，
以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：，，，，
設(shè)平面的一個法向量是，，，
則，令，則，，，
設(shè)平面的一個法向量是，，，
，令，則，，則，
，
設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，所以，
所以二面角的余弦值為.

2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）四棱錐的底面為矩形，，，高，O為底面對角線的交點(diǎn)，過底面對角線BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面積.
【答案】作圖見解析，.
【分析】設(shè)E是SC的中點(diǎn)，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理確定截面，然后在中利用余弦定理求，然后由三角形面積公式可得.
【詳解】如圖，設(shè)E是SC的中點(diǎn)，連DE，BD，

因?yàn)闉槠叫兴倪呅危允堑闹悬c(diǎn)，故，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，的面積即為所求.
易知，
所以，
由，知，
又為正三角形，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，
所以.
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）單位正方體中，和上各有一點(diǎn)E，F(xiàn)，且，過A，E，F(xiàn)作正方體的截面，是否可能是正三角形？正方形？
【答案】答案見解析
【分析】首先作出圖形，分析題意得出，此時截面為菱形，但它不會是正方形．進(jìn)行下一步解答得出， 當(dāng)，時，此時截面為五邊形，但不可能是正五邊形，再進(jìn)一步分析得出結(jié)論.
【詳解】如圖，設(shè)截面和或其延長線交于G．

當(dāng)時，∵，，∴，此時截面為菱形，但它不會是正方形．
事實(shí)上，作，與交于M（或其延長線），連接AG，EF，BD，AC，
由知，，而，，
由此可見菱形AEGF的對角線不相等，∴此菱形不可能是正方形．
當(dāng)，時，此時截面為五邊形，但不可能是正五邊形（見前例）（如圖）．

當(dāng)時，截面是正．
4．（23-24高三下·貴州·階段練習(xí)）如圖，已知正方體，為的中點(diǎn).
(1)過作出正方體的截面，使得截面平行于平面，并說明理由；
(2)為線段上一點(diǎn)，且直線與截面所成角的正弦值為，求.
【答案】(1)作圖見解析，理由見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、，即可證明平面平面，從而得解；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）如圖所示的平面即為截面，理由如下：
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，，
所以，即、、、四點(diǎn)共面，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
即平面即為過的正方體的截面，且截面平行于平面.
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
則截面的法向量為，
又直線與截面所成角的正弦值為，
所以，解得或（舍去），
所以，則.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）正三棱臺中，下底面的邊長為a，側(cè)棱與底面成角60°，過AB作截面垂直于，求截面面積.
【答案】答案見解析
【分析】將棱臺補(bǔ)成棱錐，則S與兩底面中心，O三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)CD，CD過點(diǎn)O，棱臺的高對截面的形狀起著決定性作用，對高進(jìn)行分類討論即可求解.
【詳解】如圖，將棱臺補(bǔ)成棱錐，則S與兩底面中心，O三點(diǎn)共線.
設(shè)，AB的中點(diǎn)為D，連接CD，CD過點(diǎn)O，則，
∴.
設(shè)截面，過E作于H，，
則易得，，
此棱臺的高對截面的形狀起著決定性作用，故有以下討論.
（i）當(dāng)時，，此時截面為等腰三角形，其面積為.
（ii）當(dāng)時，，
此時截面ABE與上底面有交線MN，ED交MN于F，
故截面為等腰梯形，作于K，平面ABC，
由，，，得，
（iii）特別地，當(dāng)截面經(jīng)過時，，此時截面面積為.

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微重點(diǎn)05數(shù)列的遞推關(guān)系（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）-沖刺985、211名校高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略（新高考專用）：

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