
在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí),常常會遇到零點(diǎn)不可求的情形,此時(shí)可先論證有零點(diǎn),再虛設(shè)零點(diǎn),最后運(yùn)用零點(diǎn)代換,化簡函數(shù)極值的策略來解決問題,這是隱零點(diǎn)問題常用的處理方法.隱零點(diǎn)的零點(diǎn)代換處理策略被廣泛應(yīng)用于零點(diǎn)討論、不等式證明、求最值等各種題型中,是零點(diǎn)不可求問題中一個(gè)必備的基本處理方法,真題中也十分常見.
典型例題
【例1】設(shè)函數(shù),證明:.
【例2】設(shè)函數(shù),其中,是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的最小值;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)的極小值點(diǎn)為,證明:.
【例3】已知,是的導(dǎo)函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),證明:存在唯一的,使得;
(2)若存在實(shí)數(shù)a、b,使得恒成立,求的最小值.
強(qiáng)化訓(xùn)練
1.已知函數(shù),,其中.
(1)當(dāng)時(shí),證明:有最小值m且;
(2)設(shè),且恒成立,求a的取值范圍.
2.已知函數(shù)滿足對任意的恒成立,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求a的值;
(2)證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且.
3.已知函數(shù)
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)若當(dāng)時(shí),,求a的取值范圍.
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