【考綱要求】
1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.
2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
2.幾種常見的函數(shù)模型
【常用結(jié)論】
1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.
2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性.
【方法技巧】
1.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法
(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.
(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況.
2.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn).
(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；
(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).
3.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).
4.在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題時需注意以下四個步驟：
①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.
②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.
③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.
④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問題.
5.通過對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識和方法構(gòu)建函數(shù)模型解決問題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).
二、【題型歸類】
【題型一】用函數(shù)圖象刻畫變化過程
【典例1】如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部有一排水小孔，當(dāng)小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是( )
【解析】水勻速流出，所以魚缸水深h先降低快，中間降低緩慢，最后降低速度又越來越快．故選B.
【典例2】中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1 min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規(guī)律( )
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝max＋n(m>0,01)
D．y＝mlgax＋n(m>0，a>0，a≠1)
【解析】由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m>0,0

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