一、單選題
1．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用橢圓方程求解a，b，得到c，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】解：橢圓，可得，，則，
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo).
故選：C.
2．“”是“直線：與直線：平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行的判定與性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件判定即可.
【詳解】若直線：與直線：平行，則，可得.
當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不符合題意.
所以“直線：與直線：平行”等價(jià)于“”.
所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.
故選：C
3．以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意，因此圓方程為．
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
4．已知向量，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，再由，利用向量垂直的性質(zhì)能求出.
【詳解】解：∵向量，，
∴，
∵，∴，
解得.
故選：D.
5．已知圓，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.
【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，
設(shè)，當(dāng)過點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時(shí)
根據(jù)弦長公式得最小值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.
6．一直線l經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是直線的傾斜角的一半，則直線的方程是（ ）
A．B．．
C．D．
【答案】B
【分析】先由已知直線的方程求出直線的斜率，從而得到已知直線的傾斜角，又根據(jù)到直線的傾斜角是已知直線傾斜角的一半，得到直線的傾斜角等于，進(jìn)一步根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的方程.
【詳解】因?yàn)橹本€，
所以直線的斜率等于，
根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系得：
直線的傾斜角等于，
所以直線的傾斜角等于，
則直線的斜率等于，
利用點(diǎn)斜式得直線的方程為：，
整理化簡得直線的方程為：，
故選：B.
【點(diǎn)睛】求解直線方程時(shí)應(yīng)該注意以下問題：
一是根據(jù)斜率求傾斜角，要注意傾斜角的范圍；
二是求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)對斜率存在與不存在加以討論；
三是在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論.
7．如圖所示，在空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由向量的加法和減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】
故選：B
8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線的左支上有、兩點(diǎn)使得.若的周長與的周長之比是，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，可得，利用雙曲線的定義可求得和的周長，由已知條件求得，再由可求得雙曲線的離心率的值.
【詳解】設(shè)，則由，得.
由于，，
所以，.
則的周長為，
的周長為.
根據(jù)題意得，得，
又因?yàn)椋矗?br>所以，代入，得，
可得，解的，
因此，該雙曲線的離心率為.
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.
二、多選題
9．下列說法中，正確的有（ ）
A．直線必過定點(diǎn)
B．直線在軸上的截距為1
C．直線的傾斜角為
D．點(diǎn)到直線的距離為1
【答案】AC
【分析】對A,化簡方程令的系數(shù)為0求解即可.
對B,根據(jù)截距的定義辨析即可.
對C,求出直線的斜率再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系辨析即可.
對D,利用橫縱坐標(biāo)的差求解即可.
【詳解】對A,化簡得直線,故定點(diǎn)為.故A正確.
對B, 在軸上的截距為.故B錯(cuò)誤.
對C,直線的斜率為,故傾斜角滿足,
即.故C正確.
對D, 因?yàn)橹本€垂直于軸,故到的距離為.故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，且短軸長為2，離心率為，過焦點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓方程為B．橢圓方程為
C．D．的周長為
【答案】ACD
【分析】由已知求得b，再由離心率結(jié)合隱含條件求得a，可得橢圓方程，進(jìn)一步求得通徑及的周長判斷得答案．
【詳解】由已知得，2b=2，b=1，，
又，解得，
∴橢圓方程為，
如圖：
∴，的周長為．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．
11．已知圓O：x2+y2＝4和圓M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B兩點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．圓M的圓心為（1，－2），半徑為1
B．直線AB的方程為x－2y－4＝0
C．線段AB的長為
D．取圓M上點(diǎn)C（a，b），則2a－b的最大值為
【答案】ABD
【分析】化圓M的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑判斷A；聯(lián)立兩圓的方程求得AB的方程判斷B；由點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理求得AB的長判斷C；利用直線與圓相切求得2a－b的范圍判斷D．
【詳解】由圓M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
則圓M的圓心為（1，－2），半徑為1，故A正確；
聯(lián)立圓O：x2+y2＝4和圓M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次項(xiàng)，
可得直線AB的方程為x－2y－4＝0，故B正確；
圓心O到直線x－2y－4＝0的距離d，圓O的半徑為2，
則線段AB的長為2，故C錯(cuò)誤；
令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直線2x－y－t＝0的距離等于圓M的半徑，
可得，解得t＝4．
∴2a－b的最大值為，故D正確．
故選：ABD．
12．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（ ）
A．
B．與平面所成角為
C．異面直線與所成角的余弦值為
D．平面與平面所成二面角的平面角為銳角時(shí)的余弦值為
【答案】AD
【分析】設(shè)，則，由余弦定理求出的長，可得，由底面可得，由線面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理即可判斷選項(xiàng)A；計(jì)算即可判斷選項(xiàng)B；計(jì)算即可判斷選項(xiàng)C；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，計(jì)算再結(jié)合圖形可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對于A，由，及余弦定理得，從而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正確.
對于B，因?yàn)榈酌?，所以就是與平面所成的角，又，所以.故B錯(cuò)誤.
對于C，顯然是異面直線與所成的角，易得.故C錯(cuò)誤.
對于D，以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，，，所以，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
取，則，，
此時(shí).
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
取，則，，此時(shí)，
所以，
所以平面與平面所成二面角的平面角為銳角時(shí)的余弦值為.故D正確.
故選：AD.
三、填空題
13．直線恒過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為_______
【答案】
【分析】直線方程可化為，令，即可得出答案.
【詳解】解：直線方程可化為，
令，解得，
所以直線過定點(diǎn).
故答案為：
14．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，且是拋物線焦點(diǎn)，若P是與的交點(diǎn)，且，則的值為___________.
【答案】
【分析】利用橢圓定義求出，再借助拋物線的定義結(jié)合幾何圖形計(jì)算作答.
【詳解】依題意，由橢圓定義得，而，則，
因點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線l過點(diǎn)，如圖，
過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，由拋物線定義知，而，則，
所以.
故答案為：
15．是雙曲線的上焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線下支交于兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_______．
【答案】
【分析】連接，根據(jù)圓和正三角形性質(zhì)可知，為含有的，再利用雙曲線定義得到的關(guān)系，可求出雙曲線離心率.
【詳解】如圖連接，
是圓的直徑，，，
又是等邊三角形，，
在中：，，
由雙曲線的定義得
雙曲線的離心率為．
故答案為：
16．過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：()作切線，切點(diǎn)分別為、，若的最小值為，則________.
【答案】
【解析】根據(jù)已知條件可得、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，由圓切線的性質(zhì)可得，由雙曲線的幾何性質(zhì)可求出最小值，即可求出.
【詳解】解：由得，，則、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是題中圓的圓心，
∴
，當(dāng)在軸上時(shí)，最小為，
則最小值為，解得.
故答案為:.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形和雙曲線的定義，明確何時(shí)取最小值，從而結(jié)合已知條件即可求出半徑.
四、解答題
17．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，.
(1)求線段的中垂線所在直線的方程；
(2)一束光線從點(diǎn)射向軸，反射后的光線過點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的中點(diǎn)坐標(biāo)及中垂線的斜率，進(jìn)而求出方程；
（2）求出關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求反射光線所在的直線方程．
【詳解】（1）∵，
∴中點(diǎn)為.且.
∴線段的中垂線的斜率為1，
∴由直線方程的點(diǎn)斜式可得線段的中垂線所在直線方程為即.
（2）∵關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，
∴
所以直線的方程為：，
即反射光線所在的直線方程為
18．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是4長為的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為PA的中點(diǎn)，PA＝PD＝．
(1)求證：PC∥平面BMD；
(2)求二面角M－BD－P的大?。?br>【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】連接AC交BD于N，連接由三角形中位線知MN∥PC即得證；
取AD的中點(diǎn)O，連接OP，說明OP、OD、ON兩兩相互垂直，則分別以O(shè)D、ON、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法即可求出二面角的大小.
【詳解】（1）連接AC交BD于N，連接
在正方形ABCD中，，
∴N是AC的中點(diǎn).
又M是AP的中點(diǎn)，
∴MN是的中位線，，
∵面BMD，面BMD，
∴∥平面BMD，
（2）取AD的中點(diǎn)O，連接OP，
在中，，O是AD的中點(diǎn)，
∴，
又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，
∴平面
在正方形ABCD中，O，N分別是AD、BD的中點(diǎn)，
∴，
∴OP，OD，ON兩兩相互垂直，分別以O(shè)D，ON，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
，，，，
∴，，
設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量，
則，即
取，得，
∴是平面MBD的一個(gè)法向量：
同理，是平面PBD的一個(gè)法向量，
∴，
設(shè)二面角的大小為，
由圖可知，，，且為銳角，
∴，
故二面角的大小是
19．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的點(diǎn)，且.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求A，B中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由已知結(jié)合焦半徑公式求得，則拋物線方程可求；
（2）設(shè)，，，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求得，，再求得，從而可得中點(diǎn)坐標(biāo)，再由弦長公式求弦長．
【詳解】（1）解： 在拋物線上，且，
，則，
故拋物線的方程為；
（2）解：聯(lián)立，可得．
設(shè)，，，，
，，
則，
所以A，B中點(diǎn)坐標(biāo)，
．
20．已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，且雙曲線C過點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l過點(diǎn)且斜率為1，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根據(jù)給定條件求出雙曲線C的左右焦點(diǎn)，的坐標(biāo)，再借助定義求出a，b作答.
(2)由(1)求出直線l的方程，再與雙曲線C的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)A，B縱坐標(biāo)差的絕對值即可計(jì)算作答.
【詳解】（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，于是得雙曲線C的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，
因點(diǎn)在雙曲線C上，則，即，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）由(1)知，雙曲線C的焦點(diǎn)，，則直線l的方程為：，
由消去x并整理得：，設(shè)，
則有，因此，，
于是得，
所以的面積是.
21．橢圓：()的長軸長等于圓：的直徑，且的離心率等于．直線和是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，交于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求直線的斜率()．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，則橢圓方程得解；
（2）設(shè)出直線的方程，求得弦長，根據(jù)面積，即可求得斜率.
【詳解】（1）由題意得，∴，∵，∴，∴ ，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為零，
故設(shè)直線：，則直線：，
由，得，恒成立，
設(shè)、，則，，
∴，
∵圓心到直線：的距離，
又，∴，
∵，∴四邊形的面積，
由，解得或，由，得．
【點(diǎn)睛】本題考察橢圓方程的求解，以及直線截橢圓的弦長的求解；本題中需要注意求解的準(zhǔn)確性,同時(shí)要注意四邊形對角線垂直的特點(diǎn)，進(jìn)而求解面積，屬中檔題.
22．在四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，，，，為線段的中點(diǎn)，過的平面與線段，分別交于點(diǎn)，.
(1)求證：；
(2)若，線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，為的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)
【分析】（1）根據(jù)給定條件證得及平面，即可得解.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，假定存在符合條件的點(diǎn)G，借助空間向量求出點(diǎn)G的坐標(biāo)即可判斷作答.
【詳解】（1）在直角梯形中，，且為線段的中點(diǎn)，則，
又，即有四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，于是有平面，
又平面，平面平面，則，
而，則有，
且平面平面，平面平面，平面，
因此平面，即平面，
又平面，所以.
（2）存在，為的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
因，為線段的中點(diǎn)，則，由（1）可得，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?，y，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，，
設(shè)，得，則，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
于是有，
解得或(舍)，
所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，
為的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

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