1．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）將不等式組的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，再利用大于向右拐，小于向左拐在數(shù)軸上表示兩個解集即可．
【詳解】解：，
由② 得：，
在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集如下：
，
∴不等式組的解集為：；
故選B
【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，利用數(shù)軸上確定不等式組的解集，熟練的使用數(shù)軸工具是解本題的關鍵．
2．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）實數(shù)，在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，然后根據(jù)數(shù)的乘法和加法法則以及不等式的性質進行判斷即可.
【詳解】解：由題意可得：，所以，
∴，
觀察四個選項可知：只有選項D的結論是正確的；
故選：D.
【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸以及不等式的性質，正確理解題意、得出是解題的關鍵.
3．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對應的點在數(shù)軸上的位置，利用不等式的性質逐一判斷即可．
【詳解】解：由數(shù)軸得：，，
故選項A不符合題意；
∵，∴，故選項B不符合題意；
∵，，∴，故選項C不符合題意；
∵，，∴，故選項D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，絕對值的概念，不等式的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
4．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分別求出各不等式的解集，再利用數(shù)軸表示解集的公共部分即可．
【詳解】解：，
由①得：，
由②得：，
在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集如下：

∴不等式組的解集為：；
故選：C
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知大于向右拐，小于向左拐的原則是解答此題的關鍵．
5．（江蘇省揚州市江都區(qū)邵樊片2020-2021學年下學期七年級第二次月考數(shù)學試題）不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法求解即可．
【詳解】解：∵x≥1，
∴1處是實心原點，且折線向右．
故選：A．
【點睛】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此題的關鍵．
6．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）不等式組，的解集是（ ）
A．B．C．D．無解
【答案】A
【分析】先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
故選A．
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關鍵．
7．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）不等式組的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別求解兩個不等式，得到不等式組的解集，然后判斷即可．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：，
故選：D．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式組的解集表示在數(shù)軸上即可．
【詳解】解：由得，
由得，
解集在數(shù)軸上表示為：
，
則不等式組的解集為．
故選：A．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
9．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解出不等式組的解集，在數(shù)軸上表示，含端點值用實心圓圈，不含端點值用空心圓圈，即可求解．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
∴數(shù)軸表示如下所示：

故選B．
【點睛】本題考查了數(shù)軸上表示不等式的解集，解答此類題目時一定要注意實心圓點與空心圓點的區(qū)別，這是此題的易錯點．
10．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）已知，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，則，根據(jù)不等式的性質求解即可．
【詳解】解：得，則，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了不等式的性質，注意：當不等式兩邊同時乘以一個負數(shù)，則不等式的符號需要改變．
11．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）若關于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】將分式方程化為整式方程解得，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：
∵方程的解為正數(shù)，且分母不等于0
∴，
∴，且
故選：D．
【點睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關鍵．
12．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）解不等式組時，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示正確是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分別求出兩個不等式的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示解集的方法判斷即可．
【詳解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示為：

故選：B．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
13．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）已知不等式組的解集是，則（ ）
A．0B．C．1D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，可得，再結合已知可得，，然后進行計算可求出，的值，最后代入式子中進行計算即可解答．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為：，
∵不等式組的解集是，
∴，，
∴，，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集求參數(shù)，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
二、解答題
14．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）解不等式：．
【答案】
【分析】去分母，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可．
【詳解】解：，
去分母，得，
移項，得，
合并同類項，得，
不等式的兩邊都除以，得．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，能正確根據(jù)不等式的性質進行變形是解此題的關鍵．
15．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．
【答案】，整數(shù)解為0，1，2
【分析】分別求解兩個不等式，再寫出解集，最后求出滿足條件的整數(shù)解即可．
【詳解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，

原不等式組的解集是，
∴整數(shù)解為0，1，2．
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的方法和步驟，以及寫出不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”．
16．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）（1）化簡：
（2）利用數(shù)軸，確定不等式組的解集．
【答案】（1）；（2）畫圖見解析，不等式組的解集為：．
【分析】（1）先通分計算括號內的分式的減法，再通分計算分式的加法運算即可；
（2）分別解不等式組中的兩個不等式，再在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集，再確定兩個解集的公共部分即可．
【詳解】解：（1）
；
（2），
由① 得：，
解得：，
由② 得：，
解得：，
兩個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：
∴不等式組的解集為：．
【點睛】本題考查的是分式的加減運算，一元一次不等式組的解法，熟記分式的加減運算的運算法則與解不等式組的方法與步驟是解本題的關鍵．
17．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）（1）分解因式：．
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用提取公因式法分解因式即可；
（2）按照解不等式的一般步驟求解即可．
【詳解】解：（1）；
（2）
去括號，得，
移項合并，得．
【點睛】本題考查了因式分解的方法和解不等式，熟練掌握因式分解的方法和解不等式的步驟是解題的關鍵．
18．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）為落實“五育并舉”，綠化美化環(huán)境，學校在勞動周組織學生到校園周邊種植甲、乙兩種樹苗．已知購買甲種樹苗3棵，乙種樹苗2棵共需12元，；購買甲種樹苗1棵，乙種樹苗3棵共需11元．
(1)求每棵甲、乙樹苗的價格．
(2)本次活動共種植了200棵甲、乙樹苗，假設所種的樹苗若干年后全部長成了參天大樹，并且平均每棵樹的價值（含生態(tài)價值，經(jīng)濟價值）均為原來樹苗價的100倍，要想獲得不低于5萬元的價值，請問乙種樹苗種植數(shù)量不得少于多少棵？
【答案】(1)每棵甲種樹苗的價格為2元，每棵乙種樹苗的價格3元
(2)乙種樹苗種植數(shù)量不得少于100棵
【分析】（1）設每棵甲種樹苗的價格為x元，每棵乙種樹苗的價格y元，由“購買甲種樹苗3棵，乙種樹苗2棵共需12元，；購買甲種樹苗1棵，乙種樹苗3棵共需11元”列出方程組，可求解；
（2）設乙種樹苗種植數(shù)量為m棵，則甲種樹苗數(shù)量為棵，根據(jù)“獲得不低于5萬元的價值”列不等式解題即可．
【詳解】（1）解：設每棵甲種樹苗的價格為x元，每棵乙種樹苗的價格y元， 由題意可得：
， 解得：，
答：每棵甲種樹苗的價格為2元，每棵乙種樹苗的價格3元；
（2）設乙種樹苗種植數(shù)量為m棵，則甲種樹苗數(shù)量為棵，
∴，
解得：，
∴的最小整數(shù)解為100．
答：乙種樹苗種植數(shù)量不得少于100棵．
【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，熟練的確定相等關系與不等關系是解本題的關鍵．
19．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）解不等式組
下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任務一：該同學的解答過程第_______步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；
任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
【答案】任務一：4，不等號的方向沒有發(fā)生改變，；任務二：，
【分析】任務一：系數(shù)化1時，系數(shù)小于0，不等號的方向要發(fā)生改變，即可得出結論；
任務二：移項，合并同類項，系數(shù)化1，求出不等式②的解集，進而得出不等式組的解集即可．
【詳解】解：任務一：∵，
∴；
∴該同學的解答過程第4步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是不等號的方向沒有發(fā)生改變，不等式①的正確解集是；
故答案為：4，不等號的方向沒有發(fā)生改變，；
任務二：，
，
，
；
又，
∴不等式組的解集為：．
【點睛】本題考查解一元一次不等式，求不等式組的解集．解題的關鍵是正確的求出每一個不等式的解集，注意系數(shù)化1時，系數(shù)是負數(shù)，不等號的方向要發(fā)生改變．
20．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清潔能源裝備大會在德陽舉行．大會聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點和前瞻性問題，著力實現(xiàn)會展聚集帶動產(chǎn)業(yè)聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積平方公里，計劃2025年基本建成．若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項工程，已知由甲單獨施工需要18個月完成任務，若由乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務．承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費用8萬元，向乙工程隊支付施工費用5萬元．
(1)乙隊單獨完工需要幾個月才能完成任務？
(2)為保證該工程在兩年內完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊實際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費用最低？
【答案】(1)乙隊單獨完工需要27個月才能完成任務．
(2)甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用最低為萬元．
【分析】（1）設乙單獨完成需要個月，由“乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務．”建立分式方程求解即可；
（2）由題意可得：，可得，結合，，可得，結合都為正整數(shù)，可得為3的倍數(shù)，可得甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，從而可得答案．
【詳解】（1）解：設乙單獨完成需要個月，則
，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解且符合題意；
答：乙隊單獨完工需要27個月才能完成任務．
（2）由題意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都為正整數(shù)，
∴為3的倍數(shù)，
∴或或，
∴甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，
方案①：安排甲工作6個月，乙工作18個月，費用為：（萬元），
方案②：安排甲工作4個月，乙工作21個月，費用為：（萬元），
方案③：安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用為：（萬元），
∴安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用最低為萬元．
【點睛】本題考查的是分式方程的應用，二元一次方程的應用，一元一次不等式組的應用，確定相等關系與不等關系是解本題的關鍵．
21．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）（1）化簡：；
（2）解不等式組：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)分式的混合計算法則求解即可；
（2）先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為
【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，解一元一次不等式組，正確計算是解題的關鍵．
22．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經(jīng)市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．
(1)男裝、女裝的單價各是多少？
(2)如果參加活動的男生人數(shù)不超過女生人數(shù)的，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？
【答案】(1)男裝單價為100元，女裝單價為120元．
(2)學校有11種購買方案，當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元
【分析】（1）設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據(jù)題意列方程組求解即可；
（2）設參加活動的女生有a人，則男生有人，列不等式組找到a的取值范圍，再設總費用為w元，得到w與a的關系，根據(jù)一次函數(shù)的性質可得當a取最小值時w有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：設男裝單價為x元，女裝單價為y元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：男裝單價為100元，女裝單價為120元．
（2）解：設參加活動的女生有a人，則男生有人，
根據(jù)題意可得，
解得：，
∵a為整數(shù)，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個數(shù)，
故一共有11種方案，
設總費用為w元，則，
∵，
∴當時，w有最小值，最小值為（元）．
此時，（套）．
答：當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元．
【點睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，找到題中的等量關系或不等關系是解題的關鍵．
23．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：．
【答案】
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集為：
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵．
24．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：
（2）解不等式組：
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解；
（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】（1）
解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：
【點睛】本題考查了解一元二次方程，求不等式組的解集，熟練掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式組是解題的關鍵．
25．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程組
（2）解不等式組
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入法解二元一次方程組即可；
（2）求出每個不等式的解集，取每個不等式解集的公共部分即可．
【詳解】解：（1）
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴ ；
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式組的解集是．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的解法和一元一次不等式組的解法，熟練掌握相關解法是解題的關鍵．
26．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）某禮品店經(jīng)銷A，B兩種禮品盒，第一次購進A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費2800元；第二次購進A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費1200元
(1)求購進A，B兩種禮品盒的單價分別是多少元；
(2)若該禮品店準備再次購進兩種禮品盒共40盒，總費用不超過4500元，那么至少購進A種禮品盒多少盒？
【答案】(1)A禮品盒的單價是100元，B禮品盒的單價是120元；
(2)至少購進A種禮品盒15盒．
【分析】（1）設A禮品盒的單價是a元，B禮品盒的單價是b元，根據(jù)題意列方程組即可得到結論；
（2）設購進A禮品盒x盒，則購進B禮品盒盒，根據(jù)題意列不等式即可得到結論．
【詳解】（1）解：設A禮品盒的單價是a元，B禮品盒的單價是b元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：A禮品盒的單價是100元，B禮品盒的單價是120元；
（2）解：設購進A禮品盒x盒，則購進B禮品盒盒，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∵x為整數(shù)，
∴x的最小整數(shù)解為15，
∴至少購進A種禮品盒15盒．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，正確的理解題意是解題的關鍵．
27．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：．
【答案】
【分析】分別解不等式組中的兩個不等式，再取兩個不等式的解集的公共部分即可．
【詳解】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式組的解集為：．
【點睛】本題考查的是一元一次不等式組是解法，掌握解一元一次不等式組的方法與步驟是解本題的關鍵．
28．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）（1）計算：；
（2）解不等式組：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質化簡，進行計算即可求解；
（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，解一元一次不等式組，正確掌握零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質化簡，一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵．
三、填空題
29．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）不等式的最大整數(shù)解是 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法即可得．
【詳解】解：不等式的解集是，
則不等式的最大整數(shù)解是3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關鍵．
30．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）若關于的不等式組有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】首先解不等式組求得解集，然后根據(jù)不等式組有三個整數(shù)解，確定整數(shù)解，則可以得到一個關于的不等式組求得的范圍．
【詳解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式組有三個整數(shù)解，
不等式組的整數(shù)解為，0、1，
則，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．

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