專題07 一元二次方程及其應用（共30道）-中考數(shù)學真題分項匯編（全國通用）-試卷下載-教習網

1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）關于x的方程的兩個根是﹣2和1，則的值為（）
A．﹣8B．8C．16D．﹣16
【答案】C
【詳解】解：∵關于x的方程的兩個根是﹣2和1，
∴ =﹣2+1=-1， =﹣2 ，
∴ ，
∴=（﹣4）2=16．
故選：C．
2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】根據一元二次方程的定義及根的判別式即可解答．
【詳解】解：∵為一元二次方程，
∴，
∵該一元二次方程有兩個實數(shù)根，
∴，
解得，
∴且，
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關鍵是熟知當判別式的值大于0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，同時要滿足二次項的系數(shù)不能是0．
3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（）
A．B．C．D．9
【答案】C
【分析】根據一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，可得，進而即可求解．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴．
解得：．
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程 (為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．
4．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（）
A．－2B．2C．－4D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．
【詳解】∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根
∴
∴，
故選：A.
【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．
5．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）用配方法解方程時，配方后正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據配方法，先將常數(shù)項移到右邊，然后兩邊同時加上，即可求解．
【詳解】解：
移項得，
兩邊同時加上，即
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關鍵．
6．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程的根的情況是（）
A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根
【答案】A
【分析】對于，當, 方程有兩個不相等的實根，當, 方程有兩個相等的實根，, 方程沒有實根，根據原理作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．
7．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（）

A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】設小路寬為，則種植花草部分的面積等于長為，寬為的矩形的面積，根據花草的種植面積為，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．
【詳解】解：設小路寬為，則種植花草部分的面積等于長為，寬為的矩形的面積，
依題意得：
解得：，（不合題意，舍去），
∴小路寬為．
故選A．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
二、填空題
8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的一個根為．則另一個根．
【答案】3
【分析】根據根與系數(shù)的關系得：，求出即可．
【詳解】解：則根據根與系數(shù)的關系得：，
解得：，
即方程的另一個根為3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關系，能熟記根與系數(shù)的關系的內容是解此題的關鍵，注意：當和是一元二次方程、、為常數(shù)，的兩個根時，那么，．
9．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的值可以是（寫出一個即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于方程有實數(shù)根，則其根的判別式，由此可以得到關于的不等式，解不等式就可以求出的取值范圍，進而得出答案．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數(shù)根，
∴，
即，
解得：，
∴的值可以是．
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查一元二次方程的根與判別式的關系，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．
10．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學名著《張丘建算經》中有這樣一題：一只公雞值5錢，一只母雞值3錢，3只小雞值1錢，現(xiàn)花錢買了只雞．若公雞有8只，設母雞有只，小雞有只，可列方程組為．
【答案】
【分析】根據“現(xiàn)花錢買了只雞”，列出方程組即可．
【詳解】解：依題意得：，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用．明確題意，準確列出方程組是解題的關鍵．
11．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是．
【答案】
【分析】若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則根的判別式，建立關于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【詳解】解：∵關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的根與的關系：?方程有兩個不相等的實數(shù)根；?方程有兩個相等的實數(shù)根；?方程沒有實數(shù)根．
12．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程的兩根之和為．
【答案】
【分析】利用根與系數(shù)的關系進行求值．
【詳解】解：，
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握．
13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）若m是方程的根，則．
【答案】6
【分析】由m是方程的根，可得，把化為，再通分變形即可．
【詳解】解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴
；
【點睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡求值，準確的把原分式變形，再求值是解本題的關鍵．
14．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．
【答案】
【分析】根據方程有兩個相等的實數(shù)根，進行求解即可．
【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
解得：；
故答案為：．
【點睛】本題考查根的判別式，熟練掌握，方程有兩個相等的實數(shù)根，是解題的關鍵．
15．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）已知關于x的方程的一個根為1，則該方程的另一個根為．
【答案】
【分析】設方程的另一個根為m，根據兩根之積等于，得到關于m的一元一次方程，解之即可求解．
【詳解】設方程的另一個根為m，
根據題意得，，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟知根與系數(shù)的關系．
16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是．
【答案】/
【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根．
17．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數(shù)學的“算經之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是尺．

【答案】8，6，10
【分析】設竿的長為x尺，則門高為尺，門寬為尺，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：設竿的長為x尺，則門高為尺，門寬為尺，
根據題意可得：，
解得：或（舍去），
∴（尺），（尺），
即門高、寬和對角線的長分別是8，6，10尺，
故答案為：8，6，10．
【點睛】本題考查勾股定理的應用和解一元二次方程，正確設未知數(shù)找到等量關系是解題的關鍵．
18．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率是．
【答案】
【分析】設該超市的月平均增長率為x，根據等量關系：三月份盈利額五月份的盈利額列出方程求解即可．
【詳解】解：設每月盈利平均增長率為x，
根據題意得：．
解得：，（不符合題意，舍去），
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，屬于增長率的問題，一般公式為原來的量后來的量，其中增長用＋，減少用?，難度一般．
19．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）若關于x的方程的一個根是3，則此方程的另一個根是．
【答案】
【分析】根據根與系數(shù)的關系即可求出方程的另一個根．
【詳解】設另一個根為，
根據題意：，
解得，，
即另一個根為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關系，在利用根與系數(shù)、來計算時，要弄清楚、、的意義．
20．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．
【答案】8
【分析】設門高尺，則竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，根據勾股定理即可求解．
【詳解】解：設門高尺，依題意，竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，
∴，
解得：或（舍去），
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理，根據題意建立方程是解題的關鍵．
21．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是．
【答案】
【分析】根據一元二次方程根與判別式的關系可得，，求解即可．
【詳解】解：關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，
則，解得，
故答案為：
【點睛】此題考查了一元二次方程根與判別式的關系，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與判別式的關系．
22．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 .
【答案】k

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