新高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練重難點(diǎn)3-3 導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)綜合5大題型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
重難點(diǎn)3-3 導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)綜合5大題型
導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題中的零點(diǎn)問(wèn)題在高考中常以解答壓軸題的形式出現(xiàn)。主要包含函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷與證明。主要考查：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍、與零點(diǎn)相關(guān)的不等式恒成立或證明問(wèn)題等，在高考中難度偏大。
一、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常規(guī)求解步驟：
第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸（或y=k）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象；
第三步：結(jié)合圖象判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù)。
二、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法
1、圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題（畫草圖時(shí)注意有時(shí)候需要使用極限）；
2、利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
三、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法
1、分離參數(shù)（a=g(x)）后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域（最值）問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線y=a與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題（優(yōu)先分離、次選分類）求解；
2、利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)造不等式求解；
3、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解。
四、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可直接求時(shí)的應(yīng)對(duì)策略
1、“特值試探法”：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求時(shí)，可嘗試?yán)锰厥庵翟囂剑藭r(shí)特殊值的選取應(yīng)遵循一下原則：
= 1 \* GB3 ①當(dāng)含有的函數(shù)中，通常選取，特別的，選當(dāng)時(shí)，來(lái)試探；
= 2 \* GB3 ②在含有的函數(shù)中，通常選取，特別的，選取當(dāng)時(shí)，來(lái)試探，在探得導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)后，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，確定導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)左右的符號(hào)，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問(wèn)題得到解決。
2、“虛設(shè)和代換法”：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無(wú)法求出顯性的表達(dá)式時(shí)，我們可以先證明零點(diǎn)的存在，再虛設(shè)為，接下來(lái)通常有兩個(gè)方向：
= 1 \* GB3 ①由得到一個(gè)關(guān)于的方程，再將這個(gè)關(guān)于的方程的整體或局部代入，從而求得，然后解決相關(guān)的問(wèn)題；
= 2 \* GB3 ②根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得出兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問(wèn)題得解。
【題型1 討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】
【例1】（2023·河南·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】易知的定義域?yàn)?，?br>令，解得或，∴在和上單調(diào)遞減，
令，解得或，∴在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，易知在上沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，取得極小值，且，，
可知在上有2個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．故選：B.
【變式1-1】（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)則方程在區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）
A．8 B．10 C．16 D．18
【答案】C
【解析】由，可得或.
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是由在上的圖象
先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到的，
作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：
由圖可知，方程在區(qū)間上根的個(gè)數(shù)分別為10，6.
故方程在區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)為16.故選：C
【變式1-2】（2023春·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；（2）答案見(jiàn)解析.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，，因此在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由得：，令函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，由于，
即有在上的取值集合是，
又在上的取值集合是，
因此函數(shù)在上的取值集合是，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上取得極大值，
而，恒成立，
函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，
亦即直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，
觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有1個(gè)公共點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).
【變式1-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
（1）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析
【解析】（1）的定義域是，．
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，令，
由，得，．
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，不滿足題意．
綜上所述，．
（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）可得在上單調(diào)遞增，且，
所以在上存在1個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，由（1）可得必有兩根，，
又因?yàn)?，所以，?
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋栽谏洗嬖?個(gè)零點(diǎn)，
且，；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>，而在單調(diào)遞增，且，
而，故，所以在上存在1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>而在單調(diào)遞增，且，而，
所以，所以在上存在1個(gè)零點(diǎn)．
從而在上存在3個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，存在1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在3個(gè)零點(diǎn)．
【變式1-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
（1）若直線是曲線的一條切線，求a的值；
（2）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析
【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，
即，
因?yàn)橹本€是曲線的一條切線，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以或（）．
當(dāng)時(shí)，由，得a＝2；
當(dāng)（）時(shí)，．
令，則，
所以在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，易知，
所以由，得．綜上，．
（2）由（1）得（），
當(dāng)，即時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
故，因此函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．
當(dāng)，即時(shí)，
令，得或，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的極大值，，
令（），則，
令（），則，
所以在上單調(diào)遞增，，
所以在上單調(diào)遞增，，
即（），
因此，
又，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)，即時(shí)，，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，
又，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)，即時(shí)，
令，得或，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的極小值，
令，則，
易知當(dāng)x＝4時(shí)，取得最大值，
所以，所以，
令，則，
所以
，
由得
所以，
所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．
【題型2 證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題】
【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，求證：
（1）存在唯一零點(diǎn)；
（2）不等式恒成立．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【解析】（1），.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
所以，即.
所以在上單調(diào)遞增，.
則在上，存在，使得，即存在唯一零點(diǎn)；
（2），
令，.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
即，故.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.
即.
故不等式恒成立.
【變式2-1】（2023·山東·煙臺(tái)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；
（2）若，證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1），所以，解得，
所以，所以，
故切點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入切線方程，
得，解得，
故．
（2）證明：，
令，則在上單調(diào)遞減，
所以，且，，
令，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即，所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，且，
令，則，
因?yàn)?，從而，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，取，
，
由零點(diǎn)存在性定理以及單調(diào)性可得在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．即在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．
【變式2-2】（2022·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)校考一模）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)．
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>令，得，令，得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）因?yàn)?，，則．
令，得．因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
而，且．
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上有唯一零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，恒有，在上無(wú)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)．
【變式2-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)．
【答案】（1）的增區(qū)間為；（2）詳見(jiàn)解析.
【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則，
由，可得，由，可得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為；
（2）由題可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，令，
則，
所以存在，使，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以存在，，使得，
且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則時(shí)，函數(shù)有極大值，
又，
設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，故，
又時(shí)，，
所以時(shí)，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)；
綜上，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)．
【題型3 根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍】
【例3】（2023春·北京·高三北京市八一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【解析】畫出的圖象，如下：
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，故，
即在處的切線斜率為1，
故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，故，
即在處的切線斜率為，
故當(dāng)時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，與有1個(gè)交點(diǎn)，滿足要求，
而當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，與有1個(gè)交點(diǎn)，
故有三個(gè)不同的零點(diǎn)，不合要求，舍去；
綜上：
【變式3-1】（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）
【解析】（1）由題意可得．
當(dāng)時(shí)，由，得，
由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，則．
由，得或，
由，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，在R上恒成立，則在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，則．
由，得或，
由，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
要使有兩個(gè)零點(diǎn)，需至少滿足，即．
當(dāng)時(shí)，，
，
則在與上各有一個(gè)零點(diǎn)，即符合題意．
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，則不符合題意．
當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，，
則在上恒成立．
由（1）可知在上單調(diào)遞增或先遞減后遞增，
則不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，即不符合題意．
綜上，a的取值范圍為．
【變式3-2】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】定義域?yàn)镽，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞減，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理得：存在唯一的使得：，故滿足要求，
當(dāng)時(shí)，由得或，
由得，
故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，只需，
解得：，與取交集后得到，
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【變式3-3】（2023春·河南安陽(yáng)·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù) .
（1）當(dāng)時(shí)，求的極小值；
（2）若在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得極小值；
（2）由題意，在上有唯一解，即在上有唯一解.
令，顯然，，
∴當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
此時(shí)在上只有一個(gè)零點(diǎn)1；
當(dāng)時(shí)，在]上恒成立，故在]上單調(diào)遞減，
此時(shí)在上只有一個(gè)零點(diǎn)1；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
結(jié)合，要使原函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，
只需，解得，∴，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【變式3-4】（2022秋·福建泉州·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí),當(dāng)函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）
【解析】（1）由題意可得：，且的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)恒成立，
故在內(nèi)單調(diào)遞增，即無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn).
（2）由題意可得：，且的定義域?yàn)椋?br>則，
∵，構(gòu)建，則的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸，
當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)恒成立，
故在內(nèi)單調(diào)遞減，
則在定義域內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，不妨設(shè)，
則有：，可得，
令，則，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得分別在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
即至多只有三個(gè)零點(diǎn)，
∵，故在內(nèi)的零點(diǎn)為2，
可得，
對(duì)于，
構(gòu)建，則
當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞增，
且，
故，即，
∴在內(nèi)存在零點(diǎn)，即，
注意到，
可得，且，
故在內(nèi)存在零點(diǎn)，
可得有三個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
綜上所述：當(dāng)函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【題型4 隱零點(diǎn)的相關(guān)問(wèn)題】
【例4】（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若函數(shù)與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，
即相當(dāng)于無(wú)解，變形得，，
令，則，
令，則在上為增函數(shù)，
而，，故唯一解，，
且，，化簡(jiǎn)得，，
即，設(shè)，
則，故在為增函數(shù)，
故，所以，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
所以，
所以，當(dāng)時(shí)無(wú)解，即.故選：B
【變式4-1】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)與的圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)___________.
【答案】
【解析】令，
函數(shù)與的圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
等價(jià)于在有兩個(gè)零點(diǎn)，，
令，則，
令，，易得恒成立，
故在單調(diào)遞增，易得，
故存在，使得，即，即，
當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，則在上單調(diào)遞減，
故為極小值，因?yàn)樵谟袃蓚€(gè)零點(diǎn)，
則，即，
因?yàn)?，則，
則，即，解得
【變式4-2】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn).
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，?br>故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2），
令，，
令，，，；，，
在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，，，
故存在唯一的，使得，即，
且當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，即存在唯一的極大值點(diǎn).
【變式4-3】（2022春·山東·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┮阎瘮?shù).
（1）若在有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析
【解析】（1）令，，則，
因?yàn)樵谟袃蓚€(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；
（2）證明：，
故，
令，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，
由零點(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性知，方程在上有唯一根，
設(shè)為且，從而有兩個(gè)零點(diǎn)和，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
從而存在唯一的極大值點(diǎn)，由，得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
若，則，與題意矛盾，故，
所以取等不成立，所以得證，
又，在單調(diào)遞增，
所以得證，
所以.
【題型5 與三角函數(shù)相關(guān)的零點(diǎn)】
【例5】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
又，
當(dāng)時(shí)，令，
可得或或
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以函?shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，所以函?shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以函?shù)在不存在零點(diǎn)；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，
所以在上共有個(gè)零點(diǎn).故選：B.
【變式5-1】（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，，
所以，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)時(shí)，存在唯一的，使得，
所以，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)楹瘮?shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)不同的零點(diǎn)
令，因?yàn)椋裕?br>所以，函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，
所以，正實(shí)數(shù)的范圍為，故選：B
【變式5-2】（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）若，求的最小值；
（2）若有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）最小值為；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
則.
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以.
又，所以，所以恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以的最小值為.
（2）由已知可得，則在區(qū)間上有且只有1個(gè)零點(diǎn)．
，
令，.
則，
因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值.
當(dāng)時(shí)，有，則恒成立，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.
又，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，有恒成立，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.
又，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，有，.
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
根據(jù)零點(diǎn)的存在定理可得，，使得.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減：
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
又，，要使在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則，解得.
又，所以.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【變式5-3】（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
（1）若存在極值，求的取值范圍；
（2）當(dāng)，且時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1），，
當(dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增，無(wú)極值；
當(dāng)，即時(shí)，，；，，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
此時(shí)，在處取得極大值，無(wú)極小值.
綜上，若存在極值，則.
（2）當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)?，令，則，
所以在單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，?br>所以在有唯一的零點(diǎn)，，；，，
于是在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
可知在存在唯一的極大值點(diǎn)（），
由，，
，
令，，
由，；，，
則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即，
故，即，
可知在和分別恰有一個(gè)零點(diǎn).
所以當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
【變式5-4】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，，試討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng) 時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn).
【解析】（1）由已知可知,
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，則，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí)，,在單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）由已知，，
令,則,
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
，，，
①當(dāng)時(shí)，，，存在唯一的，使得，
當(dāng)時(shí)，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，在上遞減，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>由零點(diǎn)存在性定理可得，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，，使得，
當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>而，由零點(diǎn)存在性定理可得，
在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有2個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)．
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在處有極值，且極值為8，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由題意得，
因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，且極值為8，
則，，
解得(經(jīng)檢驗(yàn)適合題意)，或（經(jīng)檢驗(yàn)不合題意舍去）
故，，
當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，，，?br>則有3個(gè)零點(diǎn)，故選：C.
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：因?yàn)?
設(shè)，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得.
令．
對(duì)求導(dǎo)，得.
解可得，.
解可得，，所以在上單調(diào)遞增；
解可得，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，所以的定義域?yàn)椋?br>若有零點(diǎn)，則有零點(diǎn).
因?yàn)椋?br>解可得，.
解可得，，所以在上單調(diào)遞增；
解可得，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，當(dāng)時(shí)，有最小值.
所以，要使在上有零點(diǎn)，則必有，
即.此時(shí)有，
且.
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，使得，即有零點(diǎn)，
所以以有零點(diǎn)，所以.
解法二由題可得，
．
令，則.
解可得，.
解，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
解，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以，函數(shù)在時(shí)，取得最大值為，所以.
設(shè)，，則.
解，可得.
解，可得，所以在上單調(diào)遞增；
解，可得，所以在上單調(diào)遞減.
所以，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)有最小值.
要使函數(shù)有零點(diǎn)，則在上存在零點(diǎn).
所以，必有，即，
又，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，使得，即有零點(diǎn)，
所以有零點(diǎn)，所以.故選：A.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】由題意得有兩個(gè)不同的根，
即有兩個(gè)不同的根，
變形為，即，
令，則，
其中令，，
恒成立，故在單調(diào)遞增，得到，
故有兩個(gè)不同的根，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在處取得極大值，也是最大值，，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
畫出的圖象如下圖：
故時(shí)，有兩個(gè)不同的根，解得：.
4．（2022秋·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】由題可知，，
令，
因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞減，所以，
若，則恒成立，即恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足題意;
若，則，
因?yàn)椋?所以，
所以由零點(diǎn)的唯一性定理可知，在必定存在唯一的零點(diǎn)記為，
所以當(dāng)時(shí)，即，
時(shí)，即，
所以在時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減，滿足題意;
綜上得，
5．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn)；
（2）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3個(gè).
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
令，則，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無(wú)極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在上都遞減，即在上遞減，
而，則存在唯一，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則為在上的極大值點(diǎn)，
所以在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，，
則恒成立，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則恒成立，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
則恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
而，
因此函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
由（1）知在上單調(diào)遞增，
而，則存在唯一，使得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
有，又，
因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，則存在唯一，使得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
又，因此函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，
綜上得，函數(shù)共有3個(gè)零點(diǎn).
6．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．
（1）證明：存在唯一零點(diǎn)；
（2）設(shè)，若存在，使得，證明：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1）由題意可得，
記，則，
因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上恒小?，在上恒大于0，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋杂形ㄒ涣泓c(diǎn)0．
（2）由可得，
若是方程的根，則是方程的根，
因?yàn)?，都單調(diào)遞增，
所以，，
設(shè)，，
所以的解為，的解為，
所以在上遞減，在上遞增，
所以的最小值為，即的最小值為．
故原不等式成立.
7．（2023春·河南·高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若存在零點(diǎn)且零點(diǎn)的絕對(duì)值小于2，求a的取值范圍
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,則當(dāng)時(shí)，，，即
而當(dāng)時(shí)，，則有，
所以若在上單調(diào)遞增，a的取值范圍是
（2）若，，單調(diào)遞增，且有，
由f（x）存在零點(diǎn)且零點(diǎn)的絕對(duì)值小于2，可知存在唯一零點(diǎn)
由，則，.
若，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
則取極小值，即，
又，則，，
又，，且當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí),趨向于正無(wú)窮，
故此時(shí)存在兩個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為，
又，則，由題意，則有，即，
故，
綜上，a的取值范圍是.
8．（2023春·江蘇南京·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍；
（3）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；（2）；（3）有1個(gè)零點(diǎn)
【解析】（1）若，則，
由得，；由得，．
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．
（2）依題意，在區(qū)間上．．
令得，或．
若即，則由得，，遞增；
由得，，遞減．
所以，滿足條件；
若，則由得或，
在時(shí)遞增或時(shí)遞增；
由得，遞減．，
依題意，即，所以．
若，則．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足條件；
綜上，．
（3）．
所以．設(shè)，．
令得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以的最小值為．
因?yàn)?，所以?br>所以的最小值．
從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
又，
設(shè)．
則．令得．由，得；
由，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以恒成立．所以．
所以．
又，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)．x
＋
0
－
0
＋
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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