要點(diǎn)梳理
知識(shí)點(diǎn)一 多面體
(1)多面體：由若干個(gè)_平面多邊形__圍成的幾何體叫做多面體(如圖)，圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的_面__；相鄰兩個(gè)面的_公共邊__叫做多面體的棱；棱與棱的_公共點(diǎn)__叫做多面體的頂點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)二 棱柱
知識(shí)點(diǎn)三 正棱柱的性質(zhì)：
（１）兩個(gè)底面是平行且全等的正多邊形；
（2）側(cè)面都是全等的矩形；
（3）側(cè)棱互相平行并垂直于底面，各側(cè)棱長(zhǎng)都相等，并且等于正棱柱的高．
知識(shí)點(diǎn)四 直棱柱的表面積和體積
直棱柱側(cè)面積為
直棱柱的表面積為
直棱柱的體積公式
其中, 表示直棱柱的底面的面積，c是表示直棱柱的底面周長(zhǎng)，是直棱柱的高.
知識(shí)點(diǎn)五 棱錐
知識(shí)點(diǎn)六 正棱錐
底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影是底面中心的棱錐稱(chēng)為其叫做正棱錐．正棱錐側(cè)面三角形的高稱(chēng)為棱錐的斜高，如圖7?14中的．
正棱錐有下列性質(zhì)：
（1）各側(cè)棱的長(zhǎng)相等，斜高相等，側(cè)面都是全等的等腰三角形；
（2）頂點(diǎn)到底面中心的連線(xiàn)垂直與底面，是正棱錐的高；
（3）正棱錐的高、斜高與斜高在底面的投影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱與側(cè)棱在底面的投影也組成一個(gè)直角三角形．
知識(shí)點(diǎn)七 正棱錐的表面積和體積

.
其中,表示正棱錐底面的周長(zhǎng),是正棱錐的斜高,表示正棱錐的底面的面積.
.
其中, 表示正棱錐的底面的面積，是正棱錐的高.
知識(shí)點(diǎn)八 畫(huà)空間幾何體的直觀圖的步驟
(1)在幾何體中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使∠x(chóng)Oy＝90°，∠x(chóng)Oz＝90°.
(2)畫(huà)出與Ox、Oy、Oz對(duì)應(yīng)的軸O′x′、O′y′、O′z′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°(或135°)，∠x(chóng)′O′z′＝90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面．
(3)在幾何體中，平行于x軸、y軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成__平行__于x′軸、y′軸或z′軸的線(xiàn)段，并使它們和所畫(huà)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線(xiàn)段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同．
(4)在幾何體中平行于x軸和z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度__不變__，平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度為原來(lái)的__一半__.
(5)擦除作為輔助線(xiàn)的坐標(biāo)軸，就得到了空間幾何體的直觀圖．
題型探究：
考點(diǎn)一 棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征
例1．下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：
（1）若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
（2）若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
（3）若四個(gè)側(cè)面中的任何兩個(gè)都全等，則該四棱柱為直四棱柱
（4）若四棱柱的四條體對(duì)角線(xiàn)兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱
其中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)直四棱柱的定義，分別判斷各個(gè)命題即可得出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于命題（1），斜四棱柱的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面可能平行且垂直于底面，故命題（1）為假命題；
對(duì)于命題（2），兩截面的交線(xiàn)平行于側(cè)棱且垂直于底面，故命題（2）為真命題；
對(duì)于命題（3），如圖③：作正四棱柱的兩個(gè)平行的菱形截面，可得滿(mǎn)足條件的斜四棱柱，故命題（3）為假命題；

對(duì)于命題（4），如圖④：四棱柱的一個(gè)對(duì)角面的兩條對(duì)角線(xiàn)恰為四棱柱的對(duì)角線(xiàn)，故對(duì)角面為矩形，
于是側(cè)棱垂直于底面的一對(duì)角線(xiàn)，同樣側(cè)棱也垂直于底面的另一對(duì)角線(xiàn)，故側(cè)棱垂直于底面，故命題（4）為真命題；
故選：B.
例2．以下各幾何體中， 是棱柱的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定的條件，利用棱柱的定義直接判斷作答.
【詳解】對(duì)于A，幾何體是三棱錐，不是棱柱，A不是；
對(duì)于B，幾何體有兩個(gè)平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；
對(duì)于C，幾何體有兩個(gè)平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；
對(duì)于D，幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，是棱柱，D是.
故選：D
【變式】1．下列命題中為真命題的是（ ）
A．長(zhǎng)方體是四棱柱，直四棱柱是長(zhǎng)方體
B．棱柱的每個(gè)面都是平行四邊形
C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面體
【答案】D
【分析】根據(jù)空間幾何體的幾何特征和性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)?shù)酌娌皇蔷匦螘r(shí)，直四棱柱不是長(zhǎng)方體，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四邊形，比如三棱柱，五棱柱等，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，可以是兩對(duì)稱(chēng)面為矩形的平行六面體，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，正四棱柱是平行六面體，故D正確.
故選：D.
2．下列幾何體中是棱錐的有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】C
【解析】由棱錐的定義逐個(gè)判斷即可得解.
【詳解】由棱錐的定義可得，只有幾何體⑤、⑥為棱錐.
故選：C.
考點(diǎn)二 直棱柱的表面積與體積
例4. 正四棱柱的高為3cm,體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為cm,則正四棱柱的側(cè)面積為
A．10B．24C．36D．40
【答案】B
【分析】設(shè)正四棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，由正四棱柱體對(duì)角線(xiàn)的平方等于從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和，可得關(guān)于的方程.
【詳解】如圖，正四棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，
則，解得：，
所以正四棱柱的側(cè)面積.
例5.設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為5，那么它的體積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正棱柱的定義，結(jié)合體積的計(jì)算公式，可得答案
【詳解】由正六棱柱可得底面為正六邊形，則底面積，
即正六棱柱的體積.
故答案為：.
【變式】1．正六棱柱的高為6，底面邊長(zhǎng)為4，則它的表面積為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正六棱柱的表面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：正六棱柱的高為6，底面邊長(zhǎng)為4，
兩個(gè)底面積為，
六棱柱的側(cè)面積為，
六棱柱的表面積為，
故選：．
2．已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，則該三棱柱的體積為 .
【答案】6
【分析】利用棱柱的體積公式求三棱柱的體積.
【詳解】由題設(shè)，所以該三棱柱的體積為.
故答案為：6
考點(diǎn)三 棱錐的表面積與體積
例6．若一個(gè)四棱錐的底面的面積為3，體積為9，則其高為（ ）
A．B．1C．3D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件利用錐體的體積公式計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)四棱錐的高為h，則由錐體的體積公式得：×3h=9，解得h=9，
所以所求高為9.
故選：D
例7. 棱長(zhǎng)為1的正四面體的表面積為 ．
【答案】
【分析】由題意可知4個(gè)面均為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，從而可求出其表面積.
【詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，
所以此正四面體的表面積為，
故答案為：.
【變式探究】1．底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱錐的全面積為 .
【答案】
【分析】利用底邊邊長(zhǎng)和高計(jì)算正三棱錐的斜高可得全面積.
【詳解】因?yàn)榈酌娴倪呴L(zhǎng)為2，故底面中心到底面邊的距離為，故斜高為，故全面積為，填.
2. 三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長(zhǎng)分別為a，b，c，則這個(gè)三棱錐的體積是 .
【答案】/
【分析】根據(jù)三條側(cè)棱兩兩垂直的關(guān)系,利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得一條側(cè)棱是相對(duì)應(yīng)側(cè)面上的高，進(jìn)而得到底面面積和三棱錐的高，由三棱錐體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】
不妨設(shè)，，，且兩兩互相垂直，
，
又，，平面，，
平面，.
故答案為：.
考點(diǎn)四 幾何體的直觀圖畫(huà)法
例6．畫(huà)底面邊長(zhǎng)為3cm、高為3cm的正四棱錐的直觀圖．
【答案】答案見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)直觀圖的作圖步驟即可.
【詳解】畫(huà)法：（1）畫(huà)軸，畫(huà)軸、軸、軸，它們交于點(diǎn)，
使.
（2）畫(huà)底面，按軸、軸畫(huà)正方形的直觀圖，取邊長(zhǎng)等于，
使正方形的中心對(duì)應(yīng)于點(diǎn)，在軸上分別取點(diǎn)、、、，且使，，分別過(guò)、、、作平行于軸的直線(xiàn)，分別交于、、、四點(diǎn).
（3）畫(huà)高（線(xiàn)），在軸上取
（4）成圖，連結(jié)、、、，并加以整理，就得到所要畫(huà)的正四棱雉的直觀圖.

【變式探究】用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出底面邊長(zhǎng)為2cm，側(cè)棱長(zhǎng)為3cm的正三棱柱的直觀圖.
【答案】見(jiàn)解析.
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，可以底面三角形一邊所在直線(xiàn)為軸，高所在直線(xiàn)為軸，過(guò)這邊中點(diǎn)，與底面垂直的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，斜二測(cè)畫(huà)法中，軸水平，軸與軸垂直，軸與夾角為45°，平行于軸、軸的線(xiàn)段仍平行于軸、軸，長(zhǎng)度不變，平行于軸的線(xiàn)段仍平行軸，但長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．畫(huà)出圖形后，擦去坐標(biāo)軸得直觀圖．
【詳解】正三棱柱直觀圖如圖：

素養(yǎng)作業(yè)
1. 一個(gè)棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，能保證它是直棱柱的是（ ）
A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱
【答案】A
【分析】根據(jù)直棱柱的定義結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理即得.
【詳解】對(duì)A，三棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交直線(xiàn)垂直，側(cè)棱與底面垂直，此時(shí)棱柱一定為直棱柱，故A正確；
對(duì)BCD，一個(gè)棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，若側(cè)棱與底面兩條平行的兩邊垂直，則側(cè)棱與底面不一定垂直，此時(shí)的棱柱不一定是直棱柱，而四棱柱，五棱柱，六棱柱的底面都可能有兩條平行的邊，故BCD錯(cuò)誤.
故選：A.
2. 下列圖形所表示的幾何體中，不是棱錐的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)棱錐的定義結(jié)合結(jié)合圖形分析可得答案.
【詳解】棱錐的定義為：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.
根據(jù)棱錐的定義，B 、C 、D選項(xiàng)中的幾何圖形是棱錐，A選項(xiàng)中的幾何圖形是由兩個(gè)棱錐組合而成的，所以不是棱錐;
故選：A
3. 下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；
②各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐；
③各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；
④底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正棱錐定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于①，各側(cè)棱都相等，但無(wú)法保證底面為正多邊形，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形，但無(wú)法保證各個(gè)等腰三角形全等且腰長(zhǎng)均為側(cè)棱長(zhǎng)，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但無(wú)法保證等腰三角形的腰長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，底面是正多邊形，各側(cè)面是全等三角形，則可以保證頂點(diǎn)在底面射影為底面中心，滿(mǎn)足正棱錐定義，④正確.
故選：D.
4. 若長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別是，則長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理計(jì)算可得；
【詳解】解：如圖長(zhǎng)方體中、，，
則，
所以；
故選：A
5．正方體的全面積為18cm2，則它的體積是
【答案】
【解析】先由題條件，求出正方體棱長(zhǎng)，再由體積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為 cm，
由題意可得，，解得，
所以該正方體的體積為.
故答案為：
6．已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，高為，則該正四棱錐的表面積為 .
【答案】4
【分析】根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求出正四棱錐的斜高，再求出表面積.
【詳解】如圖，四棱錐為正四棱錐，高，底面邊長(zhǎng)，
過(guò)點(diǎn)作于，則是的中點(diǎn)，連接，于是斜高，
所以正四棱錐的表面積.
故答案為：4
7. 如果正四棱柱的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為3.5，側(cè)面的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2.5，則該棱柱的體積為 .
【答案】
【分析】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)和面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)列式，求出和，再根據(jù)棱柱的體積公式可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，
則且，
所以，，
所以，
所以該棱柱的體積為.
故答案為：.
8．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)底面邊長(zhǎng)為，高為的正三棱柱的直觀圖.
【答案】圖象見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，先在底面建立坐標(biāo)系，并在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)、、的位置，然后過(guò)點(diǎn)作軸，分別作軸、軸、軸，并確定、、的位置，最后連線(xiàn)可得出正三棱柱的直觀圖.
【詳解】如圖（1）可以選取底面正三角形的底邊中點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，按如下步驟完成畫(huà)圖.
第一步：在軸上取，在軸上取，連接三點(diǎn)得到；

第二步：過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，且在此直線(xiàn)上取點(diǎn)，使得，用同樣的方法取點(diǎn)、；
第三步：連接各點(diǎn)并擦去多余線(xiàn)段就得到正三棱柱的直觀圖，如圖（2）所示.
定義
一般地，有兩個(gè)面互相_平行_，其余各面都是_四邊形_，并且每_相鄰_兩個(gè)四邊形的公共邊都互相_平行_，由這些面所圍成的_多面體_叫做棱柱
有關(guān)
概念
棱柱中，兩個(gè)互相_平行_的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱(chēng)底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的_公共邊_叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的_公共頂點(diǎn)_叫做棱柱的頂點(diǎn)
圖形
表示法
用表示底面各頂點(diǎn)的_字母_表示棱柱，如上圖中的棱柱可記為棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′
分類(lèi)
按底面多邊形的_邊數(shù)_分為三棱柱、四棱柱、五棱柱……
定義
一般地，有一個(gè)面是_多邊形_，其余各面都是
_有一個(gè)公共頂點(diǎn)_的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
有關(guān)
概念
多邊形面叫做棱錐的底面或底；有_公共頂點(diǎn)_的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的_公共頂點(diǎn)_叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的_公共邊_叫做棱錐的側(cè)棱
圖形
表示法
用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的_字母_表示，如上圖中的棱錐可記為棱錐_S－ABCD_
分類(lèi)
按底面多邊形的_邊數(shù)_分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……，其中三棱錐又叫_四面體_

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