A．B．C．D．
【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)及奇偶性的定義即可判斷．
【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，為上的奇函數(shù)，符合題意；
為上偶函數(shù)，不符合題意；
的定義域不是，不符合題意；
不是奇函數(shù)，不符合題意．
故選：．
2．已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使為偶函數(shù)，則的值可能為
A．B．C．D．
【分析】直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：由于函數(shù)，存在常數(shù)，
為偶函數(shù)，
則：，
由于函數(shù)為偶函數(shù)，
故：，
所以：，
當(dāng)時(shí)．
故選：．
3．已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，
A．B．C．D．
【分析】先設(shè)時(shí)，則，然后根據(jù)已知函數(shù)解析式及奇函數(shù)的定義可求．
【解答】解：時(shí)，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，
故．
故選：．
4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)動(dòng)于任意的，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【分析】可去絕對(duì)值號(hào)，從而畫出時(shí)的函數(shù)的圖象，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性畫出時(shí)的的圖象，結(jié)合圖象，根據(jù)恒成立，即可求出的范圍．
【解答】解：時(shí)，；
根據(jù)是上的奇函數(shù)，畫出圖象如下：
任意的，；
；
解得；
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：．
5．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)，時(shí)，，則
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及對(duì)數(shù)值的有關(guān)運(yùn)算，把所求轉(zhuǎn)化到所給區(qū)間，即可求解．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的周期為4，當(dāng)，時(shí)，，
；
；
；
故選：．
6．設(shè)函數(shù)，則
A．是偶函數(shù)，且在，單調(diào)遞增
B．是奇函數(shù)，且在，單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增
D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
【分析】求出的取值范圍，由定義判斷為奇函數(shù)，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)變形，再判斷內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案．
【解答】解：由，得．
又，
為奇函數(shù)；
由，
．
可得內(nèi)層函數(shù)的圖象如圖，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
則，上單調(diào)遞減．
又對(duì)數(shù)式是定義域內(nèi)的增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞減．
故選：．
7．已知是定義在上的偶函數(shù)，且滿足下列兩個(gè)條件：
①對(duì)任意的，，，且，都有；
②，都有．
若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．
【解答】解：由①對(duì)任意的，，，且，都有可得在，上單調(diào)遞增，
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，在，上單調(diào)遞減，
由②，都有可得函數(shù)的周期，
，（3），（4），
所以，
故．
故選：．
8．已知函數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】由已知函數(shù)解析式可判斷的單調(diào)性及奇偶性，從而可求不等式．
【解答】解：因?yàn)椋?br>由的解析式可知，在上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，有，
任取，則，由不等式的性質(zhì)可得，
即，所以，函數(shù)在上遞增
再由，得，
即，解得．
故選：．
9．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，且對(duì)，滿足，若（3），則不等式的解集為
A．，B．
C．，，D．，，
【分析】為上的偶函數(shù)，可得，即函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱．對(duì)，滿足，等價(jià)于，
，可得函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性．由（3），可得不等式（3）．即可得出．
【解答】解：為上的偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱．
對(duì)，滿足，等價(jià)于，，即函數(shù)在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．
若（3），則不等式（3）．
，解得：．
不等式的解集為．
故選：．
10．（多選）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，且在，上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是
A．是周期為2的函數(shù)
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．在，上是增函數(shù)
D．．
【分析】由是定義在上的偶函數(shù)，滿足，且在，上是增函數(shù)，可得，求出周期，因?yàn)椋?，可得是?duì)稱軸及在，上單調(diào)遞減，因?yàn)椋羁傻每傻?，所以，故選出答案．
【解答】解：因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，滿足，所以，而，
所以，即，所以可得函數(shù)的周期，所以正確，
因?yàn)?，所以，所以?duì)稱軸，即關(guān)于對(duì)稱，所以正確；
由函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，又在，上是增函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞減，故不正確；
因?yàn)椋羁傻每傻?，所以，所以正確，
故選：．
11．已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是 ．
【分析】由奇函數(shù)的定義可得，由已知可得（8），進(jìn)而得到．
【解答】解：是奇函數(shù)，可得，
當(dāng)時(shí)，，可得（8），
則（8），
故答案為：．
12．若函數(shù)為奇函數(shù)，則 ．
【分析】若0不在定義域內(nèi)，即；若定義域內(nèi)有0，則，代入即可求解．
【解答】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
若0不在定義域內(nèi)，即，此時(shí)符合題意，
若定義域內(nèi)有0，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，
故，此時(shí)，
，滿足題意．
故答案為：1或．
13．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若（a），則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得在，上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在上增函數(shù)，據(jù)此可得（a），解可得的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，易得在，上為增函數(shù)，
又由是定義在上的奇函數(shù)，則在，上為增函數(shù)，
則在上增函數(shù)，
若（a），則有，即，解可得：，即不等式的解集為；
故答案為：
14．設(shè)函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，且，時(shí)，，則 ．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的周期性可得，結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，
則，
又由，時(shí)，，則，
則，
故答案為：
15．函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在，上是增函數(shù)，若（a）（3），則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，將不等式轉(zhuǎn)化為（3），結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
【解答】解：是偶函數(shù)，且在，上是增函數(shù)，
在，上是減函數(shù)，
則不等式（a）（3），等價(jià)為（3），
得，得或，
故答案為：或
16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為 ．
【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)的定義求出的解析式，然后結(jié)合的范圍代入已知不等式即可求解．
【解答】解：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，，
所以，
所以，
故，
，
①即時(shí)，，
解可得，，
此時(shí)，
②時(shí)，，
解可得，，
此時(shí)，
③當(dāng)時(shí)，，
解可得，，
此時(shí)，
綜上可得，．
故答案為：
17．（2020?青島模擬）已知定義在的偶函數(shù)在，單調(diào)遞減，，若，則取值范圍 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)榕己瘮?shù)在，單調(diào)遞減，，
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，且（1），
由，可得，
解可得，，
故答案為：，
18．已知函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．
【解答】解：，則，即為偶函數(shù)，
因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞增，
，，，
因?yàn)椋?br>故
故答案為：
19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值，驗(yàn)證即可得答案；
（2）根據(jù)題意，求出的導(dǎo)數(shù)，分析可得在上為增函數(shù)，據(jù)此可得原不等式等價(jià)于，變形可得，解可得的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
則有，則；
當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，符合題意，
故；
（2）根據(jù)題意，，其導(dǎo)數(shù)，則在上為增函數(shù)；
若，必有，即，
則有，變形可得，
解可得：，即的取值范圍為，．
20．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
（1）求當(dāng)時(shí)函數(shù)的解析式；
（2）解不等式．
【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得在上為增函數(shù)，且（4），據(jù)此可得（4），解可得的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，則，
又由為偶函數(shù)，則，
故當(dāng)時(shí)，；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，且（4），
又由為偶函數(shù)，
則（4），
解可得：或，
則不等式的解集為或．
21．設(shè)，，函數(shù)，，．
（Ⅰ）若為偶函數(shù)，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，在，上均單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)，，若對(duì)任意，，都有，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)的概念可知，即可得解；
（Ⅱ）若，結(jié)合，可得為一次函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，與題意不符，于是，
即函數(shù)為二次函數(shù)．再結(jié)合二次函數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)的單調(diào)性可分別列出關(guān)于的不等式，解之，并取交集即可；
（Ⅲ）由題意可得原不等式等價(jià)于對(duì)任意的，，恒成立，且恒成立，再由二次函數(shù)的圖象可得，的不等式組，解不等式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，
即，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，
所以．
（Ⅱ）若，則，由于，
所以在上單調(diào)遞減，與題意不符，所以；
因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，
所以，解得，
因?yàn)樵冢蠁握{(diào)遞增，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
（Ⅲ）對(duì)任意的，，恒成立等價(jià)于
對(duì)任意的，，恒成立，且恒成立，
即恒成立，且恒成立，
分別令函數(shù)，，
注意到，
故對(duì)任意的，，與恒成立的充要條件是
，即，也即，
由，，可得，因此，
從而，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．已知定義在上的偶函數(shù)滿足．且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)于任意，，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【分析】先求得（1）的值，由此求得的值，證得時(shí)周期為4的函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)周期性和對(duì)稱性，將原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的取值范圍即可求得的取值范圍．
【解答】解：因?yàn)椋?，則（1），即（1），
由于時(shí)，．所以（1），解得，
即有當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)椋?br>又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
再根據(jù)．，
則，
所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
當(dāng)，時(shí)，，，所以，
所以當(dāng)，時(shí)，．
因?yàn)?，所以，故?br>所以當(dāng)，時(shí)，，，所以．
作出函數(shù)的圖象如圖：
由，得，對(duì)于任意，成立
當(dāng)時(shí)，，解得，所以，即對(duì)于任意，成立，
當(dāng)，時(shí)，由得的最大值，由于在，單調(diào)遞減，所以，
由得的最小值，由于在，單調(diào)遞增，所以，
綜上，的取值范圍是，，
故答案為：，．
2．若，設(shè)其定義域上的區(qū)間，．
（1）判斷該函數(shù)的奇偶性，并證明；
（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間，上的單調(diào)性，并證明；
（3）當(dāng)時(shí)，若存在區(qū)間，，使函數(shù)在該區(qū)間上的值域?yàn)?，，求?shí)數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)定義法證明函數(shù)的奇偶性；
（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按照：設(shè)元、作差、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論的步驟完成即可；
（3）由（1）得，當(dāng)時(shí)，在，為減函數(shù)，故若存在定義域，，使值域?yàn)?，，則有，從而問題可轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個(gè)解，進(jìn)而問題得解．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>由解得或，即的定義域?yàn)椋?，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又，
為奇函數(shù)．
（2）在，為增函數(shù)，
證明如下：的定義域?yàn)椋?，則，．
設(shè)，，，，，，
則，
，
，即，
因?yàn)?，所以，即?br>所以在，為增函數(shù)，
（3）由（1）得，當(dāng)時(shí)，在，為減函數(shù)，
若存在定義域，，使值域?yàn)?，?br>則有，
，
，是方程在上的兩個(gè)相異的根，
，即，
即在上的兩個(gè)相異的根，
令，則在有2個(gè)零點(diǎn)，
，解得，
即當(dāng)時(shí)，，

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