專題18 圓錐曲線高頻壓軸解答題（16大題型）（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一?！笨荚囍械膯?wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書(shū)寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題18圓錐曲線高頻壓軸解答題
目錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156939717" 01 軌跡方程 PAGEREF _Tc156939717 \h 2
\l "_Tc156939718" 02 向量搭橋進(jìn)行翻譯 PAGEREF _Tc156939718 \h 6
\l "_Tc156939719" 03 弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯 PAGEREF _Tc156939719 \h 10
\l "_Tc156939720" 04 斜率之和差商積問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939720 \h 16
\l "_Tc156939721" 05 弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939721 \h 20
\l "_Tc156939722" 06 定值問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939722 \h 26
\l "_Tc156939723" 07 定點(diǎn)問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939723 \h 30
\l "_Tc156939724" 08 三點(diǎn)共線問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939724 \h 34
\l "_Tc156939725" 09 中點(diǎn)弦與對(duì)稱問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939725 \h 38
\l "_Tc156939726" 10 四點(diǎn)共圓問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939726 \h 42
\l "_Tc156939727" 11 切線問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939727 \h 47
\l "_Tc156939728" 12 定比點(diǎn)差法 PAGEREF _Tc156939728 \h 51
\l "_Tc156939729" 13 齊次化 PAGEREF _Tc156939729 \h 55
\l "_Tc156939730" 14 極點(diǎn)極線問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939730 \h 57
\l "_Tc156939731" 15 同構(gòu)問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939731 \h 61
\l "_Tc156939732" 16 蝴蝶問(wèn)題 PAGEREF _Tc156939732 \h 66
01 軌跡方程
1．（2024·重慶·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的一條浙近線方程為，且點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，在直線上取一點(diǎn)，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，直線交雙曲線左支于點(diǎn)，直線和直線的交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上.
【解析】（1）因?yàn)闈u近線方程為，所以，設(shè)雙曲線為，
代入得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)力程為；
（2）法一、
設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線得：，
，且；
設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線得：，
，且；
所以
則
設(shè)，則，兩式相除消得
所以在直線上；
法二、
設(shè)直線，
直線，
由于，即，
由于，即，
則.
設(shè)，則，兩式相除消得
所以在直線上；
2．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為4．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)M，N，P，Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形MNPQ為菱形，原點(diǎn)О在直線MN上的垂足為點(diǎn)H，求H的軌跡方程．
【解析】（1）由題意可得，則橢圓：，
聯(lián)立，解得或，
所以弦長(zhǎng)，解得，所以，
所以橢圓的方程為，即；
（2）因?yàn)樗倪呅蜯NPQ為菱形，所以垂直且平分，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
即，
設(shè)菱形的中心為，
若直線的斜率都存在，設(shè)直線的斜率分別為，
由，得，
所以，即，
同理，
所以，
由得，所以，即菱形的中心為原點(diǎn)，
則直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立，解得，
所以，
同理，
因?yàn)椋?br>所以
，
所以點(diǎn)在圓上；
若直線中有一條直線的斜率不存在，由對(duì)稱性可知棱形的中心為原點(diǎn)，
四點(diǎn)分別為橢圓的頂點(diǎn)，不妨設(shè)為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，
則，
同理可得，
點(diǎn)任在圓上，
綜上所述，H的軌跡方程為.
3．（2024·福建莆田·統(tǒng)考一模）曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比等于，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與交于不同的兩點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）求證：內(nèi)切圓的圓心在定直線上．
【解析】（1）設(shè)，由題意：，
化簡(jiǎn)得：，即C的方程為：.
（2）設(shè)直線，，將代入C得：，
∴
設(shè)直線AF與BF的斜率分別為，則
.
∴，則，∴直線平分，而三角形內(nèi)心在的角平分線上，∴內(nèi)切圓的圓心在定直線上.
而，所以.
同理，當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合.符合
綜上，線段的中點(diǎn)的軌跡方程或.
02 向量搭橋進(jìn)行翻譯
4．（2024·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，
所以，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，則依據(jù)得，
整理得，
又，故，
得，
即，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即重合，顯然不成立，所以，
所以，即，
又，得，
又，故，且，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
5．（2024·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦距為，離心率為，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，直角坐標(biāo)原點(diǎn)記為．設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為銳角的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，判別橢圓上是否存在點(diǎn)，使得非零向量與向量平行，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題意，得，，所以，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，，
，
，所以的取值范圍為；
（3）顯然直線的斜率存在，故可設(shè)直線，、，
聯(lián)立，消去得，
，即①，
則，，
則，，
則，
故，
若，則有，
設(shè)直線為，
聯(lián)立，消去有，
要使得存在點(diǎn)，則，
整理得，
故②，
由①②式得，，
則，解得，
所以當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得.
6．（2024·云南昆明·高三統(tǒng)考期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和它到直線距離之比為2；
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)直線l在x軸上方與x軸平行，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和它到直線距離之比為2，
可得，化簡(jiǎn)得，即，
故點(diǎn)P的軌跡C的方程為；
（2）設(shè)l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯(lián)立得：，
由對(duì)應(yīng)漸近線方程為：，易判斷，
得，設(shè)，，
則，①，
由，得：
，
，
即，，
消去得：，
即②
由①②得：，化簡(jiǎn)得，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
03 弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯
7．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不在上，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，記的面積為，的面積為，求.
【解析】（1）將代入橢圓方程中，
，
解得
則橢圓的方程為；
（2）當(dāng)直線軸時(shí)，為鈍角三角形，且，不滿足題意.
設(shè)，由，可得，
所以，
所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)A不在上，所以，
由化簡(jiǎn)得，
.
，
所以
，
則，
整理得，因?yàn)?，所以?br>所以直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn).
由題意和對(duì)稱性可知，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，
8．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，若上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，且點(diǎn)在上.
(1)求橢圓的方程；
(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)，在上，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，分別延長(zhǎng)，交于，兩點(diǎn)，則四邊形的面積是否為定值？若為定值，求四邊形的面積，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)樯先我庖稽c(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，
所以，即.
又因?yàn)辄c(diǎn)在上，
所以，則，
故橢圓的方程為 .
（2）四邊形的面積為定值，理由如下：
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，因?yàn)椋?br>不妨設(shè)，則，
則，，
此時(shí)四邊形的面積為為定值；
當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)，且，.
聯(lián)立，得.
由，得，
則，，
則
，
因?yàn)椋?
所以，即，即，
則，
又原點(diǎn)到的距離，
所以四邊形的面積
，
綜上，所以四邊形的面積為定值.
9．（2024·上?！じ呷虾Ｊ写笸袑W(xué)?？计谀┮阎p曲線H：的左、右焦點(diǎn)為，，左、右頂點(diǎn)為，，橢圓E以，為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸．
(1)求橢圓E的離心率；
(2)設(shè)橢圓E交y軸于，，過(guò)的直線l交雙曲線H的左、右兩支于C，D兩點(diǎn)，求面積的最小值；
(3)設(shè)點(diǎn)滿足．過(guò)M且與雙曲線H的漸近線平行的兩直線分別交H于點(diǎn)P，Q．過(guò)M且與PQ平行的直線交H的漸近線于點(diǎn)S，T．證明：為定值，并求出此定值．
【解析】（1）設(shè)橢圓方程，焦距為，
由題意知橢圓E的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)分別為，
所以，
從而橢圓E的離心率為.
（2）如圖所示：
由題意，直線斜率存在，
所以不妨設(shè)直線的方程為，，
又雙曲線漸近線斜率的絕對(duì)值為，
且過(guò)的直線l交雙曲線H的左、右兩支于C，D兩點(diǎn)，
所以直線的斜率滿足，
將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去得，
而，
所以，
從而的面積為，
因?yàn)?，令，所以?br>從而，
進(jìn)一步令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.
綜上所述：面積的最小值.
（3）如圖所示：
由題意雙曲線的漸近線方程為即，
當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性得關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，所以為的中點(diǎn)，故．
下面證明當(dāng)時(shí)，即證為的中點(diǎn).
因?yàn)辄c(diǎn)滿足，則，
不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在直線的左上方，同理可證，點(diǎn)在兩漸近線所夾區(qū)域的上方或下方，不妨設(shè)點(diǎn)在上方區(qū)域.
由題意，
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
由即，所以，
所以滿足，
同理滿足，
所以直線的斜率：
，
設(shè)直線方程為,
由得即，
得的橫坐標(biāo)，同理，
所以，
所以為的中點(diǎn)，故為定值1．
綜上：為定值1．
04 斜率之和差商積問(wèn)題
10．（2024·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知過(guò)動(dòng)點(diǎn)作x軸垂線，分別與和交于P，Q點(diǎn)，且，，若實(shí)數(shù)使得成立（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
(1)求M點(diǎn)的軌跡方程，并求出當(dāng)為何值時(shí)M點(diǎn)的軌跡為橢圓；
(2)當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與軌跡M交于y軸右側(cè)C，D兩點(diǎn)，證明：直線，的斜率之比為定值．
【解析】（1）由動(dòng)點(diǎn)，可得，，，
因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)得，
當(dāng)時(shí)，方程為，其中M點(diǎn)的軌跡為橢圓．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，M的方程為，可得點(diǎn)為雙曲線，
設(shè)CD方程為，且，
聯(lián)立方程組，整理得，
可得且，，
直線的斜率分別為，
又由
所以
所以為定值．
11．（2024·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是PF的中點(diǎn)，且Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知圓，圓M的一條切線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：OA，OB的斜率之差的絕對(duì)值為定值．
【解析】（1）根據(jù)題意可列
故拋物線C的方程為.
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，，.
②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，故設(shè)直線的方程為，
圓M的一條切線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，故
設(shè)
把直線的方程與拋物線進(jìn)行聯(lián)立
.

.
綜上所述：的斜率之差的絕對(duì)值為定值為2.
12．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.直線過(guò)點(diǎn)，且垂直于軸，過(guò)的直線交的兩支于兩點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)設(shè)直線的斜率分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為.
由題意可得：
解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）由題意直線的斜率不為0.
設(shè)直線方程為，
由，消去得：，
由，得：.
設(shè)，則.
由題意可知，則直線.
令，得，所以坐標(biāo)為，
同理，坐標(biāo)為，
所以.
因?yàn)?，所以?br>整理得：.
又
，
所以.
因?yàn)?，所以，即?br>所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
05 弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問(wèn)題
13．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與垂直，交橢圓于兩點(diǎn)，若，求四邊形面積的范圍.
【解析】（1）設(shè)，由橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為，所以，所以離心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以橢圓的方程為.
①當(dāng)直線中的一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，四邊形的面積.
②當(dāng)直線的斜率都存在，且都不為0時(shí)，設(shè)的方程為，由，可得，.所以.
所以.
設(shè)的方程為，同理可得.
所以四邊形的面積
，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，即此時(shí).
由①②可知，四邊形面積的范圍為.
14．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
(2)設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．
【解析】（1）由，故，由直線與直線垂直，
故兩只直線斜率都存在且不為，
設(shè)直線、分別為、，有，
、、、，
聯(lián)立與直線，即有，
消去可得，，
故、，
則，
故，，
即，同理可得，
當(dāng)時(shí)，
則，
即
，
由，即，
故時(shí)，有，
此時(shí)過(guò)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，即時(shí)，
有，亦過(guò)定點(diǎn)，
故直線過(guò)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為；
（2）由、、、，
則，由、，
故，
同理可得，聯(lián)立兩直線，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則，
由、，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
下證：
由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，有，則點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)亦在軸上方，
有，由直線過(guò)定點(diǎn)，
此時(shí)，
同理，當(dāng)時(shí)，有點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)亦在軸下方，
有，故此時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
故恒成立，且時(shí)，等號(hào)成立，
故，
15．（2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模）拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作拋物線的切線l，再過(guò)點(diǎn)P作直線，使得，直線m和拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q．
(1)當(dāng)時(shí)，求切線的直線方程；
(2)當(dāng)直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)在x軸上時(shí)，求三角形的面積（點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(3)求出線段關(guān)于s的表達(dá)式，并求的最小值；
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，
由于點(diǎn)在第一象限，則，
求導(dǎo)，代入，則
所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為：；
（2）當(dāng)直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)在x軸上時(shí),
則直線過(guò)點(diǎn)，由于（1）的切線方程過(guò)點(diǎn)，
則此時(shí)切線方程為，又因?yàn)椋?br>則的方程為：.
聯(lián)立，解得或.
故點(diǎn)點(diǎn)，
則，
到直線的距離為：，
則面積為.
（3）由于點(diǎn)，
所以點(diǎn)在第一象限，則，
求導(dǎo)，代入，即，
則直線的方程為：，
所以直線的方程為：，
聯(lián)立拋物線于直線得：，得，
令，則，即，
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，即.
06 定值問(wèn)題
16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若，.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為，設(shè)不過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，記直線，PB，的斜率分別為k，，，若，求證：直線的斜率k為定值.
【解析】（1）由兩邊平方得，
所以.
因?yàn)?，所以，?
由得，即
又，
即，所以，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，代入得，
則，
設(shè)，則，
于是.，
又，所以，即，即，
即，
所以，.
將代入整理得，
即，
所以或
當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，則直線過(guò)點(diǎn)，舍去，
所以，即.
17．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．
(1)求的方程．
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)（不同于雙曲線的頂點(diǎn)），問(wèn)：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為．
由題意可得，解得，
所以的方程為．
（2）為定值，理由如下：
由（1）知，設(shè)直線，
聯(lián)立方程得，消去，整理可得，
，
，同理．
直線過(guò)點(diǎn)且與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，
兩點(diǎn)在軸同側(cè)，，此時(shí)，即．
，
，為定值．
18．（2024·全國(guó)·高三階段練習(xí)）如圖所示，已知拋物線是拋物線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率不為零的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．
(1)求的取值范圍；
(2)問(wèn)在平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）依題意，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，
由消去y并整理得，，
則，，
，
所以.
（2）由（1）知，，且，設(shè)，
，直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立解得，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，而，
于是，當(dāng)為定值，
所以存在定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
07 定點(diǎn)問(wèn)題
19．（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知點(diǎn)，直線、分別與拋物線交于點(diǎn)、.求證：直線過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立可得，則，所以，即，
所以拋物線的方程為.
（2）證明：若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，
同理可知，直線也不與軸重合，
設(shè)、，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，，
因此，.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，
則，因此，，則，同理可得.
所以.
因此直線的方程為，
由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，
令得，
，
所以，直線過(guò)定點(diǎn).
20．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，.
(1)求橢圓的方程；
(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率不為零的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意知，，，，
∵，，
∴，解得，從而，
∴橢圓的方程為.
（2）如圖，
由橢圓右焦點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，
設(shè)，，且，，
設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
由，可得，
又因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以直線和關(guān)于軸對(duì)稱，其傾斜角互補(bǔ)，即有，
則，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合題意，
即存在點(diǎn)滿足題意.
21．（2024·四川甘孜·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過(guò)的直線與拋物線相切于點(diǎn)，且交軸正半軸于點(diǎn).已知上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之和的最小值為3.
(1)求拋物線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足.證明：直線過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）設(shè)，由題意知準(zhǔn)線，
由拋物線的定義可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之和為，
由題意知當(dāng)時(shí)，距離之和最小，
所以，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）知，設(shè)，
聯(lián)立方程，得，
由得，解得，又與軸交于正半軸，所以
由解得，所以點(diǎn)，
所以直線，
所以直線，所以，
因?yàn)樾甭蚀嬖谇也粸榱?，所以設(shè)，
聯(lián)立，消去，得，
則，所以且.
，
又直線，令，得，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以直線的方程為，
所以，
因?yàn)椋?br>所以直線為，所以恒過(guò)定點(diǎn).
08 三點(diǎn)共線問(wèn)題
22．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）點(diǎn)是拋物線：（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)、是拋物線上異于、兩點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，證明：、、三點(diǎn)共線．
【解析】（1）拋物線：（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：過(guò)點(diǎn)作垂因?yàn)橹庇谳S的直線，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，
不妨設(shè)，則，
解得或（舍去），
所以拋物線的方程為；
（2）如圖所示：
由（1）知，設(shè)，
則直線AC的方程為：，直線BD的方程為：，
聯(lián)立得，解得，則，
所以，
則直線BC的方程為：，直線AD的方程為：，
聯(lián)立得，解得，則，
所以，則，
所以E，K，G三點(diǎn)共線.
23．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
，解得，
所以，拋物線的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，，
又因?yàn)橹本€的方程為，
將代入直線的方程可得，可得，即點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)?，則，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立可得，則，
故，則，
由的中點(diǎn)為，可得，
故、、三點(diǎn)共線．
24．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？计谀┮阎狝，B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，直線AP與直線BP的斜率之積為，且橢圓C過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線AP，BP分別與直線相交于M，N兩點(diǎn)，且直線BM與橢圓C交于另一點(diǎn)Q，證明：A，N，Q三點(diǎn)共線．
【解析】（1）令，則，又，則，
所以，即，，
由在橢圓上，則，
聯(lián)立以上兩式，可得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題設(shè)，直線、斜率存在且不為0，，
令，則，故，，
所以，聯(lián)立，整理得，
顯然，則，則，
由，，即，
所以A，N，Q三點(diǎn)共線.
09 中點(diǎn)弦與對(duì)稱問(wèn)題
25．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是3．
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題意得，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)橢圓上一點(diǎn)，，
則，故，
，
因?yàn)?，所以，?br>故，
故橢圓上的點(diǎn)到又焦點(diǎn)的最小距離是，所以，
聯(lián)立與，解得，故，
故橢圓的方程為．
（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，
設(shè)，，
則，兩式相減得，
得，即，
直線方程為，即．
所以存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，
且該直線方程為．
26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線
(1)求的方程；
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，
依題意得，所以為定值，且，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，
，，，，
所以，
所以橢圓的方程為.
（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，
設(shè)，，
則，兩式相減得，
得，即，
由點(diǎn)斜式得直線方程為，即.
所以存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，且該直線方程為.
27．（2024·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，且點(diǎn)F到C的左、右頂點(diǎn)的距離之積為5．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F作斜率乘積為的兩條直線，，與C交于A，B兩點(diǎn)，與C交于D，E兩點(diǎn)，線段AB，DE的中點(diǎn)分別為M，N．證明：直線MN與x軸交于定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】（1）由題意，，且，即，
所以，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：由題意得，且斜率均存在且不為0，
設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立，整理得，
可得，，
所以AB的中點(diǎn).
設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立，整理得，
可得，，
所以DE的中點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，、的橫坐標(biāo)相同均為，
這時(shí)直線與軸的交點(diǎn)為；
當(dāng)時(shí)，則直線的斜率，
所以直線的方程為：，
令，可得，
即直線與軸的交點(diǎn)為.
綜上所述，直線與軸交于定點(diǎn)為.
10 四點(diǎn)共圓問(wèn)題
28．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作曲線的兩漸近線的垂線，垂足分別為和的面積為.

(1)求曲線的方程；
(2)如圖，曲線的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)位于原點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線過(guò)且垂直于軸，直線DG,DR分別與交于兩點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）由，又得：，所以漸近線方程為，
則雙曲線方程為，即，
設(shè)，則到漸近線的距離分別為，
又兩漸近線的夾角為，且四點(diǎn)共圓，則或，
的面積，
曲線的方程為：.
（2）如圖四點(diǎn)共圓，
，
，
設(shè)，，
易得，令得：，
當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，不符合題意；
當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)，
聯(lián)立雙曲線得，
則，且，即，且，
所以，
由，即，
，
，符合，
綜上，.
29．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)D在C上，，，，且的面積為．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)C的左頂點(diǎn)為A，直線與x軸交于點(diǎn)P，過(guò)P作直線交C于G，H兩點(diǎn)直線AG，AH分別與l交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：O，A，N，M四點(diǎn)共圓．
【解析】（1）
由橢圓定義可知，.
由可得，
因?yàn)?，如圖1可知，所以．
在中，由余弦定理可得，
所以，即C的焦距為，，
所以，
故C的方程為.
（2）
如圖2，不妨取G點(diǎn)在H點(diǎn)的左側(cè)，要證O，A，N，M四點(diǎn)共圓，
只需證明，即．
又，
，
故待證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明．
設(shè)，，，顯然，.
由題意可知，則直線，直線．
因?yàn)镸在直線l上，所以，代入直線AG的方程，可知，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以.
又，故等價(jià)于．
設(shè)直線，與C的方程聯(lián)立消去x得，
，則或.
又，，
則，
所以，所以，
綜上O，A，N，M四點(diǎn)共圓．
30．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM過(guò)點(diǎn)且與直線相切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若直線與軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)B為曲線C上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線PB交曲線C于另一點(diǎn)D，直線BO和DO分別交直線于點(diǎn)S和T．若四點(diǎn)共圓，求的值．
【解析】（1）設(shè)，則，解得.
（2）
設(shè)直線的方程為代入得
，設(shè)，，
則，
又直線的方程為，即，則，
同理：，
則，
，
四點(diǎn)共圓，，
即，又，則.
11 切線問(wèn)題
31．（2024·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在離心率為的橢圓上，點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若，過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)分別作橢圓的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為，求的最小值．
【解析】（1）根據(jù)題意，，
又點(diǎn)在橢圓上，
，所以，
可得橢圓的方程為；
（2）根據(jù)題意：設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則，又，由
得，得，
又，解得：，或（舍去），則．
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線為，
聯(lián)立，
可得，因?yàn)椋?br>可得：，
因?yàn)?，代入可得?br>，
代入韋達(dá)定理可得：，
整理可得：，
可得：或，代入直線可得：，
該直線恒過(guò)點(diǎn)；或者，該直線恒過(guò)點(diǎn)（與題意不符），
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，直線的方程為，
點(diǎn)分別在直線上，所以，得直線為，
又直線恒過(guò)點(diǎn)，所以，
所以點(diǎn)的軌跡為，
故的最小值為點(diǎn)A到點(diǎn)軌跡的距離，為．
32．（2024·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知橢圓：與直線：.點(diǎn)在直線上，由點(diǎn)引橢圓的兩條切線、，A、B為切點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，求的面積；
(2)若，為垂足，求證：存在定點(diǎn)，使得為定值.（注：橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為）
【解析】（1）由題意知，過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線斜率存在，
設(shè)切線方程為，
聯(lián)立，可得，（*）
所以，解得，即切線方程為.
所以，
將代入方程（*）可得，可得，此時(shí)，
不妨設(shè)點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，則
因此，的面積.
（2）證明：設(shè)、，
因?yàn)闄E圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為.
則切線的方程為，切線的方程為.
設(shè)，則，
所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足方程即，
所以，直線的方程為.
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，則，
所以，直線的方程可表示為，即.
令，可得，故直線過(guò)定點(diǎn).
因?yàn)椋谥本€AB上，，
故點(diǎn)在以為直徑的圓上，
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
故存在點(diǎn)，使得為定值.
33．（2024·遼寧遼陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和直線l的距離的比值為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
(1)求曲線E的方程．
(2)以曲線E上一動(dòng)點(diǎn)M為切點(diǎn)作E的切線，若直線與直線l交于點(diǎn)N，試探究以線段MN為直徑的圓是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)．若過(guò)定點(diǎn)．求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，
因?yàn)槎c(diǎn)，定直線l：，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和直線l的距離的比值為，
可得，化簡(jiǎn)得，
所以曲線的方程為.
（2）因?yàn)橹本€與相交，所以的斜率存在，
可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，
整理得，
則，可得，
即且，所以，即，
所以，則，所以，
聯(lián)立方程組，解得，即，
假設(shè)以線段為直徑的圓過(guò)軸上一定點(diǎn)，設(shè)為，則，
所以恒成立，即，
可得，即，
整理得，
即，即恒成立，
要使得恒成立，則，所以恒過(guò)定點(diǎn)，
即以線段為直徑的圓過(guò)軸上一定點(diǎn).
12 定比點(diǎn)差法
34．（2024·吉林·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4，橢圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F．
(1)求拋物線的方程及a；
(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)N滿足，且最小值為，求橢圓的離心率．
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4
可得
拋物線的方程：
橢圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)
橢圓的右頂點(diǎn)為，
所以．
（2）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，
設(shè)直線方程為
由得，
∵
∴，即∴
∴，
∴
又∵
∴，即∴
∴N點(diǎn)軌跡為直線
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)在直線上．
∴N點(diǎn)軌跡方程為
最小值即點(diǎn)O到直線的距離
∴，即
橢圓的離心率為．
35．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)設(shè)，延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為，求證：為定值．
【解析】（1）由題意，得解得∴，故的方程為．
（2）由（1）知，
∴直線AB的方程為，由即，
設(shè)，，
則，，
∴．
設(shè)O點(diǎn)到直線AB的距離為d，則．
∴．
（3）設(shè)AB直線方程，
設(shè)，，，，
由由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：，
由于A，C滿足橢圓方程，故得
兩式作差得③，
將①②代入③可得，和①進(jìn)行聯(lián)立，
即，解得：
由同理可得，
∴
，
故．
36．（2024·安徽合肥·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上.
【解析】（1）過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為,則圓心在的中垂線上，
則，又點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為
所以，則
所以拋物線的方程為.
（2）設(shè)，記.
則，，
聯(lián)立可得，
又，代入得，
所以總在定直線上.
13 齊次化
37．已知橢圓，，，為上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
【解析】設(shè)直線方程為：
則
即，又因?yàn)?br>化簡(jiǎn)得或（舍去）．
即直線為，即直線過(guò)定點(diǎn)．
38．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【解析】設(shè)直線．．．．．．（1）
由，得
即：．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
整理得：
則，
則，代入直線，得：
顯然，直線過(guò)定點(diǎn)．
39．如圖，橢圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．
【解析】設(shè)直線
則．
由，
得：．
則，
故．
所以．
即．
14 極點(diǎn)極線問(wèn)題
40．（2024·江蘇南通·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線：（，）實(shí)軸端點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，離心率為2，過(guò)點(diǎn)且斜率1的直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，已知的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，請(qǐng)求出該定直線方程；如不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴雙曲線的方程為．
（2）當(dāng)直線點(diǎn)的斜率不存在時(shí)，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得的，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，∴，，
∴直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，兩邊平方得，
又，滿足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
綜上，在定直線上，且定直線方程為．
41．（2024·安徽六安·校聯(lián)考一模）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．
【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，，，
又，．
因?yàn)?，所以，?br>所以橢圓C的方程為．
（2）解法一：設(shè)直線，，，
，可得，
所以．
直線AM的方程：①
直線BN的方程：②
由對(duì)稱性可知：點(diǎn)Q在垂直于x軸的直線上，
聯(lián)立①②可得．
因?yàn)椋?br>所以
所以點(diǎn)Q在直線上．
解法二：設(shè)，，，兩兩不等，
因?yàn)镻，M，N三點(diǎn)共線，
所以，
整理得：．
又A，M，Q三點(diǎn)共線，有：①
又B，N，Q三點(diǎn)共線，有②將①與②兩式相除得：
即，
將即
代入得：解得（舍去）或，（因?yàn)橹本€與橢圓相交故）
所以Q在定直線上．
【點(diǎn)晴】求解直線與圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題：關(guān)鍵在于運(yùn)用設(shè)而不求思想、聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，構(gòu)造坐標(biāo)點(diǎn)方程從而解決相關(guān)問(wèn)題.
42．（2024·北京海淀·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓M：（a＞b＞0）過(guò)A（－2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的離心率；
（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過(guò)定點(diǎn)．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，
所以，．
所以．
所以橢圓的離心率．
（2）由（1）知橢圓的方程為，．
由題意知：直線的方程為．
設(shè)（，），，．
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以有，，
所以．
所以．
所以．
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以，即．
所以．
所以直線的方程為，
即．
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．
所以直線的方程為．
所以直線過(guò)定點(diǎn)．
15 同構(gòu)問(wèn)題
43．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(1)求拋物線和圓的方程；
(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.
【解析】（1）由題設(shè)得，
所以拋物線的方程為.
因此，拋物線的焦點(diǎn)為，即圓的圓心為
由圓與軸相切，所以圓半徑為，
所以圓的方程為.
（2）證明：由于，每條切線都與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則.
故設(shè)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線方程為，即.
依題意得，整理得①；
設(shè)直線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，
故，②，
由得③，
因?yàn)辄c(diǎn)，
則④，⑤
由②，④，⑤三式得：
，
即，
則，即，
所以點(diǎn)在圓.
44．（2024·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)五中校考一模）已知拋物線，圓．
（1）求圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離；
（2）已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，交拋物線于、兩點(diǎn)，若直線的斜率為，直線的斜率為，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）由已知：；的準(zhǔn)線為．
圓心到準(zhǔn)線距離為
（2）設(shè)，，
切線
由得：
由得：
切線
同理可得：
依題意：到距離
整理得：
同理：
，
解得：
故所求點(diǎn)坐標(biāo)為或
45．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為，與直線l相切．
(1)求拋物線C和的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)，是C上的兩個(gè)點(diǎn)，且直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【解析】（1）由已知，設(shè)拋物線C的方程為（），
當(dāng)時(shí)，，則，
所以不妨設(shè) ，，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得
所以拋物線C的，
因?yàn)榕c直線l：相切，，
所以的半徑為2，
所以的方程
（2）由已知可得在拋物線上，設(shè)，
所以，
所以的點(diǎn)斜式方程為
整理可得，
此直線與圓相切，可得，
平方后可得
又因?yàn)?br>化簡(jiǎn)得，
同理：的方程為，
所以直線方程為，
所以點(diǎn)M到直線距離為，
所以直線與相切
46．（2024·浙江杭州·高二蕭山中學(xué)校考期末）已知圓的方程為：
(1)已知過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，若，，求直線的方程；
(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)，，并且都與動(dòng)圓相切，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】（1）時(shí)，圓：，
因?yàn)?，所以可得圓心到直線的距離，
當(dāng)直線的方程為：時(shí)，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，即，
由得，解得：，直線：，
綜上：直線的方程為：或；
（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，則直線：，
，同理得直線：，
由，與動(dòng)圓相切得：，
化簡(jiǎn)得：，
因?yàn)?，所以?br>聯(lián)立得，同理：，
易得，
則：，
化簡(jiǎn)得：，所以直線過(guò)定點(diǎn)．
16 蝴蝶問(wèn)題
47．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.
（1）求證：；
（2）若直線PQ過(guò)定點(diǎn)，求證：.
【解析】（1）設(shè)
；
（2）設(shè)直線的方程是，設(shè)
與橢圓方程聯(lián)立，得：，
，，

，
,
由（1）可知，
兩式消去，解得：.
48．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，直線分別交橢圓于不同的兩點(diǎn).求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】（1）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則另一個(gè)焦點(diǎn)為，
由橢圓的定義知:，所以，解得.
又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，
則直線，與聯(lián)立可得，
所以，所以，
所以，所以，
又直線，與聯(lián)立可得，
所以，所以，
所以，所以
所以直線的斜率為=
所以直線
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為.
49．如圖，橢圓的長(zhǎng)軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．
(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；
(2)直線交橢圓于兩點(diǎn)；直線交橢圓于兩點(diǎn)，．求證：；
(3)對(duì)于（2）中的中的在，，，，設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求證：（證明過(guò)程不考慮或垂直于軸的情形）
【解析】（1）橢圓的長(zhǎng)軸與軸平行，短軸在軸上，中心，

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