新高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練重難點(diǎn)3-2 導(dǎo)數(shù)與不等式綜合5大題型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
重難點(diǎn)3-2 導(dǎo)數(shù)與不等式綜合5大題型
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題在近幾年高考中出現(xiàn)的頻率較高。求解此類問(wèn)題關(guān)鍵是要找到與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值（值域），從而達(dá)到目的?？疾殡y度較大。
一、不等式證明的常用思路
1、移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
2、最值法：若無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，則可以考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．
在證明過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處恒成立．從而f(x)>g(x)，
但此處與取到最值的條件不是同一個(gè)“x的值”．
3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)
5、雙變量不等式的處理策略：
含兩個(gè)變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，
具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.
二、不等式成立問(wèn)題常用的轉(zhuǎn)化規(guī)則
1、單變量不等式成立問(wèn)題：一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立
（1），
（2），
（3），
（4），
2、雙變量不等式成立問(wèn)題：一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集．
三、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
1、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式：
（1）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；
（2）若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；
（3）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；
（4）若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.
2、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法
（1）方法概述：
= 1 \* GB3 ①求出函數(shù)的極值點(diǎn)；
= 2 \* GB3 ②構(gòu)造一元差函數(shù)；
= 3 \* GB3 ③確定函數(shù)的單調(diào)性；
= 4 \* GB3 ④結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系.
口訣：極值偏離對(duì)稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個(gè)步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.
（2）抽化模型
答題模板：若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.
= 1 \* GB3 ①討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；
假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
= 2 \* GB3 ②構(gòu)造；
注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.
= 3 \* GB3 ③通過(guò)求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；
假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.
= 4 \* GB3 ④不妨設(shè)，通過(guò)的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；
接上述情況，由于時(shí)，且，，故，又因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，從而得到，從而得證.
= 5 \* GB3 ⑤若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.
此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)椋剩捎谠谏蠁握{(diào)遞減，故.
四、證明與數(shù)列有關(guān)的不等式
1、證明此類問(wèn)題時(shí)長(zhǎng)根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量。通過(guò)多次求和達(dá)到證明的目的。此類問(wèn)題一般至少兩問(wèn)，已知的不等式常由第一問(wèn)根據(jù)待證式的特征而得來(lái)。
2、已知函數(shù)式為指數(shù)不等式（或?qū)?shù)不等式），而待證不等式為與對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式（或與指數(shù)有關(guān)的不等式），還有注意指、對(duì)數(shù)式的互化，如可化為
【題型1 單變量不等式求參問(wèn)題】
【例1】（2023秋·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】，，
，，
令，
則若關(guān)于的不等式有解，則，
，
，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
則，則，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.
【變式1-1】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由，令，
令，則在上單調(diào)遞增，.
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則有，解得；
（2）當(dāng)時(shí)，則存在使得，
則時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
∴，又，
.
∵，令，，則，
∴在上單調(diào)遞減.
則，故.
綜上，.
故答案為：
【變式1-2】（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，，，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．
（1）求a的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)成立，求b的取值范圍．
【答案】（1）2；（2）答案見解析；（3）
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>，
由于直線的斜率為，.
（2），，
①當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令有，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
綜上所述：，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，
，的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.
（3）由恒成立，等價(jià)于，
令（），，
①若時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
，即，滿足，
②若時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于，不成立，
故不滿足題意.
③若時(shí)，令，，，，
，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，
只需即可，
，，
令，，在上單調(diào)遞增，
，時(shí)，，
，，所以在上單調(diào)遞增，
，即，
綜上：.
【變式1-3】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）解析見解析；（2）證明見解析；（3）.
【解析】（1），則，
當(dāng)時(shí)，令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
（2）令，則，
設(shè)，則，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，
所以當(dāng)時(shí)，，即證；
（3），即，
即，令，
則，
若，當(dāng)時(shí)，，，
令，則，
則函數(shù)單調(diào)遞增，且，即；
令，則，
令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
則，即，
所以，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
即恒成立.
當(dāng)時(shí)，，
存在實(shí)數(shù)，使得均有，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，不符合題意，
所以當(dāng)時(shí)，不符合題意.
綜上，a的取值范圍為.
【變式1-4】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，，
所以所求切線方程為，即.
（2）對(duì)任意的，恒成立，
等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立.
①當(dāng)時(shí)，顯然成立.
②當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.
設(shè)，所以.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)樵谥?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即的取值范圍為.
【變式1-5】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a，.
（1）當(dāng)時(shí)，討論在上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使，求a的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)，即時(shí)，且不恒為0，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，方程有兩不等正根，
結(jié)合定義域由可得，
由可得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，方程有一負(fù)根和一正根，
結(jié)合定義域由可得，
由可得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增.
綜上可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）法一：分離變量可得：，令，，
則，
易得當(dāng)時(shí)，，且，從而，
所以在單調(diào)遞減，于是.
即a的取值范圍為.
法二：當(dāng)時(shí)，，令，，
則，即為，
而在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
又，
i. 當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；
ii. 當(dāng)時(shí)，由（1）知在上是增函數(shù)，
恒有，故不存在，使；
iii. 當(dāng)時(shí)，由于時(shí)，，
所以，
令，則，
所以在上是增函數(shù)，最大值為，
又，
所以，此時(shí)恒有，
因此不存在，使.
綜上可知，，即a的取值范圍為.
【題型2 雙變量不等式求參問(wèn)題】
【例2】（2022秋·河北·高三南宮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)性見解析；（2）
【解析】（1）由題意知：的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令有，故當(dāng)，則；
若，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，；，；
恒成立，不合題意；
當(dāng)時(shí)，取，，
則，符合題意；
當(dāng)時(shí)，若，，使得，則；
由（1）知：；
，，在上單調(diào)遞增，
，
，即，，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【變式2-1】（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
（1）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，若，總有成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
由得，
由題意，曲線與直線在區(qū)間上恰有2個(gè)交點(diǎn)．
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)值，取最小值，最小值為．
，
又，∴．
（2）由總有成立可知，
所以在給定區(qū)間上，．
由（2）知在區(qū)間上，，
∵，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，所以，∴．
【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析；（2）
【解析】（1）由題意知：的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，；，；
恒成立，不合題意；
當(dāng)時(shí)，取，，
則，符合題意；
當(dāng)時(shí)，若，，使得，則；
由（1）知：；
，，在上單調(diào)遞增，
，
，即，，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【變式2-3】（2022·湖南·安仁縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知且在上單調(diào)遞增，.
（1）當(dāng)取最小值時(shí)，證明恒成立.
（2）對(duì)，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）由題意可知在上恒成立，
參變分離得，，此時(shí).
設(shè)，，
令，令，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
，恒成立，
（2），
當(dāng)時(shí)，，，
在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，
在單調(diào)遞減；
，，，
在上的最小值為.
易知為偶函數(shù)，由偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知在上的最小值為
由題意可得，使得成立，即成立.
由（1）可知，
參變分離得，設(shè)，，即只需即可.
由（1）知得，
令，令，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
，，
又已知.故的取值范圍為.
【題型3 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立】
【例3】（2023·福建·漳州統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)，恒有．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）見解析
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增；
令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，
令函數(shù)，，
所以在上單調(diào)遞減，且，所以，即，
所以當(dāng)，，則，所以，
所以當(dāng)，，則，所以，
令函數(shù)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以對(duì)，恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，對(duì)，恒有.
【變式3-1】（2023·山東·濰坊統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)吋，.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
記，則，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）原不等式為，即，
即證在上恒成立，
設(shè)，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
令，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在時(shí)，有成立.
【變式3-2】（2023·陜西·銅川?？家荒＃┮阎瘮?shù)．
（1）若存在零點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）若，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）由可得，令，其中，
則，由可得，由可得，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，，
且當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則，
作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如右圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，
即函數(shù)有零點(diǎn)，故.
（2）證明：因?yàn)?，所以，函?shù)、的單調(diào)性相同，
則函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，，又由于，所以①，
設(shè)，其中，則，令，可得.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，②，
由于①②兩式中等號(hào)不能同時(shí)成立，故有．
所以，即．
【變式3-3】（2022秋·湖北·襄陽(yáng)高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）證明見解析
【解析】（1）因?yàn)?，?br>所以
令函數(shù)，則，
所以即在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）證明：要證，即證
令函數(shù)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
故
令函數(shù)，，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
故
故，則，
即
【題型4 利用導(dǎo)數(shù)解決極值點(diǎn)偏移】
【例4】（2022秋·廣東·清遠(yuǎn)高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
（1）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）因?yàn)?，所?不是的零點(diǎn)．
當(dāng)，可變形為，
令，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
因?yàn)椋?，得，又?br>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
設(shè)，則，
由得，
所以，即．
令，則，
易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
要證，即證．
因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以只需證．
因?yàn)?，所以即證．
令，
則，所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，故?br>【變式4-1】（2022秋·湖北·高三恩施土家族苗族高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求證：.
【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析.
【解析】（1）由題可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
所以當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)，，則，，
因此，即，
要證，只要證明，即證，
不妨設(shè)，記，則，，
因此只要證明，即，
記，則，
令，則，
所以函數(shù)在上遞增，
則，即，
∴在上單調(diào)遞增，∴，即成立，
∴.
【變式4-2】（2023春·四川·成都高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；
（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．
【答案】（1）最大值與最小值分別為：，；（2）證明見解析
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得：.
求導(dǎo)，可得：，.
設(shè)，求導(dǎo)可得：.
故當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.
又，可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
可得：，.
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為：，.
（2）對(duì)求導(dǎo)，可得：.
由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則必有關(guān)于方程有兩個(gè)零點(diǎn)，.
令，，可得：.
故，當(dāng)無(wú)限趨近時(shí)，無(wú)限趨近.
可得：，且.
由方程，可得：.
即關(guān)于的方程由兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，.
令，可得：.
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
可得：，.
令（），.
可得：，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.
故當(dāng)時(shí)，.可得：.
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得：，即，故.
【變式4-3】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知函數(shù)設(shè)函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>則，
令，解得或，
若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.
（2）證明：因?yàn)?，?br>所以，，
則，
又存在，為的極值點(diǎn)，則，
所以的兩個(gè)根為，，且，，
即的存在兩個(gè)根為，，且，，
所以，，
因?yàn)?，，所以，即?br>要證明存在，，使得，
即證，即證明存在，，使得，
又，
即證明存在，，，
即證明存在，，，
即證明存在，，，
即證明存在，，，
令，則當(dāng)時(shí)，，
所以需要證明在上存在區(qū)間單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，得證．
【變式4-4】（2023·陜西·銅川?？家荒＃┮阎瘮?shù)．
（1）若存在使得成立，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）由于，故轉(zhuǎn)化為．
設(shè)，則.
設(shè)，則.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上單調(diào)遞增；
解可得，，所以在上單調(diào)遞減.
故在處有極小值，也是最小值.
所以故在上總成立，所以為單調(diào)增函數(shù).
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范圍是．
（2）由已知可得，定義域?yàn)?，?
由已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以方程有兩個(gè)相異根，
則，且，，，
所以，.
所以，，
所以.
令，則，設(shè).
則，
所以在為減函數(shù)，
所以.
即．
【變式4-5】（2023·山東·威海統(tǒng)考一模）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1），
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有，，
又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，即，所以，可得，所以，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
（2）要證，即證，
方法一：下證，即證，
不妨設(shè)，由（1）可知，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，即證，
因?yàn)?，所以，即證，
令，
，
所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br>所以，即，
可得，所以，
所以，即，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.
方法二：下證，即證，
不妨設(shè)，由（1）可知，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，即證，
因?yàn)?，即證，
，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)榍?，所以，令?br>，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以，可得，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.
【題型5 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式證明】
【例5】（2023秋·遼寧·營(yíng)口高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明：（）．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，
所以，符合題意，
當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，與矛盾，不符合題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，若，有，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，
令，有，即
因?yàn)椋?，所以，即，?br>所以，
即.
【變式5-1】（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：，恒成立．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1），由題意，在上恒成立，
∴在上恒成立，
令，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴在上單調(diào)遞減，．
∴，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，．
∴當(dāng)時(shí)，，
令，則，∴．
∴，可得．
累加得，
∴，
∴得證．
【變式5-2】（2022秋·山東·濟(jì)南高三山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)的最小值為為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：；
（3）證明：對(duì)于任意.
【答案】（1）有極小值為，無(wú)極大值；（2）證明見解析；（3）證明見解析
【解析】（1）（），，
若時(shí)，則恒成立，
在上單調(diào)遞增，故沒(méi)有極值；
若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
有極小值，極小值為，無(wú)極大值.
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，，
由函數(shù)的最小值為0，得，
由題知，
，，，
，，
，（），
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增，
又，在上，，，單調(diào)遞減，
在上，，，單調(diào)遞增，
，
得證.
（3）由（1），最小值為，
所以，
令，，可得，又在時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，
對(duì)于任意，可得，，，，，
以上各式相加可得，
可得成立.
【變式5-3】（2022秋·廣東·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：，.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）的定義域?yàn)?，?
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，.
①當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)在單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，，令，得，.
當(dāng)變化時(shí)，，變化情況列表如下：
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)，
即，，故，.
下證，.
因?yàn)椋?br>用替換得，.
故，
整理得，.
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：．
【答案】（1）答案詳見解析；（2）證明詳見解析
【解析】（1）的定義域是，
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，也即在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減；
在區(qū)間遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，
要證明，即證明，
即證明，即證明，
構(gòu)造函數(shù)恒成立，
所以在區(qū)間上遞增，，所以.
構(gòu)造函數(shù)，，，
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.
所以，即.
所以，則，
結(jié)合可得，
從而成立.
2．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證：
【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）證明見解析
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
則，
令解得，令解得，
所以在單調(diào)遞減，在在單調(diào)遞增，
所以在上的最大值為，最小值為.
（2）由題意可得，即的兩實(shí)數(shù)根為，
所以是方程的兩實(shí)根，
所以，即．
由得，
令，由得，
設(shè)．
所以函數(shù)在上遞增，從而．
令，則，
所以函數(shù)在上遞增，得，
所以函數(shù)，
因此，即得證．
3．（2020秋·山東淄博·高三?？计谥校┮阎瘮?shù).
（1）若，求證：.
（2）討論函數(shù)的極值；
（3）已知，證明
【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值；當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，無(wú)極大值；（3）證明見解析；
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則；
（2）根據(jù)題意得：，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在處取得極小值，無(wú)極大值，
（3）令，
則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，，則，則，
則根據(jù)對(duì)數(shù)單調(diào)性可得：，
4．（2023秋·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知，，，為的導(dǎo)函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若存在使得對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）
【解析】（1），則，
當(dāng)時(shí)，方程的根為，
當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，
單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，即，當(dāng)和時(shí)，，
單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，即恒成立，
令，則，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，
所以，存在，使得，且在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，所以，
于是，原命題可轉(zhuǎn)化為存在使得在上成立，
又因?yàn)?，所以?br>所以存在，使得成立，
令，，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，所以.
5．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若恒成立，
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）由題設(shè)在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，則，
令，則在上恒成立，
所以在上遞增，顯然，，
故使，則上，上，
所以上，遞增；上，遞減；
又，即，則，
綜上，.
（2）由（1）知：，
所以且，要使恒成立，
只需證恒成立，只需證恒成立，
當(dāng)時(shí)，若，則，即遞增，又也遞增，
所以在上遞增，故恒成立，
當(dāng)時(shí)，令且，則，即遞增，故，
所以在上恒成立，故，
令，則，
所以在上遞減，故，即，
綜上，在上恒成立，
所以，時(shí)得證.
6．（2022秋·福建寧德·高三?？计谀┮阎瘮?shù)，若在上，單調(diào)且恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，不合乎題意；
若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
且有對(duì)任意的恒成立，可得，
令，可得，則，
令，其中，則，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）可知，
函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以，，所以，，
所以，，，，，
上述不等式全加可得，
令，則，
所以，，故，
即數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故，故，
所以，，
故對(duì)任意的，.-
0
+
0
-
極大值
極小值

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