2022-2023學(xué)年福建省南平市高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求得集合，再由集合交集的運(yùn)算即可求解.【詳解】集合，集合，則，故選：D.2．若離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，，則（    ）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的方差公式求解．【詳解】由題意，解得或．故選：C．3．已知隨機(jī)變量，且，則（    ）A．0.3 B．0.4 C．0.85 D．0.7【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可．【詳解】由已知，，則，故選：D4．2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”，有著可愛(ài)的外表和豐富的寓意，深受各國(guó)人民的喜愛(ài)．某商店有4個(gè)不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個(gè)不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺(tái)上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相鄰，且均不與“雪容融”丙相鄰的不同的排列方法總數(shù)為（    ）A．480 B．960 C．1080 D．1440【答案】B【分析】先用捆綁法再用插空法計(jì)算.【詳解】現(xiàn)將4個(gè)不同造型的“冰墩墩”排好，有 種排法，排好后包括左右兩邊有5個(gè)空，再將“雪容融”甲和“雪容融”乙捆綁，有 種方法，將捆綁后的“雪容融”與“雪容融”丙分別插入前面的5個(gè)空中，有 種方法；所以總的排列方法數(shù)為： ；故選：B.5．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（    ）A．145 B．144 C．81 D．1【答案】A【分析】寫(xiě)出的展開(kāi)式通項(xiàng)公式，計(jì)算，然后由多項(xiàng)式乘法法則得的系數(shù)．【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，，所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)為：．故選：A．6．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下123456其中構(gòu)成等差數(shù)列，則的（    ）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】B【解析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列的概率和是1和等差數(shù)列的性質(zhì)，得到，利用基本不等式可求得答案.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式求最值的問(wèn)題，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多.7．拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，在有一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知，拋擲三枚硬幣，則基本事件共有8個(gè)，其中有一枚正面朝上的基本事件有7個(gè)，分別求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知拋擲三枚硬幣，則基本事件共有8個(gè)，其中有一枚正面朝上的基本事件有7個(gè)，記事件為“有一枚正面朝上”，則，記事件為“另外兩枚也正面朝上”，則為“三枚都正面朝上”，故，故.即在有一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，考查分析和計(jì)算能力．8．，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性比較的大小后可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，則，時(shí)，，單調(diào)遞減，，則，所以，即，，所以，即．故選：D． 二、多選題9．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用基本不等式及重要不等式，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：BCD.10．已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用賦值法可判斷選項(xiàng)ABD，由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可判斷選項(xiàng)C.【詳解】因?yàn)?/span>，令，得，故A正確；令，得，所以，故B錯(cuò)誤； 展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以，故C錯(cuò)誤；令，得，所以，所以，所以，故D正確.故選：AD.11．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的方差為9B．若隨機(jī)變量，，則C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱D．若事件A，B滿足，，，則有【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)方差的線性運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算即可；B選項(xiàng)，根據(jù)正太分布曲線可求得；C選項(xiàng)相關(guān)系數(shù)越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)；D選項(xiàng)，，則兩事件相互獨(dú)立，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式可以求得.【詳解】由于，所以數(shù)據(jù)的方差為16，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤；隨機(jī)變量，，則，因此選項(xiàng)B正確；線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由于等價(jià)于“事件A與事件B相互獨(dú)立”，即，故必有.因此選項(xiàng)D正確.故選：BD.12．英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件?存在如下關(guān)系：.某高校有甲?乙兩家餐廳，王同學(xué)第一天去甲?乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學(xué)（    ）A．第二天去甲餐廳的概率為0.54B．第二天去乙餐廳的概率為0.44C．第二天去了甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為D．第二天去了乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為【答案】AC【分析】根據(jù)題中所給的公式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】設(shè):第一天去甲餐廳，:第二天去甲餐廳，:第一天去乙餐廳，:第二天去乙餐廳，所以，，，因?yàn)?/span>，所以，所以有,因此選項(xiàng)A正確, ，因此選項(xiàng)B不正確；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D不正確，故選：AC 三、填空題13．已知，且“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是___________.【答案】【分析】先確定的充要條件，再由充分不必要條件的定義求解，【詳解】等價(jià)于或，而且“”是“”的充分不必要條件，則．故答案為：．14．浙大附中高二年級(jí)某班元旦活動(dòng)有唱歌?跳舞?小品?相聲?朗誦?游戲六個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單，其中游戲不安排在第一個(gè)，唱歌和跳舞相鄰，則不同的節(jié)目單順序有___________種（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)唱歌和跳舞相鄰和游戲不安排在第一個(gè)，先將唱歌和跳舞進(jìn)行捆綁看作一個(gè)與除游戲外的三個(gè)進(jìn)行全排，然后將游戲進(jìn)行插空即可求解.【詳解】先將唱歌和跳舞進(jìn)行捆綁看作一個(gè)與除游戲外的三個(gè)進(jìn)行全排，則有種排法，然后將游戲插入這4個(gè)排好的空中（不排第一個(gè)），有種，由于唱歌和跳舞的位置可以互換，所以不同的節(jié)目單順序有種，故答案為：.15．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【分析】求出，即得解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，，，．又，又，所以．故答案為：. 四、雙空題16．近年來(lái)，我國(guó)外賣(mài)業(yè)發(fā)展迅猛，外賣(mài)小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風(fēng)景線.他們根據(jù)外賣(mài)平臺(tái)提供的信息到外賣(mài)店取單.某外賣(mài)小哥每天來(lái)往于10個(gè)外賣(mài)店（外賣(mài)店的編號(hào)分別為1，2，…，10），約定：每天他首先從1號(hào)外賣(mài)店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余9個(gè)外賣(mài)店中的任何一個(gè)店取單叫做第2次取單，依此類(lèi)推.假設(shè)從第2次取單開(kāi)始，他每次都是從上次取單的店之外的9個(gè)外賣(mài)店取單，設(shè)事件{第次取單恰好是從1號(hào)店取單}，是事件發(fā)生的概率，顯然，，則______，______（第二空精確到0.01）.【答案】          0.10【分析】由可求出，可得，依次推導(dǎo)即可求出.【詳解】，因?yàn)?/span>，所以，以此類(lèi)推，可得…….故答案為：；0.10. 五、解答題17．已知集合（1）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（2）命題q：“，使得”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1），分B為空集和B不是空集兩種情況討論求解即可；（2）由，使得，可知B為非空集合且，然后求解的情況，求出m的范圍后再求其補(bǔ)集可得答案【詳解】解：（1）①當(dāng)B為空集時(shí)，成立.②當(dāng)B不是空集時(shí)，∵，，∴綜上①②，.（2），使得，∴B為非空集合且.當(dāng)時(shí)，無(wú)解或，，∴.18．二項(xiàng)式展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22；(1)求的值；(2)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(3)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】(1)6(2)(3)960 【分析】（1）根據(jù)前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和得到方程，求出；（2）在第一問(wèn)求出的基礎(chǔ)上，求出展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)公式求出答案；（3）根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)公式得到.【詳解】（1）∵展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22，∴，∴，∴或（舍）故的值為6（2）由題可得：展開(kāi)式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，即（3）設(shè)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng)，即，令，則，∴，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)，即96019．為了解某工業(yè)園中員工的頸椎疾病與工作性質(zhì)是否有關(guān)，在工業(yè)園內(nèi)隨機(jī)的對(duì)其中50名工作人員是否患有頸椎疾病進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表. 患有頸椎疾病沒(méi)有患頸椎疾病合計(jì)白領(lǐng) 5 藍(lán)領(lǐng)10  合計(jì)  50已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患有頸椎疾病的人的概率為.(1)①請(qǐng)完成上表；②依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析患頸椎疾病與工作性質(zhì)有關(guān)？(2)已知在患有頸椎疾病的10名藍(lán)領(lǐng)中，有3人工齡在15年以上，現(xiàn)在從患有頸椎疾病的10名藍(lán)領(lǐng)中，選出3人進(jìn)行工齡的調(diào)查，記選出工齡在15年以上的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中，0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】(1)①列聯(lián)表見(jiàn)解析；②依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為患頸椎疾病是與工作性質(zhì)有關(guān)系的；(2)0.9 【分析】（1）通過(guò)計(jì)算出相關(guān)數(shù)據(jù)，填寫(xiě)列聯(lián)表，利用卡方公式計(jì)算其值，再與臨界值表對(duì)照即可判斷；（2）通過(guò)分析得服從超幾何分布，計(jì)算出分布列與期望即可.【詳解】（1）根據(jù)在全部50人中隨機(jī)抽取1人患頸椎疾病的概率為，可得患頸椎疾病的為30人，則白領(lǐng)中患有頸椎病的人數(shù)為人，未患頸椎病的總?cè)藬?shù)為20人，則未患頸椎病得藍(lán)領(lǐng)為15人，故可得列聯(lián)表如下： 患有頸椎疾病沒(méi)有患頸椎疾病合計(jì)白領(lǐng)20525藍(lán)領(lǐng)101525合計(jì)302050因?yàn)?/span>，即，所以，又，所以，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為患頸椎疾病是與工作性質(zhì)有關(guān)系的．（2）現(xiàn)在從患頸椎疾病的10名藍(lán)領(lǐng)中，選出3名進(jìn)行工齡的調(diào)查，記選出工齡在15年以上的人數(shù)為，則．故，，，，則的分布列為：0123P則．20．某中學(xué)在全校進(jìn)行了一次愛(ài)國(guó)主義知識(shí)競(jìng)賽，共1000名學(xué)生參加，答對(duì)題數(shù)（共60題）分布如下表所示：答對(duì)題數(shù)頻數(shù)1018526540011525答對(duì)題數(shù)近似服從正態(tài)分布，為這1000人答對(duì)題數(shù)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）．(1)估計(jì)答對(duì)題數(shù)在內(nèi)的人數(shù)（精確到整數(shù)位）；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學(xué)隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記答對(duì)題數(shù)位于的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，．【答案】(1)954人(2)分布列見(jiàn)解析；期望為 【分析】（1）根據(jù)題意求出正態(tài)分布的均值，結(jié)合正態(tài)分布相關(guān)性質(zhì)即可求解；（2）先求出從該中學(xué)隨機(jī)抽取1名學(xué)生，答對(duì)題數(shù)位于的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，可得，所以．又因?yàn)?/span>，，所以，所以人．故答對(duì)題數(shù)在內(nèi)的人數(shù)約為954人．（2）從該中學(xué)隨機(jī)抽取1名學(xué)生，答對(duì)題數(shù)位于的概率為.由條件可知，的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，．的分布列為01234則．21．《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見(jiàn)》，這是21世紀(jì)以來(lái)第18個(gè)指導(dǎo)“三農(nóng)”工作的中央一號(hào)文件.文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興，要大力推進(jìn)數(shù)字鄉(xiāng)村建設(shè)，推進(jìn)智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺(tái)進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當(dāng)中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計(jì)了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次和農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售量的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖.(1)利用散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)更適合作為觀看人次x和銷(xiāo)售量y的回歸方程類(lèi)型；（只要給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如表：9.430.323666.6439.266其中令，.根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)觀看人次為280萬(wàn)人時(shí)的銷(xiāo)售量；(3)規(guī)定：觀看人次大于等于120萬(wàn)人次的主播為優(yōu)秀主播，從這10名主播中隨機(jī)抽取3名，記其中優(yōu)秀主播的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)和公式：，附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.【答案】(1)更適合(2)，43600件(3)分布列見(jiàn)解析， 【分析】（1）觀察散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)的分布規(guī)律判斷應(yīng)采用的模型；（2）令，先求y與的線性回歸方程，由此可得y與的回歸方程，再利用回歸方程預(yù)測(cè)；（3）確定隨機(jī)變量的的可能取值，再求取各值的概率，由此可得的分布列，利用均值公式求其期望.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)分布在一條對(duì)數(shù)型曲線附近，所以選擇回歸方程更適合；（2）令，則，因?yàn)?/span>，，所以，又，，所以，所以y與的線性回歸方程為，故y關(guān)于x的回歸方程為.令，代入回歸方程可得（千件），所以預(yù)測(cè)觀看人次為280萬(wàn)人時(shí)的銷(xiāo)售量約為43600件.（3）由散點(diǎn)圖可知，這10名主播中，優(yōu)秀主播的個(gè)數(shù)有4個(gè)，所以X的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列為：X0123P數(shù)學(xué)期望.22．某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開(kāi)，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，分別求出概率，根據(jù)全概率公式即可（2）設(shè)事件 為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，求出相關(guān)的概率，再根據(jù)條件概率求解即可.【詳解】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；（2）設(shè)事件 為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：. 

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