技巧一、二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題
1、定軸定區(qū)間
對(duì)于二次函數(shù)在上的最值問題（其中a、b、c、m和n均為定值）：
（1）若自變量x為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在時(shí)，取到最小值，無最大值．
（2）若，如圖②，當(dāng)，；當(dāng)，．
（3）若，如圖③，當(dāng)，；當(dāng)，．
（4）若，，如圖④，當(dāng)，；當(dāng)，．
2、軸或動(dòng)區(qū)間
對(duì)于二次函數(shù)，在（m，n為參數(shù)）條件下，函數(shù)的最值需要分別討論m，n與的大?。?br>技巧二、線段最值的解題思路
一般將所求線段在拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來，另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)也設(shè)出來，若橫坐標(biāo)相同，用兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減即可得出一個(gè)二次函數(shù)解析式的形式，求出這個(gè)函數(shù)的最值即可;若是縱坐標(biāo)相同，采用同樣的方法，也可求出。
技巧三、線段和或周長最值解題方法
將軍飲馬原理:兩點(diǎn)間線段最短:點(diǎn)到直線的垂直距離最短.
策略:對(duì)稱（翻折)→化同為異:化異為同:化折為直.

技巧四、割補(bǔ)法（鉛錘線法)
過動(dòng)點(diǎn)豎直作切割線，將幾何圖形切割成兩個(gè)圖形分別求面積然后求和化簡即可得到幾何圖形的面積，可得最大面積.
題型一 定軸定區(qū)間求最值
【例1】二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為 ．
【答案】/
【分析】先把函數(shù)化成頂點(diǎn)式 ，求出二次函數(shù)的最小值，再求出當(dāng)和對(duì)應(yīng)的y值，確定端點(diǎn)值，即可得出答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，能把函數(shù)化成頂點(diǎn)式和求出當(dāng)和對(duì)應(yīng)的y值是解此題的關(guān)鍵．
【例2】已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則a的值為 ．
【答案】4或
【分析】由題意可知的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，在，，解得，即可求解答案．
【詳解】解：的對(duì)稱軸為直線，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，在，函數(shù)有最小值，
∵的最小值為，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，在，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，
∴，
解得；
綜上所述：的值為4或．
故答案為：4或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在指定的范圍內(nèi)準(zhǔn)確求出函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】已知二次函數(shù)（其中x是自變量），當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，且時(shí)，y的最大值為9，則a的值為（ ）
A．1或B．1C．D．或
【答案】B
【分析】先將題目中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到該函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，即可得到a的正負(fù)情況，最后根據(jù)當(dāng)時(shí)，y的最大值為9和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得a的值．
【詳解】解：∵二次函數(shù)（其中x是自變量），
∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，
，
又∵當(dāng)時(shí)，y的最大值為9，
時(shí)，，
即，
解得，（舍去），，
由上可得，a的值是1，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【變式1-2】已知二次函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為 ．
（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù) 的最小值為，則m的值為 ．
【答案】 或
【分析】（1）把代入可得，，即可求解；
（2）根據(jù)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，y取最小值，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴最小值為，
故答案為：；
（2）
，
∵當(dāng)時(shí)，二次函數(shù) 的最小值為，
當(dāng)時(shí)，，y取最小值，
即，
解得，
當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，
∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∴，y取最小值，
即，
解得，
綜上所述，或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．
（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
（2）當(dāng)時(shí)，拋物線的最小值為，則的值為 .
【答案】 1或
【分析】（1）令，且結(jié)合，以及點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)即可作答；
（2）分和兩種情況進(jìn)行談?wù)?，得出最小值且結(jié)合題意，解方程即可列式作答求解．
【詳解】解：（1）由題意得：令，
則，
解得：，，
∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，最小值為，
∵當(dāng)時(shí)，拋物線的最小值為，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，當(dāng)有最大值，
∵，，且；
∴當(dāng)時(shí)，離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，
故在時(shí)，拋物線取得最小值，
即，
解得；
所以的值為1或．
故答案為：；1或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸和最值問題，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
題型二 動(dòng)軸定區(qū)間求最值
【例3】已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量的取值在的范圍中時(shí)，函數(shù)有最小值，則的最大值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可找出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，分、及三種情況考慮，利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合的取值范圍即可找出的取值范圍，取其最大值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線．
當(dāng)時(shí)，時(shí)取最小值，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，時(shí)取最小值，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，時(shí)取最小值，此時(shí)．
綜上所述：的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，分、及三種情況考慮是解題的關(guān)鍵．
【例4】已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則的最大值為（ ）
A．4B．6C．8D．
【答案】C
【分析】由二次函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸，分類討論拋物線開口向下及開口向上的的取值范圍，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．
【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線：，
①當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，
∵時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴，即．
解得，
∴，
∵，
∴．
②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，
∵時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
∵，
∴此情況不存在．
綜上所述，最大值為8．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．
【變式2-1】已知關(guān)于的二次函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).
（1）當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，該二次函數(shù)有最小值為 ；
（2）當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最小值10，則的值為 .
【答案】 1 或5
【分析】（1）運(yùn)用配方法，將解析式化為頂點(diǎn)式，可知二次函數(shù)極值與參數(shù)m無關(guān)；
（2）根據(jù)（1）可知，要使最小值為10，則或，分情況討論：在兩種情況下，根據(jù)增減性，分別確定自變量取值范圍內(nèi)最小值情況，建立方程求解．
【詳解】（1）∵，又拋物線開口向上，
∴取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)有最小值1.
（2）由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，最小值為1；
當(dāng)，時(shí)，為最小值，解得（舍去）或.
當(dāng)，時(shí)，為最小值，解得或（舍去）.
綜上所述，的值為或5.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程、配方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，注意根據(jù)增減性確定自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)極值是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線．
(1)若拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)時(shí)，求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)，在拋物線上，且，請(qǐng)直接寫出結(jié)果m的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6，直接寫出m的值．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)當(dāng)， m的取值范圍為
(3)m的值為m=-2或
【分析】（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，，解得：，當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，，解得，取其公共解即可
（2）∵a=1＞0，拋物線開口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)，都在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上，列不等式；，當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)C離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，點(diǎn)D離對(duì)稱軸近，列不等式5+m＜-m-2，解不等式即可；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6，分三種情況，拋物線對(duì)稱軸，拋物線，得出；當(dāng)對(duì)稱軸-m＜1即m＞-1，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，x=1是取最小值，即；當(dāng)對(duì)稱軸-m＞3即m＜-3，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，x=3時(shí)，取最小值，即，解方程即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，，
解得：，
當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，，
解得，
∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，
∴m=1，
拋物線的解析式為；
（2）解：∵a=1＞0，拋物線開口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)點(diǎn)，都在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上，
，
解得，
當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)C離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，點(diǎn)D離對(duì)稱軸近，拋物線得對(duì)稱軸為x=-m;
∴5+m＜-m-2，
解得，
∴當(dāng)， m的取值范圍為；
（3）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6，
拋物線對(duì)稱軸，拋物線，
∴，
解得m=3（舍去）或m=-2，
當(dāng)對(duì)稱軸-m＜1即m＞-1，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，
∴x=1是取最小值，即，
∴解得（舍去）或，
當(dāng)對(duì)稱軸-m＞3即m＜-3，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，
∴x=3時(shí)，取最小值，即，
解得，都舍去，
綜合得m的值為m=-2或．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的性質(zhì)，增減性，最值，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的性質(zhì)，增減性，最值是解題關(guān)鍵．
【變式2-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．

(1)若，求該拋物線的解析式；
(2)若，是（1）中拋物線上的兩點(diǎn)，且，求線段中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時(shí)，y有最小值3，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先得出，再把，代入求出b和c的值，即可求出該拋物線的解析式；
（2）把，代入得出關(guān)于和的表達(dá)式，再根據(jù)，列出方程求出m的值，得出點(diǎn)和的坐標(biāo)， 根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出M的坐標(biāo)；
（3）把代入得出，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)得出拋物線對(duì)稱軸為直線，再得出拋物線對(duì)稱軸為直線，推出，，得出拋物線表達(dá)式為，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)， ②當(dāng)時(shí)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
把，代入得：
，解得：，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：把，代入得：
，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，，
∴；
當(dāng)時(shí)，，，
∴．
綜上：或．
（3）解：把代入得：，
∴，
∵，，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴，則，
∴，
拋物線表達(dá)式為，
∵，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，
①當(dāng)時(shí)，解得：，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，y取最小值，
∴，
解得：
②當(dāng)時(shí)，解得：，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，y取最小值，
∴，
整理得：，
∵，
∴該方程無解．
綜上：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式的方法和步驟，二次函數(shù)的增減性，以及二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線．
題型三 定軸動(dòng)區(qū)間求最值
【例5】當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為8，則的值為（ ）
A．或5B．5或8C．或8D．0或5
【答案】C
【分析】分類討論對(duì)稱軸的位置即可求解．
【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線
時(shí)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值
即：
解得：（舍去）
時(shí)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值
即：
解得：（舍去）
故：的值為或8
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值問題．根據(jù)對(duì)稱軸的位置確定二次函數(shù)的最值是解題關(guān)鍵．
【例6】二次函數(shù)，當(dāng)，有最小值1，則m的值為 ．
【答案】4或7
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式及時(shí)的值，畫出草圖，結(jié)合函數(shù)在的范圍內(nèi)有最小值1可知或，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或，

∵當(dāng)時(shí)，有最小值1，
∴由圖象可知，當(dāng)時(shí)，圖象在直線上方，
且或時(shí)，函數(shù)有最小值1，
則或，
即：的值為4或7；
故答案為：4或7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的最值，確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值，借助數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵．
【變式3-1】當(dāng)，函數(shù)的最小值為0，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由條件可知當(dāng)時(shí)，y有最小值0，可知在范圍內(nèi)，x可以取得1，則可得到m的取值范圍．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，且最小值為0，
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為0，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的最值，掌握當(dāng)x取得對(duì)稱軸值時(shí)，函數(shù)有最值是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】已知二次函數(shù)（為常數(shù)，）．點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上．
(1)求該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；
(2)當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)值取得的最大值為9，求的值．
【答案】(1)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，；
(2)．
【分析】（1）把代入中即可求出的值，得到拋物線的解析式，據(jù)此即可求解；
（2）根據(jù)確定的解析式求出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定時(shí)的值，即的值．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，
∴．
∴．
解得：或．
∵，
∴．
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，；
（2）解：∵二次函數(shù)的解析式為，
配方得：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，
∴．
∴解得：或．
∵當(dāng)時(shí)，的最大值為9，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．
【變式3-3】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，拋物線有最小值5，求的值．
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為
(2)或
【分析】（1）點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線的解析式求出的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，拋物線取得最小值； 當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，拋物線取得最小值．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線的解析式可得：
，
解得：，
拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：，
拋物線的最小值是，對(duì)稱軸為，
和不可能在拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，
當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)當(dāng)時(shí)，拋物線取得最小值，即，
解得：（舍去）或，
即，
當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)當(dāng)時(shí)，拋物線取得最小值，即，
解得：（舍去）或，
即，
綜上所述：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型四 求線段最值
【例7】如圖，在中，，cm，cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)．若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，用S表示的面積，t表示移動(dòng)的時(shí)間．
(1)求秒時(shí)，的面積；
(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求面積的最大值；
(3)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的距離最短，并求這個(gè)最短距離．
【答案】(1)5cm2
(2)，最大值 cm2
(3)當(dāng)時(shí)，PQ的最小值為cm
【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形面積公式代入數(shù)據(jù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
，，
，
．
（2）解：，
，
最大值．
（3）解：，
當(dāng)時(shí)，PQ的最小值為cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，根據(jù)已知求出，是解題的關(guān)鍵．
【例8】如圖，中，，，，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在外作等邊．若是的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】過點(diǎn)D作DG⊥BC于G，過點(diǎn)F作FH⊥BC于H，設(shè)等邊△BDE的邊長為x，解直角三角形BG，DG，再求出∠CBE=90°，然后根據(jù)梯形的中位線等于兩底和的一半求出FH，再求出CH，然后利用勾股定理列式表示出CF2，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出CF2的最小值，然后開方即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BC于G，過點(diǎn)F作FH⊥BC于H，
設(shè)等邊△BDE的邊長為x，
∵∠ABC=30°，
∴BG=x，DG=x，
∵∠ABC=30°，△BDE是等邊三角形，
∴∠CBE=90°，
∵F為DE中點(diǎn)，
∴FH是梯形BEDG的中位線，
，
，
，
，
，
在中，
為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)有最小值81，
∶CF的最小值為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，二次函數(shù)的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，梯形的中位線等于兩底和的一半，解題的關(guān)鍵是熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線構(gòu)造出以CF為斜邊的直角三角形．
【變式4-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（10，0），點(diǎn)P為線段OA上任意一點(diǎn)．在直線y＝x上取點(diǎn)E，使PO＝PE，延長PE到點(diǎn)F，使PA＝PF，分別取OE、AF中點(diǎn)M、N，連結(jié)MN，則MN的最小值是（ ）
A．4.8B．5C．5.4D．6
【答案】A
【分析】分別證明，，∠MPN=90°，易得為直角三角形，設(shè)，則，，由勾股定理得，從而可得出最小值為，進(jìn)一步得出結(jié)論．
【詳解】，為的中點(diǎn)，
，
，為的中點(diǎn),
，,
連接，則為直角三角形，
設(shè)，則，，
當(dāng)時(shí)，最小值為
∴的最小值為
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段最小值的求解方法，列出求出最小值為是解決本題的關(guān)鍵．
【變式4-2】如圖，拋物線L：yx2x﹣3與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求直線AB的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn)P為第四象限且在對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸，垂足為C，PC交AB于點(diǎn)D，求PD的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【答案】（1），；（2）最大為，
【分析】（1）將，代入求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解直線解析式即可，求得拋物線的對(duì)稱軸，再將對(duì)稱軸代入即可求解；
（2）設(shè)，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，用表示出線段的長度，再用配方法求解最值即可．
【詳解】解：（1）將代入得，即
將代入得，化簡得
即，解得（舍），即
設(shè)直線為，將，代入得
，解得，即直線為
拋物線的對(duì)稱軸為
將代入得
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
（2）設(shè)點(diǎn)，則，
線段
∴當(dāng)時(shí)，最大為，
即當(dāng)點(diǎn)時(shí)，最大為
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求直線解析式，二次函數(shù)頂點(diǎn)，配方法求二次函數(shù)的最大值，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)．為拋物線在第三象限部分上的一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求線段長度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若線段把分成面積比為的兩部分，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為然后把代入求解即可得到答案；
（2）求出直線AC的解析式，然后設(shè)，，利用兩點(diǎn)距離公式表示出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3），分和兩種情況討論求解即可得到答案.
【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將代入表達(dá)式，解得，
拋物線的表達(dá)式為：，
即：；
（2）設(shè)直線的表達(dá)式為：．則，將代入表達(dá)式，得，
直線得表達(dá)式為：；
設(shè)，．
則；
把代入，得：，
，
線段長度得最大值是，此時(shí)的坐標(biāo)是；
（3）根據(jù)題意，，
當(dāng)時(shí)，有：，
解得（舍去）；
當(dāng)時(shí)，有：，
解得：，（舍去）；
綜上所述：當(dāng)（-1，0）時(shí)，滿足條件．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).
題型五 求線段和最值
【例9】已知拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖，點(diǎn)是拋物線上位于直線上方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的平行線，交直線于點(diǎn)，，當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）
【分析】（1）把點(diǎn)，代入拋物線，求出a、b，即可求出拋物線解析式，配方為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出OA，OC長，進(jìn)而證明PD=PE，即PD+PE=2PE，得到當(dāng)?shù)拈L度最大時(shí)，取最大值，求出直線AC解析式為，設(shè)，則，得到，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出當(dāng)時(shí)，最大，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
，
解得，，
拋物線的解析式為．
，
拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（2）由（1）知，拋物線的解析式為，
，
．
，
，
，
．
平行于軸，平行于軸，
，，
，
，
，
，
當(dāng)?shù)拈L度最大時(shí)，取最大值．
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，
把，代入得，
解得，，
直線解析式為．
設(shè)，則，
．
，
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，綜合性較強(qiáng)，第（1）步根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，第（2）步根據(jù)函數(shù)解析式得到PD=PE，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)拈L度最大時(shí)，取最大值時(shí)解題關(guān)鍵．
【例10】如圖（1），二次函數(shù)的圖象與軸、直線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)、．

圖（1） 圖（2） （備用圖）
（1）_________，_________，=_________；
（2）連接AB，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)（異于點(diǎn)A），且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），點(diǎn)、是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與拋物線相交于點(diǎn)、，連接．當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值并判斷四邊形的形狀；
②連接、，求為何值時(shí)，取得最小值，并求出這個(gè)最小值．
【答案】（1），，；（2）；（3）①時(shí)，取得最大值；四邊形是平行四邊形；②當(dāng)時(shí)，最小，這個(gè)最小值為．
【分析】（1）利用坐標(biāo)點(diǎn)過二次函數(shù)圖像，待定系數(shù)法即可得.
直線OB是正比例函數(shù)， ，可得出直線與x軸的夾角.
（2）通過找的對(duì)稱點(diǎn) 作輔助線,通過圖像的幾何特征聯(lián)立方程求出直線解析式，直線一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)即為所求的坐標(biāo)點(diǎn).
（3）①找出線段關(guān)系式，即線段和以m的關(guān)系式，問題變成以m為變量的函數(shù)極值問題，通過配方法解得.
②動(dòng)點(diǎn)線段和的極值問題，關(guān)鍵是找對(duì)稱點(diǎn)，通過“兩點(diǎn)間，線段最短”的思路添加輔助線求得.
【詳解】（1）
因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像經(jīng)過、
∴解得 ，，
又∵正比例函數(shù)， ，可得出直線與x軸的夾角；
（2）
作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線
∵，，
∴ ∴
又∵，設(shè)的解析式為
則有
∴求出直線的解析式為，
解方程組，得
（3）①
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且軸，
∴，，
又∵，且是線段上的一動(dòng)線段，
∴，，
∴，
，
∴
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值；
此時(shí)，，
∴
∴四邊形是平行四邊形．
②
如圖所示，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，
∴
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，，則．
∴
∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最短，此時(shí)最短，
∵，，
∴，，

得出直線的解析式為，
解方程組，可得，
∴，而
∴，，
，
故當(dāng)時(shí)，最小，這個(gè)最小值為．
【點(diǎn)睛】本題是一道綜合壓軸題，通過待定系數(shù)法聯(lián)立方程求函數(shù)解析式是解題的第一關(guān)鍵；其二，數(shù)形結(jié)合，利用圖形的幾何的特征來解決函數(shù)的極值問題視為要點(diǎn).
【變式5-1】如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C,點(diǎn)D在x軸上，AC=CD，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)E，點(diǎn)P，Q分別是線段CO，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且CP=QD．記△APC的面積為S1，△PCQ的面積為S2，△QED的面積為S3，
（1）若S1+S3=4S2 ，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AQ，求AP+AQ的最小值；
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先求出A,C的坐標(biāo)，作QN∥OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出D（3，0），進(jìn)而求得E（3，5），根據(jù)勾股定理求得CD＝5，設(shè)PC＝QD＝x，由△NQC∽△ODC的性質(zhì)得出NQ＝，根據(jù)S1+S3=4S2，列出關(guān)于x的方程，即可求得x的值，進(jìn)而求得NQ和ON，就求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接AE，先證明△ACP≌△EQD，則AP＝EQ，所以AP＋AQ＝EQ＋AQ，利用三角形三邊的關(guān)系得到EQ＋AQ≥AE（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、Q、E共線時(shí)取等號(hào)），然后計(jì)算出AE即可．
【詳解】（1）令=0
解得x1=-3,x2=8
∴A（-3，0），B（8，0）
令x=0，得y=4
∴C（0，4），
∵AC＝CD，CO⊥AD，
∴OD＝OA＝3，
∴D（3，0），
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
把x＝3代入得，y＝5，
∴E（3，5），
∵OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
設(shè)PC＝QD＝x，
作QN∥OD，交OC于N，
∴△NQC∽△ODC，
∴，即，
∴NQ＝，
∵S1＋S3＝4S2，
∴x?3＋×5?[3?]＝4?x?
解得x＝，
∴QD＝，
∴CQ＝5?＝，
∵，
∴，
∴NQ＝，CN＝2，
∴ON＝4?2＝2，
∴Q（，2）；
（2）連接AE，
∵AC＝CD，CO⊥AD，
∴OC平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠DCO，
∵ED∥OC，
∴∠DCO＝∠CDE，
∵DE＝CD＝AC＝5，CP＝QD，
∴△ACP≌△EDQ，
∴AP＝EQ，
∴AP＋AQ＝EQ＋AQ，
而EQ＋AQ≥AE（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、Q、E共線時(shí)取等號(hào)），
∴EQ＋AQ的最小值＝＝＝，
∴AQ＋AP的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【變式5-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)為軸上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)的面積為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求與的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的值最小，若存在，則求出最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的值最小，最小長度為的長，即為．
【分析】（1） 把已知點(diǎn)坐標(biāo)、代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可；
（2）根據(jù)題意，過點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，交AE于點(diǎn)F，△ADE的面積=△AEF的面積-△DEF的面積，用含m的代數(shù)式表示△ADE的面積S，即為所求；
（3） 設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)線段最短可知點(diǎn)P是BD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)．
【詳解】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線交軸于點(diǎn)，
解得
拋物線的表達(dá)式為；
（2）令，解得，，
，，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入得，
解得
直線的解析式為．
如解圖①，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，
設(shè)，則，，
與的函數(shù)關(guān)系式為；
（3）存在．如解圖②，連接，交對(duì)稱軸于點(diǎn)，
拋物線對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，直線的解析式為，將，代入得，
解得
直線的解析式為，
，
點(diǎn)在對(duì)稱軸和直線上，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
將代入直線的解析式為得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的值最小，最小長度為的長，即為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是已知點(diǎn)求二次函數(shù)式，及根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出三角形的面積的解析式，還考查了根據(jù)線段最短求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)及最短線段長．用含m的代數(shù)式表示三角形的面積是本題的難點(diǎn)．
【變式5-3】如圖，點(diǎn),以點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓與軸交于點(diǎn)．已知拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)，并畫出拋物線的大致圖象．
(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為此拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【答案】（1）C（0，2），圖象詳見解析；（2）
【分析】（1）由拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可知拋物線的解析式為y＝（x?2）（x?6），然后再進(jìn)行整理即可；
（2）連結(jié)AQ交直線x＝4與點(diǎn)P，連結(jié)PB，先求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后再依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)A、Q、P在一條直線上時(shí)，PQ＋PB有最小值
【詳解】（1）∵點(diǎn)M（4，0），以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B，
∴A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y＝x2＋bx＋c過點(diǎn)A和B，
∴y＝（x?2）（x?6）
∴
∵當(dāng)
∴C（0，2）
拋物線的大致圖象如圖下所示：
（2）如下圖所示：連結(jié)AQ交直線x＝4與點(diǎn)P，連結(jié)PB．
∵A、B關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，
∴PA＝PB，
∴PB＋PQ＝AP＋PQ，
∴當(dāng)點(diǎn)A、P、Q在一條直線上時(shí)，PQ＋PB有最小值．
∵Q（8，m）拋物線上，
∴m＝2．
∴Q（8，2）
∴
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱?最短路徑問題．
題型六 求面積最值
【例11】如圖，動(dòng)點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)A，B重合），．分別以為直徑作半圓，記圖中所示的陰影部分面積為y，線段的長為x．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，y隨x的變化而變化，則陰影面積的最大值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】，則，然后根據(jù)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴

，
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用，正確求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【例12】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為，連接，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合）．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．求面積的最大值．
【答案】(1)拋物線的函數(shù)解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)面積的最大值為
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)題意先求出直線的解析式，設(shè)，則，用含的式子表示，，，根據(jù)，可得與的關(guān)系式，運(yùn)用配方法即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，
∴，解得，，
∴拋物線的函數(shù)解析式為，
將拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式得，，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）解：拋物線的函數(shù)解析式為，、，，
設(shè)所在直線的解析式為，
∴，解得，，
∴直線的解析式為，
∵點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），，
∴設(shè)，則，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大面積，且最大面積為，
∴面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】在長方形中，cm，cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊 BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為（cm2）．
(1)填空： ， （用含的代數(shù)式表示）；
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
(3)求的面積的最大值．
【答案】(1)cm，cm
(2)
(3)
【分析】（1）規(guī)劃局路程，速度，時(shí)間的關(guān)系解決問題即可；
（2）利用三角形的面積公式求解即可；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．
【詳解】（1）解：cm，cm
故答案為：cm，cm
（2）解：∵四邊形是矩形，
，
；
（3）解：，，
時(shí)，y的值最大，最大值為．
的面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，四邊形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題．
【變式6-2】如圖，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線過B，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)D是在直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，．
(1)求b、c的值；
(2)設(shè)四邊形的面積為S，求S的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）先求出，坐標(biāo)，再把，坐標(biāo)代入拋物線解析式即可；
（2）由圖形可知，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，最大，過點(diǎn)作軸交于，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，得出，然后由三角形面積公式得出關(guān)于的解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【詳解】（1）解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，，
拋物線過，兩點(diǎn)，
，
解得，
，；
（2）由（1）知，拋物線解析式為，
令，則，
解得，，
，
，
的面積為定值，
當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，最大，
過點(diǎn)作軸交于，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，最大，最大值為8，
，
的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等知識(shí)，求出關(guān)于的解析式是解題關(guān)鍵．
【變式6-3】已知函數(shù)y=-x2+(m-1) x+m (m為常數(shù))，其頂點(diǎn)為M．
(1)請(qǐng)判斷該函數(shù)的圖像與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；
(2)當(dāng)-2≤m≤3時(shí)，求該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)M縱坐標(biāo)的取值范圍；
(3)在同一坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)A(-1，-1)、B(1，0)，△ABM的面積為S，當(dāng)m為何值時(shí)，S的面積最?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最小值．
【答案】(1) 該函數(shù)的圖像與軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè)或2個(gè)；(2) 當(dāng)-2≤m≤3時(shí)，該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是0≤y≤4；(3) 當(dāng)時(shí)，面積有最小值
【分析】(1)計(jì)算判別式△的大小，比較與0的大小關(guān)系，即可得到根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)的圖像與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)把函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式，結(jié)合m的取值范圍，即可得到圖像的頂點(diǎn)M縱坐標(biāo)的取值范圍；
(3) 列出關(guān)于△ABM的面積為S的表達(dá)式，求其根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值即可得到答案．
【詳解】(1)由題意得：△=
∴該函數(shù)的圖像與軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè)或2個(gè) ；
(2)將y=-x2+(m-1) x+m化成頂點(diǎn)式得到
頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=，
當(dāng)m=-1時(shí)，y有最小值為0；
當(dāng)m＜﹣1時(shí)，y隨m的增大而減小，
當(dāng)m＞﹣1時(shí)，y隨m的增大而增大，
當(dāng)m=-2時(shí)，y=0.25；
當(dāng)m=3時(shí)，y=4，
則當(dāng)-2≤m≤3時(shí)，該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是0≤y≤4 ；
(3)根據(jù)題意，經(jīng)過點(diǎn)M、點(diǎn)A的直線斜率
經(jīng)過點(diǎn)M、點(diǎn)A的直線可表示為：
令可得直線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為
則△ABM的面積為
故當(dāng)時(shí)，面積有最小值．
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)即根的判別式的問題以及二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
1．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以、為斜邊在的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形和，連結(jié)．
（1）線段的長為 ．
（2）則長的最小值是 ．
【答案】 7 3.5
【分析】（1）利用坐標(biāo)直接計(jì)算即可；
（2））作于M，于N，連接DE，作于H，根據(jù)題意可推出DM=CM，EN=CN，可得，在中，可得由此即可判斷出DE的最小值．
【詳解】解：（1），
故答案為：7；
（2）作于，于，連接，作于，
在中，，
∴，，
∴DM=CM，
同理可證：，EN=CN，
∴
在中，，，
∴當(dāng)重合時(shí)，即時(shí)，
即為中點(diǎn)時(shí)，最小為3.5，
故答案為：3.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，二次函數(shù)最值問題，得出DE的表達(dá)式是解題關(guān)鍵．
2．（2023春·山東東營·九年級(jí)東營市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形的兩邊長，，點(diǎn)M、N分別從A、B同時(shí)出發(fā)．M在邊上沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，N在邊上沿方向以每秒的速度的勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，M、N停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 秒時(shí)，的面積最大，最大值為 ．

【答案】 4 20
【分析】，，根據(jù)，結(jié)合得出當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為．
【詳解】解：∵N在邊上沿方向以每秒的速度的勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，M、N停止運(yùn)動(dòng)，
∴，
∵M(jìn)在邊上沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，N在邊上沿方向以每秒的速度的勻速運(yùn)動(dòng)，
∴，，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為：
．
故答案為：4；20．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出．
3．（2023秋·福建廈門·九年級(jí)?？计谥校┮阎瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最小值3，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可求出對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)圖象開口向下可得函數(shù)性質(zhì)，確定最值范圍即可求解．
【詳解】解：，
對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，隨值的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨值的增大而減小，
時(shí)，有最大值，最小值3，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，掌握性質(zhì)及圖象、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段，點(diǎn)在線段上，在的同側(cè)分別以、為邊長作正方形和，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的最小值是 ．
【答案】5
【分析】設(shè)，，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理列出關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，求二次函數(shù)的最值即可．
【詳解】解：作于，如圖所示：
設(shè)，，
根據(jù)題意得：，，
在中，由勾股定理得：，
即．
∵，
∴當(dāng)，即時(shí)，，
∴．即MN的最小值為5；
故答案為5．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的最值．熟練掌握勾股定理和二次函數(shù)的最值是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·四川德陽·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△ABC的面積是 ，△BDE面積的最大值為 ．
【答案】 10
【分析】如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積可求出，繼而根據(jù)勾股定理求出，從而求得的長，然后證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，繼而根據(jù)三角形的面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．
【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
設(shè)，則，
，
，
的最大值為，
故答案為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·新疆和田·二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以1個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以2個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)。如果兩點(diǎn)在分別到達(dá)兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，回答下列問題：
（1）運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí)，的面積等于；
（２）設(shè)五邊形的面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為何值時(shí)最小？求的最小值．
【答案】（1）運(yùn)動(dòng)開始后第2秒或第4秒時(shí)，的面積等于；（2），當(dāng)t=3時(shí)，S有最小值63.
【分析】（1）分別用t表示出PB和BQ，根據(jù)的面積等于，列出方程解出t即可；
（2）用矩形減去的面積即為五邊形的面積，寫出五邊形面積的代數(shù)式，從而求出S最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的t值.
【詳解】（1）由題知PB=6-t，BQ=2t，
的面積等于，則，
解得，
則運(yùn)動(dòng)開始后第2秒或第4秒時(shí)，的面積等于；
（2）由題知矩形減去的面積即為五邊形的面積，
∴
當(dāng)t=3時(shí)，S有最小值63.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值在解決面積問題中的運(yùn)用關(guān)鍵是根據(jù)t，表示相關(guān)線段的長度，再計(jì)算面積，把所得的代數(shù)式看作二次函數(shù)求最值．
7．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的二次函數(shù)．
(1)若，兩點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，直接寫出與的大小關(guān)系；
(2)若將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線，當(dāng)時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值3，求m的值．
【答案】(1)
(2)m的值是和
【分析】（1）抓住二次函數(shù)圖象的特征：開口向上，因此離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小，據(jù)此求解即可；
（2）先利用對(duì)稱的規(guī)律求出新函數(shù)的解析式，分析新函數(shù)的圖象及性質(zhì)，再分三種情況求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸是直線，
∴距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小，
∵，，，
∴；
（2）解：將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線的解析式為：，
∴新拋物線的開口向上，對(duì)稱軸是直線，
分三種情況討論：
①當(dāng)，即時(shí)，在范圍內(nèi)，隨的增大而增大，
則時(shí)，函數(shù)有最小值，即，
解得：，（舍去）；
②當(dāng)，即時(shí)，在范圍內(nèi)，隨的增大而減小，
則時(shí)，函數(shù)有最小值，即，
解得：，（舍去）
③當(dāng)，即時(shí)，在范圍內(nèi)， 時(shí)，函數(shù)有最小值，不合題意；
綜合所述：m的值是和．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)分類，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．
8．（2022·貴州遵義·九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別以2cm/s和1cm/s的速度從A，B沿AB，BC方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)t秒（t≤5）時(shí)，△PBQ的面積為y．
（1）試寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，S△PBQ＝6cm2？
（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形APQC的面積是否有最小值？如果有，直接寫出S四邊形APQC＝ ．
【答案】（1）y＝﹣t2+5t（2）當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，S△PBQ＝6cm2（3）18.75cm2
【分析】（1）根據(jù)題意求出BQ，PB的長度即可列出函數(shù)關(guān)系式.
（2）把y=6帶入函數(shù)解析式解出t.
（3）將y的解析式配方后求出△PBQ面積最大值，從而得到四邊形APQC面積最小值.
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝10cm，BC＝5cm，
根據(jù)題意，AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝10﹣2t，
∵S△PBQ＝PB?QB，
∴y＝﹣t2+5t，
（2）把y＝6cm2代入解析式，可得：6＝﹣t2+5t，
解得：t1＝2，t2＝3，
答：當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，S△PBQ＝6cm2；
（3）∵y＝﹣t2+5t＝﹣（t﹣2.5）2+6.25，
∴當(dāng)t＝2.5時(shí)，y有最大值，最大值為6.25，
∴△PBQ的面積的最大值為6.25cm2，所以四邊形APQC的面積此時(shí)最小，S四邊形APQC＝cm2，
故答案為18.75cm2
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程的應(yīng)用.
9．（2022秋·天津河西·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，cm，cm，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)，沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．如果動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），
(1)______cm，______cm（用含t的代數(shù)式表示）
(2)求的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍
(3)經(jīng)過幾秒，的面積最大？并求出面積的最大值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)當(dāng)秒時(shí)，的面積最大，且最大面積為
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)行速度分別列出代數(shù)式即可得到答案；
（2）先分別計(jì)算出點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的時(shí)間和點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間，得到，再即可得到S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）的關(guān)系式進(jìn)行配方得到，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵cm,
∴cm，
∵cm,
故答案為：，．
（2）解：∵點(diǎn)P的速度為1cm/s，cm，
∴點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的時(shí)間為：，
∵點(diǎn)Q的速度為2cm/s，cm，
∴點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為：，
∵一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，
∴,
∵，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴
∴當(dāng)秒時(shí)，的面積最大，且最大面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式．
10．（2022秋·四川自貢·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以和為邊在線段的同側(cè)構(gòu)造菱形和菱形，且，是菱形的對(duì)角線交點(diǎn)、是菱形的對(duì)角線交點(diǎn)，連接，則線段的最小值為 ．

【答案】
【分析】首先證明∠MPN=90°，設(shè)PA=2a，則PB=10-2a，PM=a，PN=（5-a），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】∵四邊形APCD、四邊形PBFE是菱形，
∵是菱形的對(duì)角線交點(diǎn)、是菱形的對(duì)角線交點(diǎn)
∴
設(shè)PA=2a，則PB=10-2a，PM=a，PN=（5-a），

∴時(shí)，MN有最小值，最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的最值問題，掌握菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并且與軸交于另一點(diǎn).點(diǎn)為第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)，連接.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)時(shí)，求出此時(shí)的值;
(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，的周長是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1) ；(2)當(dāng)時(shí)，；(3)存在.時(shí)，的周長最小.
【分析】(1)易求，根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案；
(2)過點(diǎn)作軸，垂足為，易得：點(diǎn)，進(jìn)而可知：，，根據(jù)時(shí)，，列出方程，即可求解；
(3)易證：的周長=，可知：當(dāng)最小，即時(shí)，的周長最小，進(jìn)而可求出的周長最小時(shí)，m的值.
【詳解】(1)在中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
.
把代入中， 得：
，解得，
拋物線的解析式是；
(2)過點(diǎn)作軸，垂足為.
，
，
.
點(diǎn)，
，，
當(dāng)時(shí)，，
，
解得：(舍去)，.
當(dāng)時(shí)，；
(3)存在.
在拋物線中，
當(dāng)時(shí)，，解得，
點(diǎn)坐標(biāo)為.
，
.
設(shè)的周長為，
則，
的值不變，
當(dāng)最小，即時(shí)，的周長最小.
當(dāng)時(shí)，，
，
，
時(shí)，的周長最小.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合問題，把動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)用未知數(shù)m表示出來，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.
12．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為3a，兩動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從頂點(diǎn)B，C同時(shí)開始以相同速度沿邊BC，CD運(yùn)動(dòng)，與△BCF相應(yīng)的△EGH在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持△EGH≌△BCF，對(duì)應(yīng)邊EG＝BC，B，E，C，G在一條直線上.
（1）若BE＝a，求DH的長；
（2）當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上的什么位置時(shí)，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值.
【答案】（1）a；（2）E為BC的中點(diǎn)時(shí)，a2
【分析】（1）可通過構(gòu)建直角三角形求解．連接FH，則FH∥BE且FH=BE，F(xiàn)H⊥CD．因此三角形DFH為直角三角形．
點(diǎn)E、F分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開始以相同速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，那么DF=3a-a=2a，DF=2a，F(xiàn)H=a，根據(jù)勾股定理就求出了DH的長．
（2）設(shè)BE=x，△DHE的面積為y，通過三角形DHE的面積=三角形CDE的面積+梯形CDHG的面積-三角形EGH的面積，來得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出y取最小值時(shí)x的值，并求出此時(shí)y的值．
【詳解】解：（1）連接FH，
∵△EGH≌△BCF，
∴HG＝FC，∠G＝∠BCF，
∴HG∥FC，
∴四邊開FCGH是平行四邊形，
∴FH∥CG，且FH＝CG，
又∵EG＝BC，
∴EG－EC＝BC－EC，即CG＝BE，
∴FH＝BE，
∵FH∥CG，
∴∠DFH＝∠DCG＝90°，
由題意可知：CF＝BE＝a，
在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，F(xiàn)H＝a，
∴DH＝＝a；
（2）設(shè)BE＝x，△DHE的面積為y，根據(jù)題意得：
y＝S△CDE+S梯形CDHG－S△EGH＝×3a(3a－x)+ (3a+x)x－×3a×x，
∴y＝x2－ax+a2＝(x－a)2+a2，
∴當(dāng)x＝a，即E為BC的中點(diǎn)時(shí)，y取得最小值，即△DHE的面積取得最小值，最小值是a2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．
13．（2022·安徽六安·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），且OA＝OC＝3OB，拋物線圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)判斷△ADC的形狀，并求△ADC的面積；
(3)如圖2，點(diǎn)P是該拋物線位于第三象限的部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥AC于點(diǎn)E，PE的值是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出PE的最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)三角形ACD是直角三角形，3
(3)PE有最大值為
【分析】(1)根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-3)，且OA=OC= 3OB，得出A， B點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解析式即可；
(2)根據(jù)坐標(biāo)求出三角形各邊的長，利用勾股定理判斷其為直角三角形，再用三角形面積公式求面積即可；
(3)求出直線AC的解析式，過點(diǎn)P作PH//y軸交AC于H，設(shè)出P點(diǎn)和H點(diǎn)坐標(biāo)，用含x的代數(shù)式求出PE的值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可．
【詳解】（1）解：∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），且OA＝OC＝3OB，
∴A（-3，0），B（1，0），將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入解析式得，
，解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：由（1）知拋物線的解析式為，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-4），
∴，
，，
∵，即，
∴三角形ACD是直角三角形，
∴；
（3）PE的值存在最大值,理由如下：
設(shè)直線AC的解析式為，把A，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，
得，解得，
∴直線AC的解析式為，
如圖，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
∴，
∴，
∴PE有最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，一次函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．
14．（2019·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)期中）如圖，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸另一交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求的最小值；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）（1，2＋2）或（1，?2?2）．
【分析】（1）直線y＝?x＋3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3），將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）如圖1，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接CD′交x軸于點(diǎn)E，則此時(shí)EC＋ED為最小，即可求解；
（3）分點(diǎn)P在x軸上方、點(diǎn)P在x軸下方兩種情況，分別求解．
【詳解】解：（1）直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，
故函數(shù)的表達(dá)式為：，
令，則或3，故點(diǎn)；
（2）如圖1，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則此時(shí)為最小，
函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，
將的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：
直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)， ，
故點(diǎn)；
（3）①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如下圖2，
∵，則，
過點(diǎn)作，設(shè)，
則，
由勾股定理得：，
，解得：m2＝8＋4，
則PB2＝2m2＝16＋8
則yP＝
∴P（1，）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，
則yP＝?（2＋2）；
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2＋2）或（1，?2?2）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．

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