直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.
【題型1 判斷直線與圓的位置關(guān)系】
【題型2 由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】
【題型3 圓的切線問題】
【題型4 圓的弦長問題】
【題型1 直線與圓的位置關(guān)系】
知識點：判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法
(1)幾何法:圓心到直線的距離與圓半徑比較大小,特點是計算量較小;
(2)代數(shù)法:將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組,通過解的情況判斷,適合于判斷直線與圓的位置關(guān)系.
例1. 已知直線和圓，則直線l與圓C（ ）
A．相切B．相離
C．相交D．相交且過圓心
例2. 已知圓經(jīng)過三點，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切
C．相交且直線過圓心D．相交且直線不過圓心
例3. 已知點，直線過點且與線段AB相交，則與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相離C．相交或相切D．相切或相離
例4.已知點在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系是 .
【題型訓(xùn)練1】
1．直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交且過圓心B．相交且不過圓心
C．相切D．相離
2.直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法確定
3.已知在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．以上皆有可能
4.直線與圓的公共點個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．不確定
【題型2由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】
知識點：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可以得到圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，以及直線與圓的公共點個數(shù)，從而進(jìn)行計算求出相關(guān)參數(shù).
例5. 若圓與軸相切，則（ ）
A．1B．C．2D．4
例6. 若直線與圓只有一個公共點，則（ ）
A．0B．1C．D．2
例7. 若對任意實數(shù)，直線與圓至少有一個交點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【題型訓(xùn)練2】
1．若直線（）與圓相切，則 .
2．若直線與圓只有一個公共點，則（ ）
A．B．1C．0D．2
3.已知直線與圓相交，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4.（多選）若直線與圓有公共點，則實數(shù)的取值可能是（ ）
A．0B．2C．3D．4
【題型3 圓的切線問題】
知識點： 求過某點的圓的切線的方法
(1)確定點與圓的位置關(guān)系,再求切線方程.
(2)若點在圓上(即為切點),則過該點的切線只有一條;若點在圓外,則過該點的切線有兩條,此時注意斜率不存在的切線.
例8. 已知圓，過點作圓的切線，則該切線的一般式方程為（ ）
A．B．
C．D．
例9. 直線l過點，且與圓相切，則直線l的方程為（ ）
A．B．
C．D．或
例10. 已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過點且與圓相切的直線方程.
例11. 已知點在圓上，直線平分圓.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過點且與圓相切的直線方程.
【題型訓(xùn)練3】
1．圓在點處的切線方程為 .
2．過點且與圓相切的直線方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
3．過點與圓相切的直線方程為 ．
4．已知的圓心為，且過點．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與相切于點，求的方程．
5．已知圓經(jīng)過點，，.
(1)求圓的方程；
(2)過點作直線與圓相切，求直線的方程.
【題型4 圓的弦長問題】
知識點：弦長的兩種求法
(1) 幾何法：直線被圓截得的半弦長eq \f(l,2)、弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＋d2.
(2) 代數(shù)法：聯(lián)立直線的方程和圓的方程，消去y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)(k為直線的斜率且k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)為直線與圓的兩個交點)．
例12. 直線被圓截得的弦長為
例13. 過三點，，的圓交軸于，兩點，則（ ）
A．B．C．D．
例14. 已知圓：與直線，下列選項正確的是（ ）
A．直線與圓相切B．直線與圓相離
C．直線與圓相交且所截弦長最短為D．直線與圓相交且所截弦長最短為4
例15.圓的圓心為，且過點.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線：與圓交，兩點，且，求.
【題型訓(xùn)練4】
1．直線被圓截得的弦長為 .
2．過圓外一點作圓的切線，切點分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知兩點，以線段為直徑的圓截直線所得弦長為（ ）
A．B．C．4D．2
4.已知直線與圓交于A，B兩點，且，則實數(shù)（ ）
A．4B．3C．2D．1
5.已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與圓相交于兩點，求．
方法
位置關(guān)系
幾何法
代數(shù)法
相交
d0
相切
d＝r
Δ＝0
相離
d>r
Δ

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6.5 直線與圓的位置關(guān)系

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 基礎(chǔ)模塊 下冊

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