【考綱要求】
1.會求空間中點到直線以及點到平面的距離.
2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件．
【考點預(yù)測】
1．點到直線的距離
如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)eq \(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq \(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq \r(a2－?a·u?2).
2．點到平面的距離
如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是eq \(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq \(QP,\s\up6(→))的長度，因此PQ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
【方法技巧】
1.向量法求點到直線距離的步驟
①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.
②在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量eq \(MN,\s\up6(→)).
③垂線段長度d＝eq \r(\(MN,\s\up6(→))2－（\(MN,\s\up6(→))·v）2).
2.求點到平面的距離的常用方法
①直接法：過P點作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離.
②轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面α的距離來求.
③等體積法.
④向量法：設(shè)平面α的一個法向量為n，A是α內(nèi)任意點，則點P到α的距離為d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).
3.折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.
4.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.
二、【題型歸類】
【題型一】利用向量法求距離
【典例1】已知棱長為1的正方體ABCD－EFGH，若點P在正方體內(nèi)部且滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，則點P到AB的距離為________.
【典例2】如圖，四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB＝eq \f(1,2)CD＝1，E為PC的中點.
(1)證明：BE∥平面PAD.
(2)若AB⊥平面PBC，△PBC是邊長為2的正三角形，求點E到平面PAD的距離.
【典例3】如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點.
(1)求點N到直線AB的距離；
(2)求點C1到平面ABN的距離.
【題型二】立體幾何中的探索性問題
【典例1】已知正方體ABCD－A1B1C1D1，點E為A1D1中點，直線B1C1交平面CDE于點F.
(1)求證：點F為B1C1的中點；
(2)若點M為棱A1B1上一點，且二面角M－CF－E的余弦值為eq \f(\r(5),3)，求eq \f(A1M,A1B1)的值．
【典例2】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，B1C＝eq \r(6)，AB⊥B1C.
(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABC；
(2)在棱BB1上是否存在點P，使直線CP與平面ACC1A1所成角的正弦值為eq \f(4,5)，若不存在，請說明理由；若存在，求BP的長．
【典例3】如圖，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的eq \r(2)倍，P為側(cè)棱SD上的點．
(1)求證：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面DAC夾角的大??；
(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．
【題型三】折疊問題
【典例1】如圖1.梯形ABCD中，AB∥CD，過A，B分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).AB＝AE＝2，CD＝5，DE＝1，將梯形ABCD沿AE，BF折起，得空間幾何體ADE-BCF，如圖2.
(1)圖2中，若AF⊥BD，證明：DE⊥平面ABFE；
(2)在(1)的條件下，若DE∥CF，求二面角D-AF-C的余弦值．
【典例2】在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，AB＝2BC＝2CD，如圖1，以DE為折痕將△ADE折起，使點A達(dá)到點P的位置，如圖2.
(1)證明：平面BCP⊥平面CEP；
(2)若平面DEP⊥平面BCED，求直線DP與平面BCP所成角的正弦值．
【典例3】圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②.
(1)證明：圖②中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求圖②中的平面BCG與平面ACG夾角的大小.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E為PD的中點，點F在PC上，且eq \f(PF,PC)＝eq \f(1,3).
(1)求證：CD⊥平面PAD；
(2)求平面FAE與平面PAE夾角的余弦值；
(3)設(shè)點G在PB上，且eq \f(PG,PB)＝eq \f(2,3).判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.
【訓(xùn)練二】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F(xiàn)，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點．
(1)求證：PO⊥平面ABCD；
(2)求平面EFG與平面ABCD夾角的大小；
(3)在線段PA上是否存在點M，使得直線GM與平面EFG所成的角為eq \f(π,6)，若存在，求線段PM的長度；若不存在，請說明理由．
【訓(xùn)練三】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，沿EF將四邊形EFCD折起，使二面角A-EF-C的大小為60°，點M在線段AB上．
(1)若M為AB的中點，且直線MF與由A，D，E三點所確定平面的交點為O，試確定點O的位置，并證明直線OD∥平面EMC；
(2)是否存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時二面角M-EC-F的余弦值，若不存在，說明理由．
四、【強(qiáng)化測試】
一、單選題
1．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點，則點到直線的距離為（ ）
A．B．1C．D．
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是a，且，，E為的中點，則點E到直線的距離為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則當(dāng)點到平面的距離最小時，直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（ ）

A．1B．C．D．
5．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，
，則當(dāng)點A到平面BCD的距離最小時，直線AE與平直BCD所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，長方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，上的動點（異于所在棱的端點）.給出以下結(jié)論：①在F運(yùn)動的過程中，直線能與AE平行；②直線與EF必然異面；③設(shè)直線AE，AF分別與平面相交于點P，Q，則點可能在直線PQ上.其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，已知正方體中，F(xiàn)為線段的中點，E為線段上的動點，則下列四個結(jié)論：①存在點E，使；②存在點E，使平面；③EF與所成的角不可能等于60°；④三棱錐的體積隨動點E的變化而變化．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2022秋·高二課時練習(xí)）在棱長為2的正方體中，M，N兩點在線段上運(yùn)動，且，給出下列結(jié)論：
①在M，N兩點的運(yùn)動過程中，⊥平面；
②在平面上存在一點P，使得平面；
③三棱錐的體積為定值；
④以點D為球心作半徑為的球面，則球面被正方體表面所截得的所有弧長和為．
其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．②③④
二、多選題
9．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，點滿足，其中，則（ ）
A．
B．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面
C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得
D．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
10．（2023春·山東棗莊·高一校考階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，，點在棱上，且，點在上底面運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．存在點使
B．不存在點使平面平面
C．若，，，四點共面，則的最小值為
D．若，，，，五點共球面，則的最小值為
11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點，則下列說法正確的是（ ）

A．不存在點，使得
B．存在點，使得
C．對于任意點，到的距離的取值范圍為
D．對于任意點，都是鈍角三角形
12．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）在正方體中，分別為的中點，則（ ）

A．直線與直線垂直
B．點與點 到平面的距離相等
C．直線與平面平行
D．與的夾角為
三、填空題
13．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，一四面體的四個頂點坐標(biāo)分別為，則其體積為 ．
14．（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，，則當(dāng)點A到平面BCD的距離最小時，直線AE與平面BCD所成角的正弦值為 .
15．（2023春·高二單元測試）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點，點F滿足，動點M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運(yùn)動，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是 ．
16．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱內(nèi)放置兩個半徑相等的球，使這兩個球相切，且每個球都與三棱柱的三個側(cè)面及一個底面相切，則三棱柱的高為 ．
四、解答題
17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達(dá)的位置，且.

(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請說明理由.
18．（2023·天津北辰·?？寄M預(yù)測）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.

(1)求證：平面；
(2)求直線PB與平面所成角的正弦值；
(3)求點到PD的距離.
19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；
(2)若為側(cè)棱的中點，且平面與平面所成角的余弦值為，求點到平面的距離．
20．（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，在四面體中，．點為棱上的點，且，三棱錐的體積為．

(1)求點A到平面的距離；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
21．（2023秋·福建寧德·高三福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；
(2)若，，在線段上（不含端點），是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．
22．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；
(2)點是棱上一動點，且直線與平面所成角的正弦值為，求．

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