知識梳理
1．分類加法計數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．
2．分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．
題型歸納
題型1分類加法計數(shù)原理
【例1-1】滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為( )
A．14 B．13
C．12 D．10
【解析】選B 當a＝0時，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數(shù)對(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個．故選B.
【例1-2】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為________．
【解析】按十位數(shù)字分類，十位可為1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，則共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個兩位數(shù)．
【答案】36
【跟蹤訓(xùn)練1-1】如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點)．
【解析】分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；
第二類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O 2種不同的走法；
第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O 2種不同的走法．
由分類加法計數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法．
【答案】5
【跟蹤訓(xùn)練1-2】若橢圓eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1的焦點在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數(shù)為________．
【解析】當m＝1時，n＝2,3,4,5,6,7，共6個；
當m＝2時，n＝3,4,5,6,7，共5個；
當m＝3時，n＝4,5,6,7，共4個；
當m＝4時，n＝5,6,7，共3個；
當m＝5時，n＝6,7，共2個．
故共有6＋5＋4＋3＋2＝20個滿足條件的橢圓．
【答案】20
【跟蹤訓(xùn)練1-3】如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為________．
【解析】若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個)．若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個)．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．
【答案】240
【名師指導(dǎo)】
分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．
(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準．
(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．
(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.
題型2分步乘法計數(shù)原理
【例2-1】(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點，則P可表示坐標平面上第二象限的點的個數(shù)為( )
A．6 B．12
C．24 D．36
(2)有6名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法．
(3)《中國詩詞大會》(第三季)亮點頗多，在“人生自有詩意”的主題下，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味．若《沁園春·長沙》、《蜀道難》、《敕勒歌》、《游子吟》、《關(guān)山月》、《清平樂·六盤山》排在后六場，且《蜀道難》排在《游子吟》的前面，《沁園春·長沙》與《清平樂·六盤山》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有________種．(用數(shù)字作答)
【解析】 (1)確定第二象限的點，可分兩步完成：
第一步確定a，由于a0，所以有2種方法．
由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是3×2＝6.
(2)每項限報一個，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．
(3)分兩步完成：①《蜀道難》、《敕勒歌》、《游子吟》、《關(guān)山月》進行全排有Aeq \\al(4,4)種，若《蜀道難》排在《游子吟》的前面，則有eq \f(1,2)Aeq \\al(4,4)種；②《沁園春·長沙》與《清平樂·六盤山》插入已經(jīng)排列好的四首詩詞形成的前4個空位(不含最后一個空位)中，插入法有Aeq \\al(2,4)種．由分步乘法計數(shù)原理，知滿足條件的排法有eq \f(1,2)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,4)＝144(種)．
【答案】 (1)A (2)120 (3)144
【跟蹤訓(xùn)練2-1】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )
A．24 B．18
C．12 D．9
【解析】選B 從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.
【跟蹤訓(xùn)練2-2】如圖，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點脫落，整個電路就會不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點脫落的可能情況共有________種．
【解析】因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況．
【答案】63
【名師指導(dǎo)】
利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的策略
(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．
(2)分步必須滿足的兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．
題型3兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
【例3-1】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個．(用數(shù)字作答)
【解析】 ①當組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為Ceq \\al(3,5)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)＝960.
②當組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為Aeq \\al(4,5)＝120.
故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1 080(個)．
【答案】 1 080
【例3-2】如圖，圖案共分9個區(qū)域，有6種不同顏色的涂料可供涂色，每個區(qū)域只能涂1種顏色的涂料，其中2和9同色，3和6同色，4和7同色，5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法有( )
A．360 種 B．720 種
C．780 種 D．840 種
【解析】 首先從6種不同顏色的涂料中選出4種分別涂2和9、3和6、4和7、5和8八塊，共有Aeq \\al(4,6)種涂法，然后根據(jù)條件可知只需從余下的兩種不同顏色的涂料中選一種涂區(qū)域1即可，有2種涂法，所以滿足要求的涂法有2×Aeq \\al(4,6)＝720(種)．選B.
【答案】 B
【例3-3】(1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
(2)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
【解析】 (1)第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．
(2)長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.
【答案】 (1)D (2)B
【跟蹤訓(xùn)練3-1】如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為( )
A．24 B．48
C．72 D．96
【解析】選C 分兩種情況：
①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D各有1種，有4×3×2＝24種涂法．
②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48種涂色．
故共有24＋48＝72種涂色方法．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有( )
A．144個 B．120個
C．96個 D．72個
【解析】選B 由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是4或5.當萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有2×4×3×2＝48個偶數(shù)；當萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選一個，共有3×4×3×2＝72個偶數(shù)．故符合條件的偶數(shù)共有48＋72＝120(個)．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(用數(shù)字作答)．
【解析】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個)．第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個．由分類加法計數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個)．
【答案】40
【名師指導(dǎo)】
利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．
(3)弄清分步，分類的標準是什么．

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