1.多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫多面體. 圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).
2.棱柱
(1)概念：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.
(2)性質(zhì)
側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形.
(3)分類
① 按底面多邊形的邊數(shù)分為：三棱柱，四棱柱等.
② 按側(cè)棱是否垂直低面分為斜棱柱，直棱柱(底面是正多邊形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體)
(4)正棱柱性質(zhì)
兩個(gè)底面是平行且全等的正多邊形:側(cè)面都是全等的矩形；側(cè)棱互相平行并垂直于底面，各側(cè)棱長(zhǎng)都相等，并且等于正棱柱的高.
(5)直棱柱的表面積和體積
直棱柱側(cè)面積為S直棱柱側(cè)=ch
直棱柱的表面積為S直棱柱表= ch +2S底
直棱柱的體積公式V直棱柱= S底h
其中，c為底面周長(zhǎng)，h為高，S底表示底面的面積.
3.棱錐
(1)概念：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐. 如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.
(2)性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形.
(3)常見棱錐:
正三棱錐是底面是等邊三角形，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐.
正四面體是每個(gè)面都是全等的等邊三角形的三棱錐，正四面體是特殊的正三棱錐.
(4)側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是有n個(gè)全等的等腰三角形組成的.
(5)正棱錐的表面積和體積
正棱錐側(cè)面積為S正棱錐側(cè)=c
正棱錐的表面積為S正棱錐表= c+S底
正棱錐的體積公式V正棱錐= S底h
其中，c為底面周長(zhǎng)，為斜高，h為高，S底表示底面的面積.
4.直觀圖
(1)畫法:常用斜二測(cè)畫法.
(2)規(guī)則:
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為45°(或135°),z'軸與x'軸、y'軸所在平面垂直.
②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?
【題型1 多面體的結(jié)構(gòu)特征】
【題型2 直棱柱的表面積與體積】
【題型3 棱錐的表面積與體積】
【題型4 畫直觀圖】
【題型1多面體的結(jié)構(gòu)特征】
知識(shí)點(diǎn)：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形. 正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形.
例1. 觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
【答案】A
【分析】根據(jù)棱柱的定義分析判斷即可.
【詳解】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征：一對(duì)平行的平面且側(cè)棱相互平行的幾何體，
所以棱柱有（1）（3）（5）.
故選：A.
例2. 下列命題中為真命題的是（ ）
A．長(zhǎng)方體是四棱柱，直四棱柱是長(zhǎng)方體
B．棱柱的每個(gè)面都是平行四邊形
C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面體
【答案】D
【分析】
根據(jù)空間幾何體的幾何特征和性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)?shù)酌娌皇蔷匦螘r(shí)，直四棱柱不是長(zhǎng)方體，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四邊形，比如三棱柱，五棱柱等，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，可以是兩對(duì)稱面為矩形的平行六面體，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，正四棱柱是平行六面體，故D正確.
故選：D.
例3. 滿足下列條件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形B．有一個(gè)側(cè)面與底面垂直
C．有一個(gè)側(cè)面是矩形D．相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形
【答案】D
【分析】側(cè)棱與底面垂直棱柱才是直棱柱，A、B、C都不能確定是直棱柱.
【詳解】如圖所示是一個(gè)斜四棱柱：
因?yàn)榈酌媸蔷匦危蔄錯(cuò)誤；
因?yàn)閭?cè)面與底面垂直，故B錯(cuò)誤；
側(cè)面是矩形，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形時(shí)，則這兩個(gè)側(cè)面的交線與底面垂直，即得到側(cè)棱與底面垂直，則該棱柱一定是直棱柱，故D正確.
故選：D.
例4.下列幾何體中不是棱錐的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由棱錐的定義判斷即可.
【詳解】根據(jù)棱錐的定義，B、C、D中的幾何體是棱錐，A中的幾何體不是棱錐.
故選：A.
例5. 下面關(guān)于棱錐的結(jié)構(gòu)特征的描述中，不正確的為（ ）
A．三棱錐有四個(gè)面是三角形B．有的棱錐有兩個(gè)面互相平行
C．棱錐的側(cè)面都是三角形D．棱錐的側(cè)棱交于一點(diǎn)
【答案】B
【分析】由棱錐的定義即可作出判斷.
【詳解】棱錐的定義是“有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.”故選項(xiàng)C、D正確，選項(xiàng)B不正確；三棱錐有四個(gè)面，每個(gè)面都是三角形，故選項(xiàng)A正確.
故選：B
例6. 下列棱錐有6個(gè)面的是（ ）
A．三棱錐B．四棱錐C．五棱錐D．六棱錐
【答案】C
【分析】根據(jù)棱錐的定義，即可得出選項(xiàng).
【詳解】由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，三棱錐有4個(gè)面，四棱錐有5個(gè)面，五棱錐有6個(gè)面，六棱錐有7個(gè)面；
故選：C
【題型訓(xùn)練1】
1．下列幾何體不屬于棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)棱柱的定義即可求解.
【詳解】根據(jù)棱柱的定義可知A為三棱柱，B為四棱柱，C為五棱柱，
不屬于棱柱的圖形只有D選項(xiàng).
故選：D.
2.下列說法正確的是（ ）
A．側(cè)棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱
D．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形
【答案】A
【分析】根據(jù)棱柱的概念及其性質(zhì)可知，側(cè)棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正六棱柱的兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面都互相平行，但不是底面，底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，可能是平行六面體，棱柱的底面可以是任意多邊形，包括平行四邊形.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)直棱柱定義可知，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，棱柱中兩個(gè)互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面都互相平行，但不是底面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，底面是正方形，且側(cè)棱與底面垂直的棱柱是正四棱柱，因此底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，棱柱的側(cè)面是平行四邊形，它的底面可以是任意多邊形，可以是三角形，也可以是平行四邊形，即D錯(cuò)誤.
故選：A
3.關(guān)于平行六面體，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平行六面體有12個(gè)頂點(diǎn)B．正方體不是平行六面體
C．平行六面體有12條棱D．平行六面體的每個(gè)面都是矩形
【答案】C
【分析】
根據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征即可求解.
【詳解】
平行六面體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，正方體是平行六面體．故C正確，ABD錯(cuò)誤

故選：C
4.下列命題不正確的是（ ）
A．正方體一定是正四棱柱B．平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形
C．有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱
【答案】D
【分析】根據(jù)正四棱柱、正棱柱、直棱柱、平行六面體的概念和結(jié)構(gòu)特征對(duì)選項(xiàng)逐一判斷， 即可得答案.
【詳解】對(duì)于A，上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，故A正確；
對(duì)于B，底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，故B正確．
對(duì)于C，有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形，說明公共側(cè)棱與底面兩條相交直線垂直，則側(cè)棱與底面垂直，而側(cè)棱與底面垂直的棱柱為直棱柱，所以有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正確；
對(duì)于D，底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形但側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故D錯(cuò)誤；
故選：D.
5.下面圖形中，為棱錐的是（ ）
A．①③B．③④C．①②④D．①②
【答案】C
【分析】根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷可得答案.
【詳解】根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐.
故選：C
6.已知正三棱錐P﹣ABC，底面ABC的中心為點(diǎn)O，給出下列結(jié)論：
①PO⊥底面ABC；
②棱長(zhǎng)都相等；
③側(cè)面是全等的等腰三角形．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】①③
【分析】由正三棱錐性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】解：由正三棱錐性質(zhì)可得：PO⊥底面ABC，①對(duì)；
側(cè)棱棱長(zhǎng)都相等，底面邊長(zhǎng)與棱棱長(zhǎng)不一定相等，②錯(cuò)；
側(cè)面是全等的等腰三角形，③對(duì)，
故答案為：①③．
【題型2直棱柱的表面積與體積】
知識(shí)點(diǎn)：直棱柱側(cè)面積為S直棱柱側(cè)=ch
直棱柱的表面積為S直棱柱表= ch +2S底
直棱柱的體積公式V直棱柱= S底h
其中，c為底面周長(zhǎng)，h為高，S底表示底面的面積.
例7. 在長(zhǎng)方體中，.該長(zhǎng)方體的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】畫出幾何體，分別計(jì)算的長(zhǎng)，從而可計(jì)算即可得出結(jié)論.
【詳解】如圖，在長(zhǎng)方體中，連接,

，
，
該長(zhǎng)方體的表面積為.
故選：D.
例8. 如圖，在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)頂點(diǎn)A，，C，恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，求出正方體的表面積，再求正四面體的表面積，求比值即可．
【詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的表面積是，
正四面體，則棱長(zhǎng)為，
它的表面積是，
正四面體的表面積與正方體的表面積之比為．
故選：D
例9. 若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且其側(cè)面積為12，則 .
【答案】2
【分析】根據(jù)三棱柱側(cè)面積公式即可求解.
【詳解】因?yàn)檎庵乃欣忾L(zhǎng)均為，所以三棱柱的側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形，
所以側(cè)面積，所以.
故答案為：2
例10. 有一個(gè)正六棱柱的機(jī)械零件，底面邊長(zhǎng)為，高為，則這個(gè)正六棱柱的機(jī)械零件的表面積為 .
【答案】/
【分析】正六棱柱，分別計(jì)算即可；
【詳解】
故答案為：
例11. 若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，高為4，則該棱柱的體積為
【答案】36
【分析】根據(jù)給定條件，利用棱柱的體積公式計(jì)算即得.
【詳解】由正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，高為4，得該棱柱的體積.
故答案為：36
例12. 如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過，，，的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用水的體積不變，轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】如圖，

設(shè)，，的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，
則，，
所以水部分四棱柱與原三棱柱的底面面積之比為，
由于兩種狀態(tài)下水的體積相等，
所以當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為側(cè)棱長(zhǎng)的，即.
故選：C
例13. 已知直四棱柱的底面為菱形，底面菱形的兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為，，側(cè)棱長(zhǎng)為， 求：該直四棱柱的體積；

【答案】；
【分析】根據(jù)棱柱的體積公式可求得.
【詳解】由底面菱形的兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為，，
不妨設(shè)，，
則底面菱形的面積（）
所以該棱柱的體積為（）
【題型訓(xùn)練2】
1．已知正方體中，，則該正方體的表面積為 .
【答案】
【分析】由正方體的體對(duì)角線公式可表示正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求得正方體的表面積.
【詳解】如圖所示，
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為m（），則，解得，
所以正方形的表面積為.
故答案為：.
2．如圖，已知一個(gè)直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為6，底面是對(duì)角線長(zhǎng)分別是9和13的菱形，則這個(gè)四棱柱的側(cè)面積是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及已知條件求相關(guān)棱長(zhǎng)，進(jìn)而求棱柱的側(cè)面積.
【詳解】如圖，連接交點(diǎn)為O，

則對(duì)角線，，所以，
因?yàn)橹彼睦庵牡酌媸橇庑?，所以?br>所以，
∴直四棱柱的側(cè)面積.
故選：D.
3.一個(gè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，高為4，則它的側(cè)面積為 .
【答案】72
【分析】根據(jù)題意結(jié)合正棱柱的側(cè)面積公式直接求解
【詳解】因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)為3，高為4，
所以此棱柱的側(cè)面積為，
故答案為：72
4.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)；
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由正三棱柱、線面垂直性質(zhì)可得CC1⊥BC，求出CD，即可得側(cè)棱長(zhǎng)；
（2）利用棱柱表面積的求法求正三棱柱的表面積.
【詳解】（1）由題意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，
根據(jù)正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC?面ABC，所以CC1⊥BC，
在Rt△ECD中，CD=，
又D是CC1的中點(diǎn)，故側(cè)棱長(zhǎng)為2.
（2）底面積為S1=2S△ABC=2×2×=2，側(cè)面積為S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱表面積為S=S1 +S2=12+2.
5.已知一個(gè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)是，高為4，則這個(gè)正六棱柱的體積是 ．
【答案】
【分析】應(yīng)用棱柱的體積公式求正六棱柱的體積即可.
【詳解】正六棱柱底面為正六邊形，且底面邊長(zhǎng)是，高為4，
所以底面面積為，則這個(gè)正六棱柱的體積是.
故答案為：
6.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為和的矩形，則它的體積為（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】分類討論側(cè)面展開圖矩形的長(zhǎng)、寬為和、4和6兩種情況，結(jié)合柱體的體積公式計(jì)算即可求解.
【詳解】如圖，正三棱柱，其側(cè)面展開圖為一個(gè)矩形，
當(dāng)矩形長(zhǎng)、寬分別為和時(shí)，正三棱柱的高為4，底面的邊長(zhǎng)為2，
此時(shí)；
當(dāng)矩形長(zhǎng)、寬分別為4和6時(shí)，正三棱柱的高為6，底面的邊長(zhǎng)為，
此時(shí)
7.如圖，已知正六棱柱的最大對(duì)角面的面積為，互相平行的兩個(gè)側(cè)面的距離為2m，則這個(gè)六棱柱的體積為（ ）

A．B．C．D．以上都不對(duì)
【答案】B
【分析】設(shè)六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，根據(jù)面積公式得到，，計(jì)算體積即可.
【詳解】設(shè)六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為.
則，，，故，
.
故選：B.
8.已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為2．求
（1）此三棱柱的體積；
（2）此三棱柱的表面積．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求底面面積，再利用體積公式即可求得結(jié)果；
（2）先求得所有側(cè)面的面積，再求得上下底面的面積，相加即可求得表面積.
【詳解】（1）正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2
正三棱柱高為
（2）正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為2.
故每個(gè)側(cè)面都是邊長(zhǎng)為2的正方形，即所有側(cè)面的面積和為
因?yàn)檎庵酌孢呴L(zhǎng)為2.
故一個(gè)底面面積.
故正三棱柱的表面積為.
【題型3棱錐的表面積與體積】
知識(shí)點(diǎn)：正棱錐側(cè)面積為S正棱錐側(cè)=c
正棱錐的表面積為S正棱錐表= c+S底
正棱錐的體積公式V正棱錐= S底h
其中，c為底面周長(zhǎng)，為斜高，h為高，S底表示底面的面積.
例14. 已知棱長(zhǎng)為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（ ）
A．12B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形面積公式及四面體表面積的意義計(jì)算即得.
【詳解】棱長(zhǎng)為2，各面均為等邊三角形的四面體，
其表面積為：.
故選：C
例15. 已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為3，則該三棱錐的表面積是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】畫出圖形，求出底面積和側(cè)面積，即可求出三棱錐的表面積.
【詳解】如圖，正三棱錐中，為正三棱錐的高，
則，取的中點(diǎn)，連接，，
則在上，且，
又，，所以，
所以，則，
所以，
故三棱錐的表面積為.
故選：B
例16. 正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為4，高為1，求：
(1)求棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高；
(2)求棱錐的表面積.
【答案】(1)側(cè)棱長(zhǎng)為3，斜高為
(2)
【分析】（1）設(shè)SO為正四棱錐S﹣ABCD的高，則SO＝1，作OM⊥BC，則M為BC 中點(diǎn)，連接OM，OB，則SO⊥OB，SO⊥OM，由此能求出棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.
（2）棱錐的表面積，由此能求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)SO為正四棱錐S﹣ABCD的高，則SO＝1，
作OM⊥BC于M，則M為BC 中點(diǎn)，
連接OM，OB，則SO⊥OB，SO⊥OM，
BC＝4，BM＝2，則OM＝2，OB＝，
在Rt△SOB中，，
在Rt△SOM中，，
∴棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，斜高為.
（2）棱錐的表面積：
.
例17.一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，則這個(gè)三棱錐的體積為 .
【答案】9
【分析】根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合體積公式運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：三棱錐的高為，
所以三棱錐的體積為.
故答案為：9.
例18. 已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是，體積是，那么這個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由題意首先求出正四棱錐的高，再求出底面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，最后由勾股定理即可得解.
【詳解】設(shè)四棱錐的高為，根據(jù)已知條件可得，所以，
而，所以這個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為．
故選：C．
例19. 如圖，已知在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．
【答案】8
【分析】利用割補(bǔ)法或直接法求棱錐體積.
【詳解】因?yàn)?，，，所以?br>方法1、由題意可知.
又.
.
，
所以，.
方法2、在中，過C作，垂足為F，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又.
在中，.
∴.
【題型訓(xùn)練3】
1．棱長(zhǎng)為的正四面體的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形的面積公式可得出正四面體的表面積.
【詳解】棱長(zhǎng)為的正四面體的表面積為.
故選：A.
2．正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則此正三棱錐的側(cè)面積為 ．
【答案】
【分析】平面于，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，計(jì)算，，計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示：平面于，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，

則是中點(diǎn)，是中心，，
，側(cè)面積為.
故答案為：.
3．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則表面積為 .
【答案】144
【分析】利用正四棱錐的性質(zhì)，再根據(jù)條件，求出斜高，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖所示，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，高，
過作交于，連接，
因?yàn)槭钦睦忮F，易知，且，
所以正四棱錐的側(cè)面積為，又底面積為，
故正四棱錐的表面積為144.

故答案為：144.
4．圖，在正方體中，為的中點(diǎn).若，則三棱錐的體積為（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】直接利用棱錐的體積公式計(jì)算.
【詳解】因?yàn)槊?br>所以.
故選：D.
5．底面邊長(zhǎng)為，且側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積和側(cè)面積分別為（ ）
A．B．C．32，24D．32，6
【答案】A
【分析】由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征求高、斜高，根據(jù)體積、側(cè)面積公式求結(jié)果.
【詳解】由正四棱錐底面為正方形，且底面中心為頂點(diǎn)在底面上射影，
結(jié)合題設(shè)，底面對(duì)角線長(zhǎng)為，則棱錐的高，斜高為，
所以正四棱錐的體積為，
側(cè)面積為.
故選：A.
6.已知一個(gè)三棱柱與一個(gè)四棱錐的底面面積和體積均相等，若三棱柱的高為1，則四棱錐的高為 ．
【答案】3
【分析】記四棱錐的底面積和高分別為S，h，然后根據(jù)棱錐、棱柱體積公式可得.
【詳解】記四棱錐的底面積和高分別為S，h，
由題意知，，得，
即四棱錐的高為3.
故答案為：3
7.如圖，已知四棱錐的底面為矩形，為的中點(diǎn)，平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為 .
【答案】
【分析】設(shè)四棱錐的體積為，取的中點(diǎn)，連接、、、，即可得到為截面，再根據(jù)錐體的體積公式得到，從而得解.
【詳解】設(shè)四棱錐的體積為，取的中點(diǎn)，連接、、、，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又，
所以，，所以、、、四點(diǎn)共面，即為截面，
又，其中，
，
所以，
即截面截得四棱錐上部分的體積為，則下部分的體積為，
所以平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.
故答案為：
【題型4 畫直觀圖】
知識(shí)點(diǎn)：用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，一般步驟如下：
（1）建立平面直角坐標(biāo)系: 在已知平面圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.
（2）畫出斜坐標(biāo)系: 在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對(duì)應(yīng)的x'軸和y'軸, 兩軸相交于點(diǎn)O',且使度(或135度), 它們確定的平面表示水平平面.
（3）畫對(duì)應(yīng)圖形: 在已知圖形平行于x軸的線段, 在直觀圖中畫成平行于軸, 長(zhǎng)度保持不變.在已知圖形平行于y軸的線段, 在直觀圖中畫成平行于軸, 且長(zhǎng)度為原來一半.
（4）對(duì)于一般線段，要在原來的圖形中從線段的各個(gè)端點(diǎn)引垂線，再按上述要求畫出這些線段，確定端點(diǎn)，從而畫出線段.
（5）擦去輔助線: 圖畫好后,要擦去軸,軸及為畫圖添加的輔助線.
例20. （多選）關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖的說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B．梯形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形
【答案】ABC
【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，直角坐標(biāo)系變成斜坐系，而平行性沒有改變，A，B，C都不正確，D正確，
故選：ABC
例21. 如圖是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為 ．
【答案】
【分析】將直觀圖還原成正三角形，從而求得所需線段長(zhǎng)，再利用面積公式即可得解.
【詳解】如圖，所以，
又為正三角形，則，故，
所以.
故答案為：.
例22. 已知水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的公式，畫出復(fù)原圖即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為建立坐標(biāo)系如左圖，
因?yàn)樾倍y(cè)直觀圖為矩形，，,
則，
可得原圖中（右圖），,
,
四邊形的面積為.
故選：D.
【題型訓(xùn)練4】
1.（多選）下列說法正確的是（ ）
A．平行線段在直觀圖中仍然平行B．長(zhǎng)方體是四棱柱，直四棱柱是長(zhǎng)方體
C．相等的線段在直觀圖中仍然相等D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形
【答案】AD
【分析】利用平面圖形和直觀圖的定義的應(yīng)用判斷AC；利用棱柱的定義判斷B；利用棱錐的定義判斷D.
【詳解】對(duì)于A，在斜二測(cè)畫法中，平行的線段在直觀圖中仍然平行，故A正確；
對(duì)于B，長(zhǎng)方體是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是長(zhǎng)方形，故不一定是長(zhǎng)方體，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，水平擺放正方形的鄰邊相等，但在用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖中鄰邊變成了原來的2倍關(guān)系，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，正棱錐底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰三角形，故D正確；
故選：AD
2.如圖，平行四邊形是四邊形OABC的直觀圖.若，，則原四邊形OABC的周長(zhǎng)為 .
【答案】14
【分析】根據(jù)題意，將直觀圖還原，分析原圖的形狀以及邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，平行四邊形是四邊形OABC的直觀圖.
若，，則原四邊形OABC為矩形，
如圖：其中OA＝3，OC＝4，
故原四邊形OABC的周長(zhǎng).
故答案為：14.
3.下圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形為某圖形的直觀圖，則該圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用分割法求出直觀圖的面積，然后利用直觀圖和原圖面積關(guān)系求解.
【詳解】如圖，把四邊形分割成兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形來求面積
其面積
設(shè)原圖形面積為，則，
所以.
故選：D.
4.如圖，是的斜二測(cè)直觀圖，其中為正三角形，，則的面積是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】在直觀圖中求出，畫出原圖形，求出邊長(zhǎng)和面積.
【詳解】在直觀圖中，，
在三角形中，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，
故，
還原直觀圖得原圖如下，
，
由得，
所以的面積為.
故選：D

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