技巧一、固定面積的存在性問(wèn)題
割補(bǔ)法（鉛錘線法)：過(guò)動(dòng)點(diǎn)豎直作切割線，將幾何圖形切割成兩個(gè)圖形分別求面積然后求和化簡(jiǎn)即可得到幾何圖形的面積，可得最大面積.
技巧二、平行四邊形的存在性問(wèn)題
（1）3定1動(dòng)：我們把3個(gè)定點(diǎn)順次連接圍成三角形,然后過(guò)每個(gè)定點(diǎn)做對(duì)邊的平行線,三條直線的交點(diǎn)就是我們要求的三點(diǎn).
（2）2動(dòng)2定：一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況，然后用中點(diǎn)坐標(biāo)和平行四邊形對(duì)角線互相平分即可計(jì)算
中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知,則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
平行四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,
根據(jù)“平行四邊形對(duì)角線互相平分”可知：對(duì)角線的中點(diǎn)與對(duì)角線的中點(diǎn)相同,可得
技巧三、等腰三角形的存在性問(wèn)題
如果為等腰三角形,一般來(lái)說(shuō)分三種情況討論：（1）;（2）;（3）.因此,在解決等腰三角形存在性問(wèn)題時(shí),通常需要進(jìn)行分類討論,這類問(wèn)題通常有兩種方法：幾何法與代數(shù)法.
（1）幾何法：
①兩定一動(dòng)點(diǎn)：可采用“兩圓一中垂”的方法快速找出點(diǎn)，再根據(jù)幾何的相關(guān)知識(shí)求解;
②一定兩動(dòng)點(diǎn)：把三種情況對(duì)應(yīng)的圖全部都畫出來(lái),再根據(jù)幾何的相關(guān)知識(shí)求解;
注：常見(jiàn)的幾何相關(guān)知識(shí)有：全等三角形,相似三角形,銳角三角形函數(shù),勾股定理,特殊角,三線合一等.
（2）代數(shù)法：
兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式：已知,
步驟如下：①先用坐標(biāo)表示；②再利用兩點(diǎn)距離公式表示出；
③分三類討論：1.，2.，3.;
④檢驗(yàn)和總結(jié)：舍去重合等不滿足題意的點(diǎn)，并總結(jié)
技巧四、直角三角形的存在性問(wèn)題
如果為直角三角形，一般來(lái)說(shuō)分三種情況討論：(1);(2);(3)。因此，在解決等腰三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常需要進(jìn)行分類討論，常見(jiàn)由兩種方法處理：
（1）代數(shù)法：
步驟如下：①先用坐標(biāo)表示三個(gè)點(diǎn)；②再利用兩點(diǎn)距離公式表示出;
③分三類討論：1.；2.;
3.;
④檢驗(yàn)和總結(jié)：舍去重合等不滿足題意的點(diǎn)，并總結(jié)
（2）解析法：
已知直線和直線，若,則直線。
題型一 固定面積的存在性問(wèn)題
【例1】如圖，頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線與直線相交于點(diǎn)，，連接.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若將拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則在平移后的拋物線上，且在直線的下方，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．
（?。┊?dāng)時(shí)，求與的面積之和；
（ⅱ）在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-1】如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字，導(dǎo)致題目缺少一個(gè)條件而無(wú)法解答，經(jīng)查詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為．
(1)請(qǐng)根據(jù)已有信息添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： ；
(2)當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍： ；
(3)如圖1，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，與
的圖象組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，記為．若點(diǎn)在上，求的值；
(4)如圖2，在（3）的條件下，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在上是否存在點(diǎn)，使得若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-2】如圖是二次函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）
(1)寫出拋物線的解析式、開(kāi)口方向、對(duì)稱軸；
(2)求出圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
(3)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-3】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，并且與軸交于點(diǎn)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)直接寫出直線的解析式為_(kāi)__________；
(3)若點(diǎn)是第一象限的拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最大值；
(4)在軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)，使以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．
題型二 平行四邊形的存在性問(wèn)題
【例3】如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)P是拋物線段上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出面積的最大值；
(3)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【例4】如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，與x軸的交點(diǎn)為A和B．將拋物線繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)，為點(diǎn)M，A旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點(diǎn)．

(1)若原拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的解析式；
(2)若A，關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱，求直線的解析式；
(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P是原拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是旋轉(zhuǎn)后的圖形的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，E為線段的中點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式2-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C、點(diǎn)D關(guān)于拋物線C的對(duì)稱軸對(duì)稱．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)將拋物線沿水平方向向右平移1個(gè)單位得到拋物線，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，P為拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式2-2】如圖1，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

(1)填空：______，______；求得直線的解析式為_(kāi)_____．
(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，使得的面積最大？求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及的面積最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，過(guò)P作x軸的平行線交拋物線于Q，是否存在這樣的點(diǎn)P，使O，A，P，Q四點(diǎn)能組成一個(gè)平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式2-3】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，如圖①

(1)求拋物線解析式
(2)直線的函數(shù)解析式為_(kāi)_______________．點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，具體作法如圖②，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型三 菱形的存在性問(wèn)題
【例5】綜合與探究：如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．將直線沿射線方向向下平移n個(gè)單位，平移后的直線與直線交于點(diǎn)F，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．

(1)求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的解析式；
(2)當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求出n的值；
(3)直線上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【例6】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)B在拋物線上，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長(zhǎng)；
(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為常數(shù)）與一次函數(shù)（為常數(shù)）交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為直線上方拋物線上一點(diǎn)，連接、，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將拋物線（為常數(shù)）沿射線平移個(gè)單位，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)且為對(duì)角線的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-2】已知，拋物線L：與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線L的表達(dá)式．
(2)若點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，將拋物線L平移得到拋物線，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，是否存在以四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出拋物線的平移方式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-3】如圖，已知二次函數(shù)圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，連接．

(1)求；
(2)如圖1，點(diǎn)P在直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將拋物線沿著射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，點(diǎn)M在新拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以B、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并選擇其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出求解過(guò)程．
題型四 等腰三角形的存在性問(wèn)題
【例7】如圖，拋物線交軸于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，對(duì)稱軸交軸于，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是直線下方的拋物線上一點(diǎn)，且．求的坐標(biāo)；
(3)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【例8】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線P：的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，且圖象與拋物線Q：的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．

(1)求拋物線P的表達(dá)式；
(2)連接BC，點(diǎn)D為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸，交拋物線P的圖象于點(diǎn)E，求線段DE長(zhǎng)度的最大值；
(3)如圖②，在拋物線P的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式4-1】如圖，拋物線與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)），其頂點(diǎn)為點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．連接交y軸于D

(1)求a，h，k的值．
(2)證明：是直角三角形．
(3)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得是等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式4-2】如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q．

(1)求拋物線及直線的表達(dá)式；
(2)過(guò)點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)N．求線段的最大值；
(3)試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式4-3】綜合與探究：如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)Q．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型五 直角三角形的存在性問(wèn)題
【例9】如圖1，已知拋物線與軸交于A，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，且，點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)P是直線上方拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，，與分別交于點(diǎn)Q和E，如圖2，求的最大值；
(3)連接與，是否存在以為直角邊的．如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【例10】如圖1所示，已知直線與拋物線分別交于x軸和y軸上同一點(diǎn)，交點(diǎn)分別是點(diǎn)和點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為直線．

(1)請(qǐng)分別求出k，m，a，b的值；
(2)如圖2，點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段的最小值；
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是直角三角形？若存在請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式5-1】如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，交直線于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若平分時(shí)，試求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式5-2】已知直線l與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．

(1)求直線的函數(shù)解析式和拋物線的函數(shù)解析式；
(2)在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn)，連接、，求面積的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使為直角三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式5-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型六 等腰直角三角形的存在性問(wèn)題
【例11】如圖①，已知拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，的平分線交線段于點(diǎn)，連結(jié)．

(1)求拋物線的關(guān)系式并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若動(dòng)點(diǎn)在軸下方的拋物線上，連結(jié)、，當(dāng)面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)橫坐標(biāo)；
(3)若將拋物線向上平移個(gè)單位，且其頂點(diǎn)始終落在的內(nèi)部或邊上，寫出的取值范圍；
(4)如圖②，是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使成為以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【例12】如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及拋物線的對(duì)稱軸；
(2)過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線l，點(diǎn)E在直線l上運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試判斷在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式6-1】在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱這兩點(diǎn)關(guān)于x軸斜對(duì)稱，其中一點(diǎn)叫做另一點(diǎn)關(guān)于x軸的斜對(duì)稱點(diǎn)．如：點(diǎn)，關(guān)于x軸斜對(duì)稱，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
(1)下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)A關(guān)于x軸斜對(duì)稱的點(diǎn)是________（只填序號(hào)）；
①，②，③，④．
(2)若點(diǎn)A關(guān)于x軸的斜對(duì)稱點(diǎn)B恰好落在直線上，的面積為3，求k的值；
(3)拋物線上恰有兩個(gè)點(diǎn)M、N與點(diǎn)A關(guān)于x軸斜對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)為D，且為等腰直角三角形，則b的值為_(kāi)_______．
【變式6-2】如圖，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)連接，點(diǎn)P為線段上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)是否存在點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，使得是以為斜邊的等腰直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式6-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)E為B點(diǎn)左側(cè)x軸上一動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合），點(diǎn)Q為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以為斜邊的等腰直角？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
1．（2023春·重慶渝北·九年級(jí)禮嘉中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P為線段上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)F，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線方向平移，得到新拋物線，新拋物線和原拋物線交于點(diǎn)B，點(diǎn)M是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是新拋物線上的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P、M、Q為頂點(diǎn)的三角形是以為斜邊的等腰直角三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
2．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┮阎獟佄锞€L：經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，與x軸的交點(diǎn)為A、B，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式：
(2)將拋物線L平移，得到拋物線，且點(diǎn)A經(jīng)過(guò)平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．要使是以為斜邊的等腰直角三角形，求滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
3．（2023秋·廣東湛江·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）．
(1)求拋物線的解析式．
(2)如圖，連接，，．試判定的形狀，并說(shuō)明理由；
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
4．（2022秋·山東泰安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)證明為直角三角形；
(3)在拋物線上除C點(diǎn)外，是否還存在另外一個(gè)點(diǎn)P，使是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．（2023秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)．
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并寫出拋物線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P在線段AC上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)Q，直線PQ交x軸于點(diǎn)M，連接CQ，OP，如果，求PM的長(zhǎng)；
(3)探究拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．（2022秋·陜西渭南·九年級(jí)校考期中）如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
7．（2023春·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，已知拋物線C：的對(duì)稱軸為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與x軸交于另一點(diǎn)B．

(1)求拋物線C的解析式；
(2)如圖所示，若點(diǎn)M是直線上方拋物線C上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)所得的面積為S，請(qǐng)結(jié)合圖象求S的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，將拋物線C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，點(diǎn)N是x軸上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣eS最大時(shí)，在x軸是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
8．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P為直線下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線交于E點(diǎn)，當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)拋物線頂點(diǎn)為M，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)求出N點(diǎn)坐標(biāo)并在備用圖中畫出圖形；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
9．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)校考期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．

(1)填空： ， ， ；
(2)如圖2，點(diǎn)是線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，記．
①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)取和時(shí)，試比較的對(duì)應(yīng)函數(shù)值和的大?。?br>(3)如圖3，直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
10．（2023秋·廣西梧州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使的面積與的面積相等，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）二次函數(shù)的圖象，與軸交于原點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)大家知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，過(guò)，兩點(diǎn)可畫無(wú)數(shù)條拋物線，設(shè)頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向軸、軸作垂線，垂足為點(diǎn)，．求當(dāng)所得的四邊形為正方形時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式；
(3)點(diǎn)在（1）中求出的二次函數(shù)圖象上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，是否存在的面積為2，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
12．（2023秋·湖南永州·九年級(jí)校考期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；
(2)當(dāng)拋物線上的點(diǎn)在上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值．
(3)已知點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)線段取得最大值時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)，，使得四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
13．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
(1)求的值；
(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．
（i）當(dāng)時(shí)，求與的面積之和；
（ii）在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．求該二次函數(shù)的解析式．

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