排列組合與二項(xiàng)式定理是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．本節(jié)內(nèi)容與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)留意常見的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意識(shí)．
考點(diǎn)題型一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題
考點(diǎn)題型二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題
考點(diǎn)題型三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題
【例4】（2024·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考）從2位男生，4位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每個(gè)場(chǎng)館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（????）種.A．16B．20C．96D．120
考點(diǎn)題型四：特殊優(yōu)先與正難則反策略
【變式4-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（????）．A．1860種B．3696種C．3600種D．3648種
【例5】（2024·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）2023年11月12日，連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高品質(zhì)特色發(fā)展暨百年校慶大會(huì)隆重舉行，贛馬高中建校100周年文藝演出中有四個(gè)節(jié)目：《腰鼓：千年回響》、《歌伴舞：領(lǐng)航》、《器樂：蘭亭序》、《情景?。何覀兣隳阆蚯白摺匪膫€(gè)節(jié)目，若要對(duì)這四個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，要求《腰鼓：千年回響》與《歌伴舞：領(lǐng)航》相鄰，則不同的排列種數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
考點(diǎn)題型五：相鄰問題與不相鄰問題
【變式5-1】（2024·江西九江·高三?？茧A段練習(xí)）由1，2，3，4，5，6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)1，3，5兩兩不相鄰，但1和2必須相鄰，這樣的六位數(shù)共有 個(gè)．
【變式6-1】（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校校考期末）定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（　?。〢．20B．56C．84D．120
考點(diǎn)題型七：定序問題（先選后排）
【變式7-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為 （????）A．2520B．5040C．7560D．10080
【例8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（????）A．56種B．68種C．74種D．92種
考點(diǎn)題型八：多面手問題
【變式8-1】（2023·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）某龍舟隊(duì)有8名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（????）A．26種B．30種C．37種D．42種
【例9】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（????）A．10種B．20種C．30種D．60種
考點(diǎn)題型九：錯(cuò)位排列問題
【變式10-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（????）A．240B．360C．480D．600
考點(diǎn)題型十一：分組與分配問題
【變式11-1】（2024·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)已圓滿落幕，志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時(shí)代中國(guó)青年的風(fēng)采.早在2021年5月，杭州A公司便響應(yīng)號(hào)召，在全公司范圍內(nèi)組織亞運(yùn)會(huì)志愿者的報(bào)名與培訓(xùn)，經(jīng)過選拔，最終有3名黨員和3名團(tuán)員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié)，需從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個(gè)場(chǎng)館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有（????）A．54種B．45種C．36種D．18種
【例12】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）將9個(gè)志愿者名額全部分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（????）A．16B．18C．27D．28
考點(diǎn)題型十三：查字典問題
【例14】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動(dòng)一個(gè)方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個(gè)方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實(shí)線不能穿過，則從入口走到出口共有（ ）種不同走法A．6B．8C．10D．12
【答案】B【解析】如圖，①?gòu)娜肟讴?﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②從入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③從入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④從入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤從入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥從入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦從入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧從入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8種，故選：B．
考點(diǎn)題型十四：分解法模型與最短路徑問題
考點(diǎn)題型十五：構(gòu)造法模型和遞推模型
【例16】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）21個(gè)人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報(bào)數(shù)．那么在僅剩兩個(gè)人沒有表演過節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)的次數(shù)為（?????）A．19B．38C．51D．57
考點(diǎn)題型十六：環(huán)排與多排問題
【變式16-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（???）A．60種B．48種C．30種D．24種
考點(diǎn)題型十七：配對(duì)型模型
考點(diǎn)題型十八：電路圖模型
【變式18-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有 種．
【答案】13【解析】四個(gè)焊接點(diǎn)共有24種情況，其中使線路通的情況有：1、4都通，2和3至少有一個(gè)通時(shí)線路才通，共有3種可能，故不通的情況有24－3＝13(種)．
【例19】（2024·福建龍巖·高二校聯(lián)考）一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共有（ ）種.A．105B．95C．85D．75
【答案】A【解析】分析：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，由加法原理計(jì)算可得答案．根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，有C51=5種情況，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，有C52=10種情況，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，有C52A33=60種情況，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，有C52C32=30種情況，則一共有5+10+60+30=105種情況，即有105種不同的跳動(dòng)方式．故選A．
考點(diǎn)題型十九：機(jī)器人跳動(dòng)模型
【變式19-1】一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？A．5B．25C．55D．75
【例20】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，由1，2，3，4，5構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為（????）A．13B．16C．20D．25
考點(diǎn)題型二十：波浪數(shù)模型

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