一、知識梳理
1．兩個計數(shù)原理
2.兩個計數(shù)原理的區(qū)別
分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．
常用結(jié)論
三個易錯點
(1)應(yīng)用兩個計數(shù)原理首先要弄清楚先分類還是先分步．
(2)分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)．
(3)分步要做到“步驟完整”，步步相連．
二、教材衍化
1．已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為( )
A．16 B．13
C．12 D．10
解析：選C．將4個門編號為1，2，3，4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2，3，4號門進入，同樣各有3種走法，共有不同走法4×3＝12(種)．
2．如圖，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有________條不同的路線．
解析：不同路線共有3×4＋4×5＝32(條)．
答案：32
3．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是________．
解析：分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×2＝6.
答案：6
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．( )
(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事件是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、易錯糾偏
eq \a\vs4\al(常見誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))分類、分步標(biāo)準(zhǔn)不清致誤
1．從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有( )
A．30 B．20
C．10 D．6
解析：選D．從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6(種)．
2．某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為________．
解析：3個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，分別有7，8，9種方法，所以不同的插法種數(shù)為7×8×9＝504.
答案：504
3．書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有6本不同的體育書．從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為________，從第1，2，3層分別各取1本書，不同的取法種數(shù)為________．
解析：由分類加法計數(shù)原理知，從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為4＋5＋6＝15.由分步乘法計數(shù)原理知，從1，2，3層分別各取1本書，不同的取法種數(shù)為4×5×6＝120.
答案：15 120
考點一 分類加法計數(shù)原理(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))通過實例，了解分類加法計數(shù)原理及其意義．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模
(1)橢圓eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)的焦點在x軸上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，則這樣的橢圓的個數(shù)為( )
A．10 B．12
C．20 D．35
(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為________．
【解析】 (1)因為焦點在x軸上，m＞n，以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，由分類加法計數(shù)原理，可分為四類：第一類：m＝5時，使m＞n，n有4種選擇；第二類：m＝4時，使m＞n，n有3種選擇；第三類：m＝3時，使m＞n，n有2種選擇；第四類：m＝2時，使m＞n，n有1種選擇．故符合條件的橢圓共有10個．故選A．
(2)根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．
由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．
【答案】 (1)A (2)36
【遷移探究1】 (變條件)在本例(1)中，若m∈{1，2，…，k}，n∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他條件不變，這樣的橢圓有多少個？
解：因為m＞n.
當(dāng)m＝k時，n＝1，2，…，k－1.
當(dāng)m＝k－1時，n＝1，2，…，k－2.
…
當(dāng)m＝3時，n＝1，2.
當(dāng)m＝2時，n＝1.
所以共有1＋2＋…＋(k－1)＝eq \f(k(k－1),2)(個)．
【遷移探究2】 (變條件)若本例(2)條件變?yōu)椤皞€位數(shù)字不小于十位數(shù)字”，則這樣的兩位數(shù)的個數(shù)是多少？
解：分兩類：一類：個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)，由本例(2)知共有36個；另一類：個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個．由分類加法計數(shù)原理知，共有36＋9＝45(個)．
eq \a\vs4\al()
分類加法計數(shù)原理的兩個條件
(1)根據(jù)問題的特點能確定一個適合它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類．
(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理．
1．如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點)．
解析：分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；
第二類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O 2種不同的走法；
第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O 2種不同的走法．
由分類加法計數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5(種)不同的走法．
答案：5
2．如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為________．
解析：若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個)．若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個)．
所以所有凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．
答案：240
考點二 分步乘法計數(shù)原理(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))通過實例，了解分步乘法計數(shù)原理及其意義．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模
(1)將4封不同的信投入3個信箱，不同的投法種數(shù)為( )
A．96 B．81
C．64 D．24
(2)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )
A．24 B．18
C．12 D．9
(3)有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法．
【解析】 (1)每封信都有3種不同的投法，由分步乘法計數(shù)原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34＝81種不同的投法．故選B．
(2)由題意可知E→F共有6種走法，F(xiàn)→G共有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×3＝18種走法，故選B．
(3)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．
【答案】 (1)B (2)B (3)120
【遷移探究1】 (變條件)若本例(3)中將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？
解：每人都可以從這三個智力項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種)．
【遷移探究2】 (變條件)若將本例(3)條件中的“每人至多參加一項”改為“每人參加的項目數(shù)不限”，其他不變，則有多少種不同的報名方法？
解：每人參加的項目數(shù)不限，因此每一個項目都可以從六人中任選一人，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種)．
eq \a\vs4\al()
利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略
(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．
(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總方法數(shù)．
[提醒] 分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．
1．如圖，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點脫落，整個電路就會不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點脫落的可能情況共有________種．
解析：因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況．
答案：63
2．從－1, 0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(用數(shù)字作答)．
解析：一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3×3×2＝18(個)二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6(個)偶函數(shù)．
答案：18 6
考點三 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用(應(yīng)用型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點在于明確是分類還是分步．
2．分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵．
3．分步要做到“步驟完整”，步步相連才能將事件完成．
角度一 涂色、種植問題
(2020·重慶模擬)某地行政區(qū)域如圖，請你用4種不同的顏色為每個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，共有________種不同的涂色方法．(用具體數(shù)字作答)
【解析】 假設(shè)按a→b→c→d→e順序涂色．對于a有4種涂色的方法，對于b有3種涂色方法，對于c有2種涂色方法，對于e：若c與d顏色相同，則有2種涂色方法，若c與d顏色不相同，則只有1種涂色方法．故共有4×3×2×(2＋1)＝72種不同的涂色方法．
【答案】 72
角度二 與幾何有關(guān)的問題
(1)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
(2)如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(用數(shù)字作答)．
【解析】 (1)長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.
(2)把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：
第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個)．
第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個．
由分類加法計數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個)．
【答案】 (1)B (2)40
角度三 排數(shù)與排隊問題
(1)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有( )
A．144個 B．120個
C．96個 D．72個
(2)生產(chǎn)過程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有( )
A．24種 B．36種
C．48種 D．72種
【解析】 (1)①首位為5，末位為0：4×3×2＝24(個)；②首位為5，末位為2：4×3×2＝24(個)；③首位為5，末位為4：4×3×2＝24(個)；④首位為4，末位為0：4×3×2＝24(個)；⑤首位為4，末位為2：4×3×2＝24(個)．由分類加法計數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個)．故選B．
(2)分兩類：①第一道工序安排甲時有1×1×4×3＝12(種)；②第一道工序不安排甲時有1×2×4×3＝24(種)．所以共有12＋24＝36(種)．故選B．
【答案】 (1)B (2)B
eq \a\vs4\al()
完成一件事的方法種數(shù)的計算步驟
第一步，審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的；
第二步，分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種；
第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)；
第四步，根據(jù)分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理計算出完成這件事的方法種數(shù)．
1.如圖，用6種不同的顏色分別給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有( )
A．400種 B．460種
C．480種 D．496種
解析：選C．完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色．當(dāng)使用4種顏色時：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360種方法；當(dāng)使用3種顏色時：A，D使用同一種顏色，從A，D開始，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4＝120種方法．由分類加法計數(shù)原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(種)．
2．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與該平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
解析：選D．分類討論：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．
[基礎(chǔ)題組練]
1．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個數(shù)是( )
A．30 B．42
C．36 D．35
解析：選C．因為a＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6×6＝36個虛數(shù)．
2．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為( )
A．40 B．16
C．13 D．10
解析：選C．分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．
3．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標(biāo)，則這樣的點的個數(shù)是( )
A．9 B．14
C．15 D．21
解析：選B．因為P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P?Q，
所以x∈{y，2}．
所以當(dāng)x＝2時，y＝3，4，5，6，7，8，9，共7種情況；
當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＝3，4，5，6，7，8，9，共7種情況．
故共有7＋7＝14種情況，即這樣的點的個數(shù)為14.
4．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為( )
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：選D．當(dāng)公比為2時，等比數(shù)列可為1，2，4或2，4，8；當(dāng)公比為3時，等比數(shù)列可為1，3，9；當(dāng)公比為eq \f(3,2)時，等比數(shù)列可為4，6，9.同理公比為eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(2,3)時，也有4個．故共有8個等比數(shù)列．
5．(2020·蘭州模擬)將邊長為3的正方形ABCD的每條邊三等分，使之成為3×3表格．將其中6個格染成黑色，使得每行每列都有兩個黑格的染色方法的種數(shù)為( )
A．12 B．6
C．36 D．18
解析：選B．根據(jù)題意可按照列選擇染色的元素，第一列可有3種選擇方式，第一列方格標(biāo)號為1，2，3.當(dāng)?shù)谝涣羞x定時比如選定1，2，第二列有兩種選擇，染第一行和第三行，或者染第二行和第三行，當(dāng)?shù)诙写_定時，第三列也就確定了．故共3×2＝6種染色方法．故選B．
6．在如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為( )
A．24種 B．48種
C．72種 D．96種
解析：選C．分兩種情況：
(1)A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2＝24(種)．
(2)A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48(種)．
綜上兩種情況，不同的涂色方法共有48＋24＝72(種)．
7．某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3，5，6，8，9中選擇，其他號碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有( )
A．180種 B．360種
C．720種 D．960種
解析：選D．按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．
8．直線l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于10，則這樣的直線的條數(shù)為( )
A．6 B．7
C．8 D．16
解析：選B．l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為
S＝eq \f(1,2)ab≥10，即ab≥20.
當(dāng)a＝1時，不滿足；當(dāng)a＝3時，b＝8，即1條．
當(dāng)a∈{5，7}時，b∈{4，6，8}，此時a的取法有2種，b的取法有3種，則直線l的條數(shù)為2×3＝6.故滿足條件的直線的條數(shù)為1＋6＝7.故選B．
9．一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風(fēng)景，則不重復(fù)(除交匯點O外)的不同游覽線路有( )
A．6種 B．8種
C．12種 D．48種
解析：選D．從P點處進入結(jié)點O以后，游覽每一個景點所走環(huán)形路線都有2個入口(或2個出口)，若先游覽完A景點，再進入另外兩個景點，最后從Q點處出有(4＋4)×2＝16種不同的方法；同理，若先游覽B景點，有16種不同的方法；若先游覽C景點，有16種不同的方法，因而所求的不同游覽線路有3×16＝48(種)．
10．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2 013 是“六合數(shù)”)，則首位為2的“六合數(shù)”共有( )
A．18個 B．15個
C．12個 D．9個
解析：選B．依題意，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4，0，0組成3個數(shù)分別為400，040，004；由3，1，0組成6個數(shù)分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成3個數(shù)分別為220，202，022；由2，1，1組成3個數(shù)分別為211，121，112.共計：3＋6＋3＋3＝15(個)．
11．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為( )
A．14 B．13
C．12 D．10
解析：選B．當(dāng)a＝0時，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數(shù)對(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均滿足要求；當(dāng)a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個，故選B．
12．將1，2，3，…，9這9個數(shù)字填在如圖所示的空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3，4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法有( )
A．6種 B．12種
C．18種 D．24種
解析：選A．根據(jù)數(shù)字的大小關(guān)系可知，1，2，9的位置是固定的，如圖所示，則剩余5，6，7，8這4個數(shù)字，而8只能放在A或B處，若8放在B處，則可以從5，6，7這3個數(shù)字中選一個放在C處，剩余兩個位置固定，此時共有3種方法，同理，若8放在A處，也有3種方法，所以共有6種方法．
13.從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有________個．
解析：將和等于11的數(shù)放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個，有Ceq \\al(1,2)＝2種，共有2×2×2×2×2＝32個子集．
答案：32
14．從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)生委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．
解析：第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔(dān)任，所以從剩下的3人中選1人擔(dān)任文娛委員，有3種選法．
第二步，從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員，又可分兩步進行：先選學(xué)習(xí)委員有4種選法，再選體育委員有3種選法．由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種)．
答案：36
15．(一題多解)如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．
解析：法一：首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法．
法二：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24種涂法；二是用3種顏色，這時A，B，C的涂法有4×3×2＝24種，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種)．
答案：72
16．在某一運動會百米決賽上，8名男運動員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4，5，6，7，8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種．
解析：分兩步安排這8名運動員．
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四條跑道可安排．故安排方式有4×3×2＝24(種)．
第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(種)．
故安排這8人的方式共有24×120＝2 880(種)．
答案：2 880
[綜合題組練]
1．用六種不同的顏色給如圖所示的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有( )
A．4 320種 B．2 880種
C．1 440種 D．720種
解析：選A．分步進行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320種不同的涂色方法，故選A．
2．在某校舉行的羽毛球兩人決賽中，采用5局3勝制的比賽規(guī)則，先贏3局者獲勝，直到?jīng)Q出勝負(fù)為止．若甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，則所有可能出現(xiàn)的情形(個人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( )
A．6種 B．12種
C．18種 D．20種
解析：選D．分三種情況：恰好打3局(一人贏3局)，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2×3＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2×eq \f(4×3,2)＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20種．故選D．
3．已知△ABC三邊a，b，c的長都是整數(shù)，且a≤b≤c，如果b＝25，則符合條件的三角形共有________個．
解析：根據(jù)三邊構(gòu)成三角形的條件可知，c＜25＋a.
第一類：當(dāng)a＝1，b＝25時，c可取25，共1個值；
第二類，當(dāng)a＝2，b＝25時，c可取25，26，共2個值；
…
當(dāng)a＝25，b＝25時，c可取25，26，…，49，共25個值；
所以三角形的個數(shù)為1＋2＋…＋25＝325.
答案：325
4．若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法時各位均不進位(例如：134＋3 802＝3 936)，則稱(m，n)為“簡單的”有序?qū)?，而m＋n稱為有序?qū)?m，n)的值，那么值為1 942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是________．
解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2種組合方式；
第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10種組合方式；
第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5種組合方式；
第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3種組合方式．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，值為1 942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)為2×10×5×3＝300.
答案：300
5．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，則：
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個不同的二次函數(shù)？
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù)？
解：(1)y＝ax2＋bx＋c表示二次函數(shù)時，a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180個不同的二次函數(shù)．
(2)當(dāng)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上時，a的取值有2種情況，b，c的取值均有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72個圖象開口向上的二次函數(shù)．
6．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．
解：法一：按所用顏色種數(shù)分類．
第一類：5種顏色全用，共有Aeq \\al(5,5)種不同的方法；
第二類：只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×Aeq \\al(4,5)種不同的方法；
第三類：只用3種顏色，則A與C，B與D必定同色，共有Aeq \\al(3,5)種不同的方法．
由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法種數(shù)為Aeq \\al(5,5)＋2×Aeq \\al(4,5)＋Aeq \\al(3,5)＝420(種)．
法二：以S，A，B，C，D順序分步染色．
第一步：S點染色，有5種方法；
第二步：A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；
第三步：B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；
第四步：C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當(dāng)A與C同色時，D點有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)．兩個計數(shù)原理
目標(biāo)
策略
過程
方法總數(shù)
分類加法
計數(shù)原理
完
成
一
件
事
有兩類不
同的方案
在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法
N＝m＋n種不同的方法
分步乘法
計數(shù)原理
需要兩
個步驟
做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法
N＝m×n種不同的方法
3
4
1
2
D
3
4
A
C
B
9

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