【考綱要求】
1.了解向量的實際背景.
2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.
4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.
5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.
6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.
【考點預測】
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.
【常用結(jié)論】
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
【方法技巧】
1.平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與eq \f(a,|a|)的關(guān)系：eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.
2.(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.
(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
3.與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
4.利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
二、【題型歸類】
【題型一】向量的基本概念
【典例1】(多選)給出下列命題，不正確的有( )
A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同
B．若A，B，C，D是不共線的四點，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形
C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線
【典例2】(多選)下列命題正確的是( )
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若a，b都為非零向量，則使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線
D．若a＝b，b＝c，則a＝c
【典例3】對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【題型二】平面向量的線性運算
【典例1】設非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則( )
A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|
C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|
【典例2】在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
【典例3】在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，點E是線段eq \(BC,\s\up6(→))的中點，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.
【題型三】平面向量共線定理的應用
【典例1】設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．
【典例2】已知向量a與b不共線，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)，則eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))共線的條件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
【典例3】已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，若eq \(CB,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點P一定在( )
A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上
C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上
三、【培優(yōu)訓練】
【訓練一】莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T為頂點的多邊形為正五邊形，且eq \f(PT,AT)＝eq \f(\r(5)－1,2).下列關(guān)系中正確的是( )
A.eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(RS,\s\up6(→)) B．eq \(CQ,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(TS,\s\up6(→))
C.eq \(ES,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(BQ,\s\up6(→)) D．eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))
【訓練二】若2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝________.
【訓練三】如圖，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up6(→))，P是BN上一點，若eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)t的值為________.
【訓練四】經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R＋.
(1)證明：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)為定值；
(2)求m＋n的最小值.
【訓練五】經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R*.
(1)證明：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)為定值；
(2)求m＋n的最小值．
【訓練六】已知O，A，B是不共線的三點，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；
(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.
四、【強化測試】
【單選題】
1. 若a，b為非零向量，則“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共線”的( )
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
2. 設a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))，b是一個非零向量，則下列結(jié)論不正確的是( )
A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝a
C．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b|
3. 如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
4. 已知平面內(nèi)一點P及△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則點P與△ABC的位置關(guān)系是( )
A．點P在線段AB上 B．點P在線段BC上
C．點P在線段AC上 D．點P在△ABC外部
5. 已知O是正方形ABCD的中心．若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則eq \f(λ,μ)＝( )
A．－2 B．－eq \f(1,2)
C．－eq \r(2) D．eq \r(2)
6. 矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則λ2＋μ2＝( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C.1 D.eq \f(5,16)
7. 在△ABC中，點M為AC上的點，且eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up6(→))，若eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，則λ－μ的值是( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
8. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為DE的中點，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，則x等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
【多選題】
9. 下列選項中的式子，結(jié)果為零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))
C.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))
10. (多選)下列說法中正確的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0
B．若|a|＝|b|且a∥b，則a＝b
C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量
D．若a∥b，則有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa
11. (多選)設點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是( )
A．若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，則點M是邊BC的中點
B．若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，則點M在邊BC的延長線上
C．若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，則點M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq \f(1,2)
12. 點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，則△ABC不可能是( )
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
【填空題】
13. 若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，則|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________．
14. 已知e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，eq \(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq \(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點共線，則λ＝________．
15. 已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則eq \(DC,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)
16. 在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝2，點E在線段CD上，若eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．
【解答題】
17. 在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→)).
18. 已知O，A，B是不共線的三點，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；
(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.
19. 已知a，b不共線，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OE,\s\up6(→))＝e，設t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由．
20. 如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點，且靠近B點，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點，且分別靠近A，D兩點，設eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)試用a，b表示eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))；
(2)證明：B，E，F(xiàn)三點共線．
21. 設兩向量a與b不共線.
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b).求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.
22. 如圖，EF是等腰梯形ABCD的中位線，M，N是EF上的兩個三等分點，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→)).
(1)用a，b表示eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)證明：A，M，C三點共線．
向量運算
定 義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a.
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個向量差的運算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

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