福建省南平市高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1. ∈N*，，則（20－）（21－)…（100－）等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】分析：由排列數(shù)公式即可得到答案，需注意項(xiàng)數(shù)．
詳解：由題意可得：共有項(xiàng)，，
故選C．
點(diǎn)睛：本題考查排列及排列數(shù)公式，易錯(cuò)點(diǎn)在于項(xiàng)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
2. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開式的通項(xiàng)公式，得到時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，代入求出答案.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，
令得：，
故
故選：C
3. 在一個(gè)具有五個(gè)行政區(qū)域的地圖上（如圖），用四種顏色給這五個(gè)行政區(qū)著色，當(dāng)相鄰的區(qū)域不能用同一顏色時(shí)，則不同的著色方法共有（）
A. 72種B. 84種C. 180種D. 390種
【答案】A
【解析】
【分析】可分2種情況討論：若選3種顏色時(shí)，必須同色且同色；若4種顏色全用，只能同色或同色，其它不相同，從而可得結(jié)果.
【詳解】選用3種顏色時(shí)，必須同色且同色，與進(jìn)行全排列，
涂色方法有種；
4色全用時(shí)涂色方法：同色或同色，有種情況，
涂色方法有種，
不同的著色方法共有種，故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.有關(guān)計(jì)數(shù)原理的綜合問題，往往是兩個(gè)原理交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.
4. 由組成沒有重復(fù)數(shù)字，且不相鄰的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先將1、4、5、6四個(gè)數(shù)全排列，再利用插空法可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行：
①，將1、4、5、6四個(gè)數(shù)全排列，有種排法，
②，四個(gè)數(shù)排好后，有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2和3，有種情況，
則有個(gè)符合題意的六位數(shù)；
故選：C．
5. 為了促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了3名男教師和2名女教師去支援新疆教育，要求這5名教師被分派到3個(gè)學(xué)校對(duì)口支教，每名教師只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少安排1名教師，其中2名女教師分派到同一個(gè)學(xué)校，則不同的分派方法有（）
A. 18種B. 36種C. 68種D. 84種
【答案】B
【解析】
【分析】由題意：2名女教師分派到同一個(gè)學(xué)?？紤]該校否分配男教師，即可求出答案.
【詳解】根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況:
①2名女教師和1名男教師分派到同一個(gè)學(xué)校，則有種方法.
②2名女教師分派到同一個(gè)學(xué)校，且該學(xué)校沒有分配沒有男教師，則有：種方法.
故一共有：36種分配方法.
故選：B.
6. 有30個(gè)完全相同的蘋果，分給4個(gè)不同的小朋友，每個(gè)小朋友至少分得4個(gè)蘋果，問有多少種不同的分配方案？
A. 680B. 816C. 1360D. 1456
【答案】A
【解析】
【詳解】先給每個(gè)小朋友分三個(gè)蘋果，剩余個(gè)蘋果利用“隔板法”，
個(gè)蘋果有個(gè)空，插入三個(gè) “板”，共有680種方法.
故選：A.
7. 某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】基本事件總數(shù)，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率．
【詳解】某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），
在男生甲被選中情況下，
基本事件總數(shù)，
男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)：
，
男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是．
故選：C.
8. 的展開式中的系數(shù)為（）
A. B.
C. 100D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】先利用二項(xiàng)式定理求得的通項(xiàng)公式，再將式子化為，從而得解..
【詳解】因?yàn)橥?xiàng)公式為，
所以的展開式中的項(xiàng)為
，
故所求系數(shù)為.
故選：D.
二、多選題
9. 在的展開式中，若第六項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則n的值可能為（）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】ABC
【解析】
【分析】結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第項(xiàng)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第項(xiàng)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第項(xiàng)，符合題意，
當(dāng)或時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)不包括第項(xiàng).
故選：ABC
10. ，隨機(jī)變量的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（）
A. 的值最大
B.
C. 隨著概率的增大而減小
D. 隨著概率的增大而增大
【答案】BD
【解析】
【分析】本題可通過取得出A錯(cuò)誤，然后通過得出B正確，最后通過得出C錯(cuò)誤，D正確.
【詳解】由，取，則，，A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，即，B正確，
，
因?yàn)椋噪S著的增大而增大，C錯(cuò)誤，D正確，
故選：BD.
11. 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)概率的加法公式及條件概率公式求解.
【詳解】，故A對(duì).
，故B錯(cuò).
，故C對(duì).
，
，故D對(duì).
故選：ACD.
三、填空題
12. 設(shè)的分布列如圖，又，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，再求，進(jìn)一步就可求出.
【詳解】由分布列的性質(zhì)得，得，
從而，
而，
所以.
故答案為：.
13. 的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）
【答案】80
【解析】
【分析】中有2個(gè)括號(hào)提供，還有3個(gè)括號(hào)都是，求出系數(shù)即可.
【詳解】可看作5個(gè)相乘，有2個(gè)括號(hào)提供，還有3個(gè)括號(hào)都，
則，系數(shù)為80.
故答案為：80
14. A，B兩地間有如圖所示方格形道路網(wǎng)，甲沿路網(wǎng)隨機(jī)選擇一條最短路徑從A地出發(fā)去往B地，則甲經(jīng)過C地的概率為___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出從A地到B地總的路徑數(shù)量，再求出甲經(jīng)過C地再到B地的路徑數(shù)量，根據(jù)古典概型的概率公式可得答案.
【詳解】從A地到B地的最短路徑包含向下走4步，向右走4步，且前4步至多只能向右走2步，則總的路徑有種，
甲經(jīng)過C地再到B地的路徑數(shù)量有種，
故甲經(jīng)過C地的概率.
故答案為：
15. 楊輝是我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家，在其所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了圖①所示的三角形數(shù)表，這比歐洲早500多年．楊輝三角本身包含很多性質(zhì)，并有廣泛的應(yīng)用．借助圖②所示的楊輝三角，可以得到，從第0行到第行：第1斜列之和；第2斜列之和．類比以上結(jié)論，并解決如下問題：圖③所示為一個(gè)層三角垛，底層是每邊堆個(gè)圓球的三角形（底層堆積方式如圖所示），向上逐層每邊少1個(gè)，頂層是1個(gè)．則小球總數(shù)______．
【答案】或．
【解析】
【分析】根據(jù)已知，利用數(shù)列求和以及組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.
【詳解】由題可知，在三角垛中，第1層1個(gè)球，第2層有1+2個(gè)球，第3層有1+2+3，……，
第層有個(gè)球，又，
所以三角垛的小球總數(shù)為：
.
故答案為：或.
四、解答題
16. 從7名男生和5名女生中選出5人，分別求符合下列條件的選法數(shù).（所得結(jié)果用數(shù)值表示）
（1）A，B必須被選出；
（2）至少有3名女生被選出；
（3）讓選出的5人分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等5種不同職務(wù)，但體育委員由男生擔(dān)任，文娛委員由女生擔(dān)任.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）從以外的人中，任選個(gè)人，由此求得選法數(shù).
（2）先計(jì)算出從人任選人的方法數(shù)，然后減去至多有名女生被選出的方法數(shù)，由此求得選法數(shù).
（3）先選出一名男生擔(dān)任體育委員、然后選出一名女生擔(dān)任文娛委員、再在剩余的人中任選人進(jìn)行安排，由此求得選法數(shù).
【小問1詳解】
由于，必須被選出，再?gòu)囊酝獾娜酥校芜x個(gè)人，故選法數(shù)有種.
【小問2詳解】
從人任選人的方法數(shù)有，選出的人中沒有女生的方法數(shù)有，
選出的人中有名女生的方法數(shù)有,選出的人中有名女生的方法數(shù)有.
所以至少有2名女生被選出的選法數(shù)為.
【小問3詳解】
先選出一名男生擔(dān)任體育委員、然后選出一名女生擔(dān)任文娛委員、再在剩余的人中任選人安排職務(wù)，故選法數(shù)為.
17. 已知展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.
（1）求展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)已知條件利用組合數(shù)計(jì)算公式求出，進(jìn)而求二項(xiàng)式系數(shù)和；
（2）根據(jù)項(xiàng)數(shù)直接寫出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)即可.
【小問1詳解】
因?yàn)檎归_式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，
所以，解得或（舍去），
所以展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.
【小問2詳解】
由（1）可知為偶數(shù)，展開式共有項(xiàng)，則第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.
18. 某學(xué)校安排甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)同時(shí)到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會(huì)，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%．學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機(jī)從場(chǎng)下學(xué)生中選一人參與互動(dòng)．
（1）求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；
（2）如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來自哪個(gè)班的可能性最大．
【答案】（1）
（2）來自丙班的可能性最大
【解析】
【分析】（1）依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)條件概率公式分別計(jì)算，即可判斷.
【小問1詳解】
設(shè)“任選一名學(xué)生恰好是藝術(shù)生”，
“所選學(xué)生來自甲班”，“所選學(xué)生來自乙班”,
“所選學(xué)生來自丙班”．由題可知：
，，，
，，

.
【小問2詳解】
；

所以其來自丙班的可能性最高．
19. 已知.
（1）求（所得結(jié)果用冪指數(shù)表示）
（2）求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先可得，再令，則，利用賦值法計(jì)算可得；
（2）寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)即可求出.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
令，則，
令可得，
令可得，
所以，即.
【小問2詳解】
二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），
令，解得，所以，
所以.
20. 某商場(chǎng)為了促銷規(guī)定顧客購(gòu)買滿500元商品即可抽獎(jiǎng)，最多有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎(jiǎng)金，若沒有抽中，則停止抽獎(jiǎng)．顧客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎(jiǎng)金，結(jié)束抽獎(jiǎng)；也可選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)，若沒有抽中，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，結(jié)束抽獎(jiǎng)．小李購(gòu)買了500元商品并參與了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，己知他每次抽中的概率依次為，如果第一次抽中選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)的概率為，第二次抽中選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)的概率為，且每次是否抽中互不影響．
（1）求小李第一次抽中且所得獎(jiǎng)金歸零的概率；
（2）設(shè)小李所得獎(jiǎng)金總數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列．
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)出事件，分兩種情況討論：第一次抽中但第二次沒抽中，前兩次抽中但第三次沒抽中，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率計(jì)算公式求解出結(jié)果；
（2）先分析的可能取值，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率，由此可求的分布列.
【小問1詳解】
記小李第次抽中為事件，則有，且兩兩互相獨(dú)立，
記小李第一次抽中但獎(jiǎng)金歸零為事件，
則；
【小問2詳解】
由題意可知的可能取值為：，
，
，
，
，
所以的分布列為：
21. ChatGPT是由人工智能研究實(shí)驗(yàn)室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對(duì)話，ChatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù).在測(cè)試ChatGPT時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，當(dāng)出現(xiàn)語法錯(cuò)誤時(shí)，ChatGPT的回答被采納的概率為50%.
（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問題，ChatGPT的回答有5個(gè)被采納.現(xiàn)從這8個(gè)問題中抽取3個(gè)，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%，
（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯(cuò)誤的概率.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）（i）0.815；（ii）
【解析】
【分析】（1）服從超幾何分布，直接用公式求解.
（2）利用全概率公式求解ChatGPT的回答被采納的概率；利用條件概率公式求解該問題的輸入沒有語法錯(cuò)誤的概率即可.
【小問1詳解】
易知的所有可能取值為
此時(shí)，，，
所以的分布列為：
則.
【小問2詳解】
（i）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，
記“輸入的問題有語法錯(cuò)誤”為事件B，
記“ChatGPT的回答被采納”為事件C，
則，，，.
.
（ii）若ChatGPT的回答被采納，則該問題的輸入沒有語法錯(cuò)誤的概率為
.
X
0
1
2
P
1
2
3
4
P
a
0
1
2
3
P

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