【知識導圖】
【考點分析】
考點一:對稱化構造函數
規(guī)律方法 對稱化構造函數法構造輔助函數
(1)對結論x1＋x2>2x0型，構造函數F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．
(2)對結論x1x2>xeq \\al(2,0)型，方法一是構造函數F(x)＝f(x)－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),x)))，通過研究F(x)的單調性獲得不等式；方法二是兩邊取對數，轉化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成兩變量即可．
【例1】（2024下·云南·高二云南師大附中校考開學考試）給出定義:設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱)為函數的“拐點”.
(1)經研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數都有“拐點”，且該“拐點”也是函數的圖象的對稱中心.已知函數的圖象的對稱中心為，討論函數的單調性并求極值.
(2)已知函數，其中.
（i）求的拐點；
（ii）若，求證:.
【變式】（2024下·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學?？奸_學考試）已知函數（其中為自然對數的底數）.
(1)求函數的單調區(qū)間；
(2)若為兩個不相等的實數，且滿足，求證：.
考點二:比值代換
規(guī)律方法 比值代換法是指通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq \f(x1,x2)化為單變量的函數不等式，利用函數單調性證明．
【例2】．（2022·全國·模擬預測）設函數.
(1)若，求函數的最值；
(2)若函數有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.
【變式】（2024·全國·模擬預測）已知函數．
(1)求的單調區(qū)間；
(2)若有兩個零點，，且，求證：．
【強化訓練】
1．（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若方程有兩個根，，求實數a的取值范圍，并證明：．
2．（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學校聯(lián)考階段練習）已知函數.
(1)若函數在定義域內為減函數,求實數a的取值范圍;
(2)若函數有兩個極值點,證明：.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.若有兩個零點，證明：.
4.(2023·唐山模擬)已知函數f(x)＝xe2－x.
(1)求f(x)的極值；
(2)若a>1，b>1，a≠b，f(a)＋f(b)＝4，證明：a＋beq \f(32,e3).(參考數據：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)
7. (2023·淮北模擬)已知a是實數，函數f(x)＝aln x－x.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若f(x)有兩個相異的零點x1，x2且x1>x2>0，求證：x1x2>e2.
8．(2023·南寧模擬)已知函數f(x)＝ex－eq \f(ax2,2)，a>0.
(1)若f(x)過點(1,0)，求f(x)在該點處的切線方程；
(2)若f(x)有兩個極值點x1，x2，且0

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