一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進一步夯實基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補缺，保強攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一模”考試中的問題要很好的解決，根據(jù)自己的實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運算占很大比例，一定要重視運算技巧粗中有細，提高運算準(zhǔn)確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題19 排列組合與二項式定理常考小題
【目錄】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157021203" PAGEREF _Tc157021203 \h 2
\l "_Tc157021204" PAGEREF _Tc157021204 \h 3
\l "_Tc157021205" PAGEREF _Tc157021205 \h 3
\l "_Tc157021206" PAGEREF _Tc157021206 \h 5
\l "_Tc157021207" PAGEREF _Tc157021207 \h 6
\l "_Tc157021208" 考點一：二項式定理之特定項、三項式問題 PAGEREF _Tc157021208 \h 6
\l "_Tc157021209" 考點二：二項式定理之系數(shù)和問題 PAGEREF _Tc157021209 \h 6
\l "_Tc157021210" 考點三：二項式定理之系數(shù)最值問題 PAGEREF _Tc157021210 \h 7
\l "_Tc157021211" 考點四：特殊優(yōu)先與正難則反策略 PAGEREF _Tc157021211 \h 7
\l "_Tc157021212" 考點五：相鄰問題與不相鄰問題 PAGEREF _Tc157021212 \h 8
\l "_Tc157021213" 考點六：列舉法 PAGEREF _Tc157021213 \h 8
\l "_Tc157021214" 考點七：定序問題（先選后排） PAGEREF _Tc157021214 \h 9
\l "_Tc157021215" 考點八：多面手問題 PAGEREF _Tc157021215 \h 10
\l "_Tc157021216" 考點九：錯位排列問題 PAGEREF _Tc157021216 \h 10
\l "_Tc157021217" 考點十：涂色問題 PAGEREF _Tc157021217 \h 10
\l "_Tc157021218" 考點十一：分組與分配問題 PAGEREF _Tc157021218 \h 12
\l "_Tc157021219" 考點十二：隔板法 PAGEREF _Tc157021219 \h 13
\l "_Tc157021220" 考點十三：查字典問題 PAGEREF _Tc157021220 \h 13
\l "_Tc157021221" 考點十四：分解法模型與最短路徑問題 PAGEREF _Tc157021221 \h 13
\l "_Tc157021222" 考點十五：構(gòu)造法模型和遞推模型 PAGEREF _Tc157021222 \h 15
\l "_Tc157021223" 考點十六：環(huán)排與多排問題 PAGEREF _Tc157021223 \h 16
\l "_Tc157021224" 考點十七：配對型模型 PAGEREF _Tc157021224 \h 16
\l "_Tc157021225" 考點十八：電路圖模型 PAGEREF _Tc157021225 \h 17
\l "_Tc157021226" 考點十九：機器人跳動模型 PAGEREF _Tc157021226 \h 17
\l "_Tc157021227" 考點二十：波浪數(shù)模型 PAGEREF _Tc157021227 \h 18
排列組合與二項式定理是高考重點考查的內(nèi)容之一，今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．本節(jié)內(nèi)容與生活實際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)留意常見的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意識．

1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯位排列公式
3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．
7、解決排列、組合綜合問題時需注意“四先四后”：
（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類加法計數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計數(shù)原理解決．常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮其他情形．
（3）先分組，后分配：對不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問題，常?！跋确纸M，再分配”．
（4）先組合，后排列：對于既要選又要排的排列組合綜合問題，常?？紤]先選再排．
8、求二項展開式中的特定項的方法
求二項展開式中的特定項問題，實質(zhì)是考查通項的特點，一般需要建立方程求，再將的值代回通項求解，注意的取值范圍．
（1）第項：此時，直接代入通項；
（2）常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為建立方程；
（3）有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程．
特定項的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解．
9、賦值法研究二項式的系數(shù)和問題
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如，的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可．
10、二項式系數(shù)最大項的確定方法
（1）若是偶數(shù)，則中間一項（第項）的二項式系數(shù)最大；
（2）若是奇數(shù)，則中間兩項（第項與第項）的二項式系數(shù)相等數(shù)最大．
1．（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是
A．B．40C．D．80
2．（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有
A．30種B．60種C．120種D．240種
3．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有
A．種B．種
C．種D．種
4．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有
A．12種B．24種C．36種D．48種
5．（2021?乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有
A．60種B．120種C．240種D．480種
6．（2023?天津）在的展開式中，項的系數(shù)為 ．
7．（2022?新高考Ⅰ）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
8．（2021?浙江）已知多項式，則 ； ．
9．（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
考點一：二項式定理之特定項、三項式問題
【例1】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）展開式中的第四項為（ ）
A．B．C．240D．
【變式1-1】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）若的展開式中存在常數(shù)項，則下列選項中的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2024·河南·高三河南省實驗中學(xué)校考）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．200B．40C．120D．80
【變式1-3】（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項為（ ）
A．721B．-61C．181D．-59
考點二：二項式定理之系數(shù)和問題
【例2】（多選題）（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．展開式中所有二項式的系數(shù)和為B．展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項
C．D．
【變式2-1】（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式2-2】（多選題）（2024·河北石家莊·高三河北新樂市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-3】（多選題）（2024·重慶·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則（ ）
A．展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項
B．展開式中所有項的系數(shù)和為1
C．
D．
考點三：二項式定理之系數(shù)最值問題
【例3】（2024·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)?？迹┑恼归_式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為 .
【變式3-1】（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┰诘恼归_式中，系數(shù)最大的項為 .
【變式3-2】（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）若展開式的所有項的二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項的二項式系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
考點四：特殊優(yōu)先與正難則反策略
【例4】（2024·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考）從2位男生，4位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（ ）種.
A．16B．20C．96D．120
【變式4-1】（2024·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？迹?張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1，2；1，3；4，5；6，7．將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．288B．336C．368D．412
【變式4-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（ ）．
A．1860種B．3696種C．3600種D．3648種
【變式4-3】某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（ ）種
A．9B．36C．54D．108
考點五：相鄰問題與不相鄰問題
【例5】（2024·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）2023年11月12日，連云港市贛馬高級中學(xué)高品質(zhì)特色發(fā)展暨百年校慶大會隆重舉行，贛馬高中建校100周年文藝演出中有四個節(jié)目：《腰鼓：千年回響》、《歌伴舞：領(lǐng)航》、《器樂：蘭亭序》、《情景?。何覀兣隳阆蚯白摺匪膫€節(jié)目，若要對這四個節(jié)目進行排序，要求《腰鼓：千年回響》與《歌伴舞：領(lǐng)航》相鄰，則不同的排列種數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
【變式5-1】（2024·江西九江·高三校考階段練習(xí)）由1，2，3，4，5，6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)1，3，5兩兩不相鄰，但1和2必須相鄰，這樣的六位數(shù)共有 個．
【變式5-2】（2024·全國·高三統(tǒng)考競賽）某班一天上午有語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、歷史5節(jié)課，現(xiàn)要安排該班上午的課程表，要求歷史課不排在第一節(jié)，語文課和數(shù)學(xué)課相鄰，不同的排法總數(shù)是 ．
考點六：列舉法
【例6】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走了幾個單位，如果擲出的點數(shù)為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點處的所有不同走法共有（ ）
A．21種B．22種C．25種D．27種
【變式6-1】（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從這100個自然數(shù)中隨機抽取三個不同的數(shù),這三個數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,隨機抽取四個不同的數(shù),這四個數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,則的后兩位數(shù)字為（ ）
A．89B．51C．49D．13
【變式6-2】（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谀┒x：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運數(shù)”的個數(shù)為（ ）
A．20B．56C．84D．120
考點七：定序問題（先選后排）
【例7】（2024·全國·高三專題練習(xí)）滿足，且的有序數(shù)組共有（ ）個.
A．B．C．D．
【變式7-1】（2024·高二課時練習(xí)）已知，則滿足的有序數(shù)組共有（ ）個
A．B．C．D．
【變式7-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（ ）
A．20B．40C．60D．120
【變式7-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為 （ ）
A．2520B．5040C．7560D．10080
考點八：多面手問題
【例8】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．56種B．68種
C．74種D．92種
【變式8-1】（2023·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）某龍舟隊有8名隊員，其中3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．26種B．30種C．37種D．42種
【變式8-2】（2024·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）我校去年11月份，高二年級有9人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法
考點九：錯位排列問題
【例9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（ ）
A．10種B．20種C．30種D．60種
【變式9-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式9-2】（2023·吉林延邊·高二?？计谥校┩?人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則4張賀卡不同分配方式有
A．8種B．9種C．10種D．12種
考點十：涂色問題
【例10】（2024·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有
（ ）
A．種B．種
C．種D．種
【變式10-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（ ）

A．240B．360C．480D．600
【變式10-2】（2024·全國·高三期末）如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成），給、、、這個三角形和“趙爽弦圖”涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點的區(qū)域）不同色，已知有種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
【變式10-3】（2024·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運動變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（ ）

A．B．C．D．
考點十一：分組與分配問題
【例11】（2024·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，要求每個社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（ ）
A．24B．36C．60D．96
【變式11-1】（2024·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年杭州亞運會已圓滿落幕，志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時代中國青年的風(fēng)采.早在2021年5月，杭州A公司便響應(yīng)號召，在全公司范圍內(nèi)組織亞運會志愿者的報名與培訓(xùn)，經(jīng)過選拔，最終有3名黨員和3名團員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié)，需從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有（ ）
A．54種B．45種C．36種D．18種
【變式11-2】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）2023年杭州亞運會吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊的機器人為了宣傳杭州亞運會，某校決定派5名志愿者將這三個吉祥物安裝在學(xué)校科技廣場，每名志愿者只安裝一個吉祥物，且每個吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（ ）
A．50B．36C．26D．14
考點十二：隔板法
【例12】（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）將9個志愿者名額全部分配給3個學(xué)校，則每校至少一個名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（ ）
A．16B．18C．27D．28
【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）7個相同的小球放入，，三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（ ）種不同的放法．
A．60種B．36種C．30種D．15種
【變式12-2】（2024·河北衡水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將10本完全相同的科普知識書，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（ ）
A．720種B．420種C．120種D．15種
考點十三：查字典問題
【例13】（2024·全國·高二專題練習(xí)）用、、、、、六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，比大的四位數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式13-1】（2024·北京·高二匯文中學(xué)?？迹┯? 四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)， 其中比大的偶數(shù)共有（ ）
A． 個B． 個C． 個D． 個
【變式13-2】（2024·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）由數(shù)字0、1、2、3組成的無重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)字中，比2020大的數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．11B．12C．13D．14
考點十四：分解法模型與最短路徑問題
【例14】（2024·全國·高三專題練習(xí)）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？
A．6B．8C．10D．12
【變式14-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（ ）條．
A．23B．24C．25D．26
【變式14-2】（2024·廣東惠州·高三?？计谀┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（ ）
A．23 條B．24 條C．25條D．26 條
【變式14-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個大正方體（由個大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點出發(fā)，沿著竹棍到達點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（ ）
A．種B．種
C．種D．種
考點十五：構(gòu)造法模型和遞推模型
【例15】（2024·北京海淀·高二北大附中校考期末）幾個孩子在一棵枯樹上玩耍，他們均不慎失足下落．已知
（）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；
（）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；
（）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；
（）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；
（）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，．
倒霉的李華在下落的過程中撞到了從到的所有樹枝，根據(jù)以上信息，在李華下落的過程中，和這根樹枝不同的撞擊次序有（ ）種．
A．B．C．D．
【變式15-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（ ）
A．23B．24C．32D．33
【變式15-2】（2024·天津河?xùn)|·高二統(tǒng)考期末）九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具.它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下關(guān)于九連環(huán)的名句“縱妙手、能解連環(huán).”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)1次，解下2個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán) 2 次，記 為解下個圓環(huán)需要移動圓環(huán)的最少次數(shù)，且，則解下 8 個圓環(huán)所需要移動圓環(huán)的最 少次數(shù)為（ ）
A．30B．90C．170D．341
考點十六：環(huán)排與多排問題
【例16】（2024·全國·高三專題練習(xí)）21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報數(shù)，報數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數(shù)．那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數(shù)的次數(shù)為（ ）
A．19B．38C．51D．57
【變式16-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（ ）
A．60種B．48種C．30種D．24種
【變式16-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（ ）．
A．6種B．8種C．12種D．16種
考點十七：配對型模型
【例17】（2024·浙江·模擬預(yù)測）新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個地方，全部送錯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式17-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）柜子里有3雙不同的鞋，隨機地取出2只，則取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但它們不成對的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式17-2】（2024·重慶·高三重慶一中階段練習(xí)）鞋柜里有4雙不同的鞋，從中隨機取出一只左腳的，一只右腳的，恰好成雙的概率為（ ）
A．B．C．D．
考點十八：電路圖模型
【例18】（2024·福建·高二統(tǒng)考期末）如圖，電路中共有個電阻與一個電燈A，若燈A不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式18-1】（2024·高二課時練習(xí)）如圖，電路中共有3個電阻與1個燈泡，若燈泡不亮，則因電阻斷路的情況共有 種.
【變式18-2】（2024·高二課時練習(xí)）如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有 種．
考點十九：機器人跳動模型
【例19】（2024·福建龍巖·高二校聯(lián)考）一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次跳動至少一個單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動后，停在數(shù)考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
二項式定理
2023年北京卷第5題，4分
2023年天津卷第11題，5分
2022年I卷第13題，5分
2021年浙江卷第13題，6分
【命題預(yù)測】
預(yù)測2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為：
（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算四大核心素養(yǎng)．
（2）熱點是利用二項式定理求系數(shù)和問題以及利用排列組合解決生活問題.
排列組合
2023年乙卷第7題，5分
2023年II卷第3題，5分
2023年I卷第13題，5分
2022年II卷第5題，5分
2021年乙卷第6題，5分

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