一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 將10封信全部投入3個(gè)不同的郵箱，則所有的投放方法數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式即得.
【詳解】每封信有3種不同的投放方法，所以所有的投放方法數(shù)為.
故選：A
2. 若函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.
【詳解】函數(shù)在處可導(dǎo)，
.
故選：C.
3. 4名學(xué)生和3名教師站成一排照相，任何兩名教師都不相鄰的不同排法的種數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用不相鄰問(wèn)題插空法列式即得.
【詳解】依題意，排4名學(xué)生，有種方法，再把教師插入4名學(xué)生的每個(gè)排列形成的5個(gè)間隙中，有種方法，
所以不同排法種數(shù)是.
故選：D
4. 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，，
則所求切線方程為，即，
故選：A.
5. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0可得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
由得，
所以的單調(diào)減區(qū)間為.
故選：D.
6. 有6名大學(xué)生到甲、乙、丙3個(gè)學(xué)校支教，要求一個(gè)學(xué)校3人，一個(gè)學(xué)校2人，另一學(xué)校1人，則不同的分法種數(shù)為（ ）
A. 240B. 360C. 480D. 720
【答案】B
【解析】
【分析】先按人數(shù)分組，再分配到三個(gè)學(xué)?？傻茫?br>【詳解】選按人數(shù)3，2，1分成3組再分配到三個(gè)學(xué)校，
不同的分法種數(shù)為．
故選：B．
7. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
所以，且，所以，
所以．
故選：A.
8. 已知函數(shù)，則（ ）
A. －12B. 12C. －26D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】求出導(dǎo)數(shù)，令，求出，再求出.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
令則，，解得，
所以，，
所以，，
所以.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的
9. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可判斷AC選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算可判斷BD選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).
故選：BC.
10. 如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 函數(shù)在處取得極大值D. 函數(shù)在處取得極小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A．因?yàn)樵趨^(qū)間上成立，所以區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間，故A正確；
對(duì)于B．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處取得極大值，故C正確；
對(duì)于D．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極小值，故D正確.
故選：ACD．
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 成立B. 是上的減函數(shù)
C. 為的極值點(diǎn)D. 只有一個(gè)零點(diǎn)
【答案】CD
【解析】
【分析】本題首先可根據(jù)求導(dǎo)得出，然后利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，最后結(jié)合單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，，即當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，B錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，，，即當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，取極小值，即最小值，，，
故A錯(cuò)誤，C正確，D正確，
故選：CD.
12. 已知，則（ ）
A. B.
C. D. 展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)
【答案】AB
【解析】
【分析】設(shè)，利用賦值法可判斷ABC選項(xiàng)，利用二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】設(shè).
對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
所以，，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，展開(kāi)式共項(xiàng)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，D錯(cuò).
故選：AB.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. 二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】求得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，結(jié)合通項(xiàng)確定的值，即可求解.
【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令，得，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：.
14. 用排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____
【答案】
【解析】
【分析】可以看作是3個(gè)空，要求個(gè)位是偶數(shù)，其它位置無(wú)條件限制，因此先從3個(gè)偶數(shù)中任選1個(gè)填入個(gè)位，其它3個(gè)數(shù)在2個(gè)位置上排列即可.
【詳解】要排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù),則個(gè)位數(shù)為偶數(shù)即選擇有3種，其它位數(shù)的排列數(shù)為，即這樣的數(shù)有個(gè)，
故答案為: .
15. 燒水時(shí)，水溫隨著時(shí)間的推移而變化.假設(shè)水的初始溫度為，加熱后的溫度函數(shù)（是常數(shù)，表示加熱的時(shí)間，單位：min），加熱到第10min時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)公式和已知條件直接求解即可
【詳解】因?yàn)樗某跏紲囟葹?，所以，解得，所以?br>則，所以加熱到第時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是.
故答案為：
16. 函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意首先確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，求解不等式組即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
據(jù)此可得函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，
要使有三個(gè)零點(diǎn)，需要滿足，
解得：．
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.
17. 從5名男生和3名女生中，選出3人，分別求符合下列條件的選法數(shù).
（1），必須被選出；
（2）至少有2名女生被選出；
（3）讓選出的3人分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等3個(gè)不同職務(wù)，但體育委員由男生擔(dān)任.
【答案】（1）6 （2）16
（3）210
【解析】
【分析】（1）從以外人中，任選個(gè)人，由此求得選法數(shù).
（2）先計(jì)算出從人任選人的方法數(shù)，然后減去至多有名女生被選出的方法數(shù)，由此求得選法數(shù).
（3）先選出一名男生擔(dān)任體育委員、再在剩余的人中任選人進(jìn)行安排，由此求得選法數(shù).
【小問(wèn)1詳解】
由于，必須被選出，再?gòu)囊酝獾娜酥?，任選個(gè)人，故選法數(shù)有種.
【小問(wèn)2詳解】
從人任選人的方法數(shù)有，選出的人中沒(méi)有女生的方法數(shù)有，選出的人中有名女生的方法數(shù)有.
所以至少有2名女生被選出的選法數(shù)為.
【小問(wèn)3詳解】
先選出一名男生擔(dān)任體育委員、再在剩余的人中任選人安排職務(wù)，故選法數(shù)為.
18. 已知在的展開(kāi)式中第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（1）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（2）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和；
（3）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．
【答案】（1）
（2）
（3），，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（2）令，即可得解；
（3）求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為整數(shù)，即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
所以為常數(shù)項(xiàng)，所以，
所以展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為；
【小問(wèn)2詳解】
解：令，得到展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為；
【小問(wèn)3詳解】
解：展開(kāi)式中通項(xiàng)為，
令整數(shù)，，得到，
時(shí)，；
時(shí)，；
時(shí)，；
所以展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)有，，．
19. 已知函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根據(jù)已知求出，代入可得.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案；
（2）由（1）知，.解以及，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【小問(wèn)1詳解】
由已知可得，
所以，解得，
所以，所以.
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率，
所以切線方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，.
令，得或.
解可得，或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；
解可得，，所以在上單調(diào)遞減.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
20. 已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4.
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上最值.
【答案】（1）；
（2）最大值為4，,最小值為0.
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)，解方程組求出a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，分別求出極值和端點(diǎn)值，再比較得出最大值和最小值.
【小問(wèn)1詳解】
，由題意得，解得.
此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
所以在時(shí)取得極大值.
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
又因?yàn)?，，，?br>所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，,最小值為0.
21. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）對(duì)于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論、研究導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定區(qū)間單調(diào)性；
（2）問(wèn)題化為對(duì)恒成立，討論、求參數(shù)范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)且，
當(dāng)時(shí)在上遞減；
當(dāng)時(shí)，令，
當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞減；
當(dāng)時(shí)在上遞增．
所以當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
由題設(shè)知對(duì)恒成立．
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題設(shè)，舍去．
當(dāng)時(shí)，在上遞增，只需符合．
綜上：．
22. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在處的切線方程為，求，的值；
（2）若函數(shù)，且恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解切線方程，比較系數(shù)，即可求解；
（2）求出的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，利用同構(gòu)轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)不同的解，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到的范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題知，，，
，
曲線在處的切線方程為，即，
解得；
【小問(wèn)2詳解】
由題知，，
恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，即恰有2個(gè)不同的解，
即恰有2個(gè)不同的解.
設(shè)，
易知單調(diào)遞增，
恰有2個(gè)不同的解，
（解法一）設(shè)，，則恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
要使恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即，
當(dāng)時(shí)，，．
設(shè)，則，令，得，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
區(qū)間和區(qū)間上各有1個(gè)零點(diǎn)，
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（解法二）即恰有2個(gè)不同的解．
設(shè)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
．
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若恰有2個(gè)不同的解，則，得，
實(shí)數(shù)的取值范圍為．

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