江蘇省南通市通州區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 下列實(shí)數(shù)中的無(wú)理數(shù)是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．
【詳解】A．=1.1是有理數(shù)；
B． =-2是有理數(shù)；
C．是無(wú)理數(shù)；
D．，分?jǐn)?shù)是有理數(shù)；
故選：C
【點(diǎn)睛】題目考查了無(wú)理數(shù)的定義，題目整體較簡(jiǎn)單，是要熟記無(wú)理數(shù)的性質(zhì)，即可解決此類問(wèn)題．
2. 每年月日是中國(guó)航天日，年的這一天，我國(guó)自行設(shè)計(jì)、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”成功發(fā)射，標(biāo)志著中國(guó)從此進(jìn)入了太空時(shí)代，它的運(yùn)行軌道距地球最近點(diǎn)米．將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法：（，為正整數(shù)），先確定的值，再根據(jù)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的數(shù)位確定的值即可解答，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法確定和的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故選：．
3. 如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,則∠D的度數(shù)是（）
A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°
【答案】B
【解析】
【詳解】【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DBC=∠A+∠C，再由平行線性質(zhì)得∠D=∠DBC.
【詳解】∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何?”意思是：一根筆直生長(zhǎng)的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來(lái)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，利用勾股定理解題即可；
【詳解】設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，
根據(jù)勾股定理得到：；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而應(yīng)用勾股定理解題．
5. 如圖，平行四邊形中，是對(duì)角線上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形一定為平行四邊形的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，，再根據(jù)各選項(xiàng)給出的條件結(jié)合平行四邊形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
、當(dāng)時(shí)，無(wú)法得到，所以不能得出四邊形一定為平行四邊形，該選項(xiàng)符合題意；
、當(dāng)時(shí)，可得，即，
根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，能得出四邊形一定為平行四邊形，該選項(xiàng)不合題意；
、當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
根據(jù)選項(xiàng)可知，能得出四邊形一定為平行四邊形，該選項(xiàng)不合題意；
、當(dāng)時(shí)，可得，
又∵，，
∴，
∴，
根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，能得出四邊形一定為平行四邊形，該選項(xiàng)不合題意；
故選：．
6. 某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓千帕隨氣球內(nèi)氣體的體積立方米的變化情況如下表所示，此時(shí)p與V的函數(shù)關(guān)系最可能是（）
A. 正比例函數(shù)B. 一次函數(shù)C. 二次函數(shù)D. 反比例函數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，觀察表格中的數(shù)據(jù)可知的值是一個(gè)定值，則p與V的函數(shù)關(guān)系最可能是反比例函數(shù)，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：由題意可知，；；；；，…
由此可得出p和V的函數(shù)關(guān)系是為：
故選：D．
7. 已知關(guān)于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整數(shù)解為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A. 4≤m＜7B. 4＜m＜7C. 4≤m≤7D. 4＜m≤7
【答案】A
【解析】
【分析】先解出不等式，然后根據(jù)最小整數(shù)解為2得出關(guān)于m的不等式組，解之即可求得m的取值范圍．
【詳解】解:解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，
∵不等式有最小整數(shù)解2，
∴1≤＜2，
解得：4≤m＜7，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，正確解不等式，熟練掌握一元一次不等式、一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．
8. 甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開(kāi)挖兩段河集，所挖河架的長(zhǎng)度（m）與挖掘時(shí)同（h）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖像所提供的信息，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 甲隊(duì)的挖掘速度大于乙隊(duì)的挖掘速度
B. 開(kāi)挖2h時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所挖的河渠的長(zhǎng)度相差8m
C. 乙隊(duì)在的時(shí)段，與之間的關(guān)系式為
D. 開(kāi)挖4h時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所挖的河渠的長(zhǎng)度相等
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖象依次分析判斷．
【詳解】解：甲隊(duì)的挖掘速度在2小時(shí)前小于乙隊(duì)的挖掘速度，2小時(shí)后大于乙隊(duì)的速度，故選項(xiàng)A不符合題意；
開(kāi)挖2h時(shí)，乙隊(duì)所挖的河渠的長(zhǎng)度為30m，
甲隊(duì)每小時(shí)挖=10m，故2h時(shí)，甲隊(duì)所挖的河渠的長(zhǎng)度為20m，
開(kāi)挖2h時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所挖的河渠的長(zhǎng)度相差30-20=10m，故選項(xiàng)B不符合題意；
由圖象可知，乙隊(duì)2小時(shí)前后的挖掘速度發(fā)生了改變，故選項(xiàng)C不符合題意；
甲隊(duì)開(kāi)挖4h時(shí)，所挖河渠的長(zhǎng)度為，
乙隊(duì)開(kāi)挖2小時(shí)后的函數(shù)解析式為，當(dāng)開(kāi)挖4h時(shí)，共挖40m，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象，利用圖象得到所需信息，能讀懂函數(shù)圖象并結(jié)合所得信息進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．動(dòng)點(diǎn)E與動(dòng)點(diǎn)D同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)D沿線段CB以1單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E沿線段CA以2單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．以CE，CD為邊作矩形CDFE，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（0＜x≤4），矩形CDFE與△ABC重合部分的面積為y，則下列能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分0≤x≤2、2＜x≤4兩種情況，通過(guò)畫圖確定矩形CDFE的位置，進(jìn)而求解．
【詳解】解：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如圖，
y=CE?CD=2x?x=2x2，該函數(shù)為開(kāi)口向上的拋物線；
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，如下圖，設(shè)DF、EF分別交AB于點(diǎn)H、G，
則BD=BC-CD=4-x，則HD=BDtanB=（4-x）×=8-2x，
則HF=DF-DH=CE-DH=2x-（8-2x）=4x-8，則GF=2x-4，
則y=S五邊形CDHGE=S矩形CDFE-S△GHF
=2x?x-×（2x-4）（4x-8）
=-2x2+16x-16，該函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，涉及到二次函數(shù)、一次函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)，確定函數(shù)表達(dá)式是本題解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D為AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在BD的上方作正方形BDEF，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，BD的長(zhǎng)為（）
A. B. 4C. 1D. 8－
【答案】A
【解析】
【分析】過(guò)E點(diǎn)作EM⊥AC于M點(diǎn)，證明△CDB≌△MED，即有BC=MD，ME=CD，則有AM=4-ME，在Rt△AME中，，即可求出當(dāng)AE最小時(shí)的ME，再在Rt△BCD中即可求出BD．
【詳解】過(guò)E點(diǎn)作EM⊥AC于M點(diǎn)，如圖，
在矩形BDEF中，DE=BD，∠EDB=90°，
∵∠C=90°，
∴在△BCD中，∠BDC+∠CBD=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠BDC+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠CBD，
∵EM⊥AC，
∴∠DME=90°，
∴∠DME=90°=∠C，
∵DE=BD，
∴△CDB≌△MED，
∴BC=MD，ME=CD，
∵BC=4，AC=8，
∴MD=4，
∴AM=AC-DC-MD=8-ME-4=4-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，
整理得：，
∴，
∴當(dāng)ME=2時(shí)，AE取的最小值，
∵M(jìn)E=2，
∴DC=ME=2，
∴在Rt△BCD中，，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每題3分，第13～18題每題4分，共30分，不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
11. 分解因式______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
12. 計(jì)算的結(jié)果是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后計(jì)算乘法，即可求解．
【詳解】解：

故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，在△ABC中AB＝AC，以點(diǎn)C為圓心，以CB長(zhǎng)為半徑作圓弧，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BD，若∠A＝36°，則∠CDB的大小為_(kāi)__度．
【答案】36．
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝×（180°﹣36°）＝72°，
由題意得，CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝36°，
故答案36．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．

【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，計(jì)算AB的長(zhǎng)，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，解得CD的長(zhǎng)，再根據(jù)中位線性質(zhì)，解得，解得EF的長(zhǎng)即可解題．
【詳解】在
是AB的中點(diǎn)
分別是AC、AD的中點(diǎn)，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，其中涉及所對(duì)直角邊的性質(zhì)、斜邊中線的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
15. 設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．
【答案】2024
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可以求出，可化為，代入求值即可解答．
【詳解】∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得：
，
而
故答案為2024．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算與轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
16. 如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)P，已知點(diǎn)A、C、D在坐標(biāo)軸上，，的面積為4，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為矩形BDOA面積，在得到矩形PDOE面積，應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的意義即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BD⊥x軸，
∴ABDO為矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO＝S?ABCD＝4，
∵P為對(duì)角線交點(diǎn)，PE⊥y軸，
∴四邊形PDOE為矩形面積為2，
∵反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)P，
∴|k|＝S矩形PDOE＝2，
∵圖象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案為﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義以及平行四邊形的性質(zhì)，理解等底等高的平行四邊形與矩形面積相等是解題的關(guān)鍵．
17. 已知：如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A(10，0)，C(0，4)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．
【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4）
【解析】
【詳解】解：∵A(10，0)，C(0，4)，
∴OA=BC=10，OC=AB=4，
如圖所示，PD=OD=5，點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，
∴OE=OD-DE=5-3=2，
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，4）；
如圖所示，OP=OD=5．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=，
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，4）；
如圖所示，PD=OD=5，點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，4）．
故答案為：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
18. （在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x軸于A，B兩點(diǎn)，若此拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）有且只有8個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），則a的取值范圍是__．
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)題意結(jié)合圖象列出關(guān)于a的不等式組，求解即可得出答案．
【詳解】∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），
令y＝0，得x＝﹣2±，
設(shè)A（﹣2+，0），B（﹣2﹣，0），
∵此拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）有且只有8個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），
∴﹣6＜﹣2+≤﹣5，1≤﹣2﹣＜2，
解得：﹣≤a＜﹣；
故答案為﹣≤a＜﹣．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確已知條件列出關(guān)于a的不等式．
三、解答題（本大題共8小題，共90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19. （）解方程組
（）解分式方程：
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用加減消元法解答即可求解；
（）按照解分式方程的步驟解答即可求解；
本題考查了解二元一次方程組，解分式方程，掌握解二元一次方程組的方法和解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（）得，，
把代入得，，
∴，
∴方程組的解為；
（）方程兩邊同時(shí)乘以得，
，
整理得，，
解得，
檢驗(yàn)：時(shí)，，
∴是原分式方程解．
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）能是方程的一個(gè)根嗎？若能，求出它的另一個(gè)根；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）能，另一根為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，計(jì)算判斷即可；
（2）把代入方程，求出的值，代入得方程為，用因式分解法解一元二次方程即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，有，
解得：，
當(dāng)時(shí)，方程為，
，
∴，，
∴能是方程的一個(gè)根，另一根為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法及根的判別式，熟練掌握一元二次方程的解法及根的判別式是解題的關(guān)鍵．
21. 已知一次函數(shù)，其中．
（1）若點(diǎn)在y的圖象上，求k的值．
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最大值9，求y的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，一次函數(shù)的性質(zhì)；
（1）將點(diǎn)代入關(guān)系式，求出，即可求解；
（2）①當(dāng)時(shí)，即：，利用一次函數(shù)的增減性得當(dāng)時(shí)，，將此代入即可求解；②當(dāng)時(shí)，即：，利用一次函數(shù)的增減性得當(dāng)時(shí)，，將此代入即可求解；
掌握一次函數(shù)性質(zhì)中的增減性，并利用其確定取得最值的條件是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：點(diǎn)在的圖象上，
，
解得：；
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：①當(dāng)時(shí)，即：，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為9，
當(dāng)時(shí)，，
，
解得：，
一次函數(shù)解析式為；
②當(dāng)時(shí)，即：，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為9，
當(dāng)時(shí)，，
，
解得：，
一次函數(shù)解析式為；
綜上所述：一次函數(shù)解析式為或；
22. 如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于點(diǎn)O，連接DE．
（1）求證：四邊形ACED是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求對(duì)角線CD的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）CD=8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，AD=BC，AB=DC，根據(jù)CE=BC，得出AD=CE，AD∥CE，可證明四邊形ACED是平行四邊形，又根據(jù)AB=DC，AE=AB，可得AE=DC，即可證明四邊形ACED是矩形；
（2）先證明△AOC是等邊三角形，可得OC=AC=4，即可得出CD=8．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∵AB=DC，AE=AB，
∴AE=DC，
∴四邊形ACED是矩形；
（2）∵四邊形ACED是矩形，
∴OA=AE，OC=CD，AE=CD，
∴OA=OC，
∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OC=AC=4，
∴CD=8．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判斷定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的判定定理和等邊三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
23. 某市場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加贏利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．求：
（1）若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）當(dāng)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多，最多是多少？
【答案】（1）每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元
（2）每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多為1250元
【解析】
【分析】本題重在考查根據(jù)題意寫出利潤(rùn)的表達(dá)式是此題的關(guān)鍵．
（1）總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)銷售量．設(shè)每天利潤(rùn)為元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，據(jù)題意可得利潤(rùn)表達(dá)式，再求當(dāng)時(shí)的值；
（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)每天利潤(rùn)為元，每件襯衫降價(jià)元，
根據(jù)題意得
當(dāng)時(shí)，，解之得．
根據(jù)題意要盡快減少庫(kù)存，所以應(yīng)降價(jià)20元．
答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元．
【小問(wèn)2詳解】
解：商場(chǎng)每天盈利．
所以當(dāng)每件襯衫應(yīng)降價(jià)15元時(shí)，商場(chǎng)盈利最多，共1250元．
答：每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多共1250元．
24. 已知拋物（，為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)，在該拋物線上，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小；
（3）點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）先求得對(duì)稱軸為直線，根據(jù)當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，即可求解；
（3）依題意，，設(shè)，列出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：把，代入得，
，
解得．
所以，該拋物線的解析式為；
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)稱軸為直線，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．
∵，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
∵點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)，
∴，
設(shè)
∴當(dāng)時(shí)，最大，
此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 在菱形中，，點(diǎn)M在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，請(qǐng)寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在直線上時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2），理由見(jiàn)解析
（3）的長(zhǎng)為5或1
【解析】
【分析】（1）連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，得出為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)M作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明是等邊三角形，由等三角形的性質(zhì)得出，得出是等邊三角形，可證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況畫出圖形，由等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
證明，連接，

∵將線段繞點(diǎn)M逆時(shí)針得到線段，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
結(jié)論：．
證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
【小問(wèn)3詳解】
如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，

由（2）可知．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，

則和都等邊三角形，
同（2）可證，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
綜合以上可得的長(zhǎng)為5或1．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26. 定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“2倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“2倍點(diǎn)”．
（1）下列函數(shù)圖象上存在“2倍點(diǎn)”的是______（只需填寫序號(hào)）；
①直線；②雙曲線；③拋物線．
（2）若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)“2倍點(diǎn)”，求c的取值范圍；
（3）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)“2倍點(diǎn)”為點(diǎn)A，關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“2倍點(diǎn)”分別為點(diǎn)B，點(diǎn)C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊），且，求，的值．
【答案】（1）③ （2）
（3），或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義，即函數(shù)圖象與有交點(diǎn)即存在“2倍點(diǎn)”，據(jù)此即可求解；
（2）根據(jù)題意，得出令，則，且當(dāng)和時(shí)，，即，列出不等式組，解不等式組即可求解；
（3）根據(jù)新定義，得出方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，得出，解方程，解得或，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，根據(jù)，建立方程，解方程即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
（1）依題意，函數(shù)圖象與有交點(diǎn)即存在“2倍點(diǎn)”，
①∵直線與直線平行，
∴直線不存在“2倍點(diǎn)”，
②聯(lián)立
即，
∴，無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴不存在“2倍點(diǎn)”，
③
∴，
∵
∴拋物線存在“2倍點(diǎn)”，
故答案為：③．
【小問(wèn)2詳解】
∵函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)“2倍點(diǎn)”
令，則，
且當(dāng)和時(shí)，，即
∴
解得：；
【小問(wèn)3詳解】
令，則
∵關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)“2倍點(diǎn)”，
∴，
∴．
∴
解得：
∴交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為1，則縱坐標(biāo)為2，
∴，
令，解得或，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊
∴
∴
即
∴，
∵
∴
解得：或
綜上所述，，或
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，一次函數(shù)的平移問(wèn)題，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程的解的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．立方米
64
48

32
24
…
千帕

2

3
4
…

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