專題24 立體幾何解答題最全歸納總結(jié)-2023年新高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧與題型全歸納（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體
題型二：立體幾何存在性問題
題型三：立體幾何折疊問題
題型四：立體幾何作圖問題
題型五：立體幾何建系繁瑣問題
題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題
題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系
題型八：空間中的點不好求
題型九：創(chuàng)新定義
【典例例題】
題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體
例1．如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形．
（1）設(shè)平面平面，證明：；
（2）設(shè)D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當(dāng)MN與平面PAB所成角最大時，求MN的長．
例2．如圖所示，圓錐的底面半徑為4，側(cè)面積為，線段AB為圓錐底面的直徑，在線段AB上，且，點是以BC為直徑的圓上一動點；
（1）當(dāng)時，證明：平面平面
（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值．
例3．如圖，圓錐PO的母線長為，是⊙的內(nèi)接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．
（1）證明：；
（2）設(shè)點Q滿足，其中，且二面角的大小為，求的值．
例4．如圖，為圓錐的頂點，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓周上一點，，四邊形為矩形，點在上，且平面．
（1）請判斷點的位置并說明理由；
（2）平面將多面體分成兩部分，求體積較大部分幾何體的體積．
例5．如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．
（1）求證：；
（2）設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，求．
例6．如圖，四邊形ABCD為圓柱的軸截面，EF是該圓柱的一條母線，，G是AD的中點．
（1）證明：平面EBG；
（2）若，求二面角的正弦值．
例7．如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內(nèi)部）以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點．
（1）設(shè)P是上的一點，且，求證；
（2）當(dāng)，時，求二面角的大?。?br>例8．如圖，四邊形是一個半圓柱的軸截面，E，F(xiàn)分別是弧上的一點，，點H為線段的中點，且，點G為線段上一動點．
（1）試確定點G的位置，使平面，并給予證明；
（2）求二面角的大?。?br>例9．坐落于武漢市江漢區(qū)的漢口東正教堂是中國南方唯一的拜占庭式建筑，象征著中西文化的有機融合．拜占庭建筑創(chuàng)造了將穹頂支承于獨立方柱上的結(jié)構(gòu)方法和與之相呼應(yīng)的集中式建筑形制，其主體部分由一圓柱與其上方一半球所構(gòu)成，如圖所示．其中是下底面圓心，是上三點，是上底面對應(yīng)的三點．且共線，，，，與所成角的余弦值為．
（1）若到平面的距離為，求的半徑．
（2）在（1）的條件下，已知為半球面上的動點，且，求點軌跡在球面上圍成的面積．
例10．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．
（1）證明：平面；
（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．
例11．如圖，，O分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點D，，，為圓臺的母線，．
（1）證明；平面；
（2）若二面角為，求與平面所成角的正弦值．
例12．某市在濱海文化中心有濱海科技館，其建筑有鮮明的后工業(yè)風(fēng)格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1．
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）圓臺上底圓周上是否存在一點使得，若存在，求點到直線的距離，若不存在則說明理由．
題型二：立體幾何存在性問題
例13．如圖，三棱錐P-ABC中，平面ABC，，，，．
（1）求三棱錐A-PBC的體積；
（2）在線段PC上是否存在一點M，使得?若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
例14．已知四棱錐中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分別是、、、的中點．
（1）求平面與平面所成的銳二面角的大??；
（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
例15．已知三棱柱中，，，，．
（1）求證：平面平面ABC；
（2）若，在線段AC上是否存在一點P，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．
例16．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．
（1）證明：；
（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，若存在，求與所成角的余弦值；若不存在，請說明理由．
例17．如圖，是邊長為6的正三角形，點E，F(xiàn)，N分別在邊AB，AC，BC上，且，為BC邊的中點，AM交EF于點，沿EF將三角形AEF折到DEF的位置，使．
（1）證明：平面平面；
（2）試探究在線段DM上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
例18．圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖．
（1）求證：平面平面；
（2）在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大??；若不存在，說明理由．
例19．如圖所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，E為棱AA1上的點，且AE＝．
（1）求證：BE⊥平面ACB1；
（2）求二面角D1－AC－B1的余弦值；
（3）在棱A1B1上是否存在點F，使得直線DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的長；若不存在，請說明理由．
例20．如圖，在五面體中，已知，，，且，．
（1）求證：平面與平面；
（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角余弦值的絕對值等于，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
題型三：立體幾何折疊問題
例21．如圖1，在邊上為4的菱形中，，點，分別是邊，的中點，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．
（1）在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)四棱錐體積最大時，求直線和平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在一點，使得二面角余弦值的絕對值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由．
例22．如圖，在等腰直角三角形中，分別是上的點，且分別為的中點，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連接
（1）證明：平面；
（2）在翻折的過程中，當(dāng)時，求二面角的余弦值．
例23．如圖1，在平面四邊形PDCB中，，，，．將沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如圖2所示．
（1）設(shè)平面SDC與平面SAB的交線為l，求證：BC⊥l；
（2）點Q在線段SC上（點Q不與端點重合），平面QBD與平面BCD夾角的余弦值為，求線段BQ的長．
例24．如圖，在平面五邊形中，為正三角形，，且．將沿翻折成如圖所示的四棱錐，使得．，分別為，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
例25．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠A＝60°，E，F(xiàn)分別為線段AB，CD上的點，且BE＝2AE，DF＝FC，現(xiàn)將△ADE沿DE翻折至的位置，連接，．
（1）若點G為線段上一點，且，求證：平面；
（2）當(dāng)三棱錐的體積達到最大時，求二面角的正弦值．
例26．如圖1，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是等腰梯形，，現(xiàn)將正方形沿翻折，使與重合，得到如圖2所示的幾何體，其中．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
例27．如圖，在梯形中，，現(xiàn)將所在平面沿對角線翻折，使點B翻折至點E，且成直二面角．
（1）證明：平面平面；
（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．
例28．如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點為F．
（1）證明：平面ABC．
（2）若，二面角D-AC-E為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．
題型四：立體幾何作圖問題
例29．已知四棱錐中，底面為正方形，O為其中心，點E為側(cè)棱的中點．
（1）作出過O、P兩點且與平行的四棱錐截面（在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，并寫出簡要作圖過程）；記該截面與棱的交點為M，求出比值（直接寫出答案）；
（2）若四棱錐的側(cè)棱與底面邊長均相等，求與平面所成角的正弦值．
例30．如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐中，平面與直線和直線平行，點為的中點，點在上，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）求作過作四棱錐的截面，使與截面平行（寫出作圖過程，不要求證明）．截面的定義：用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形．
例31．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）．
（1）作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；
（2）若為棱的中點，是否存在，使平面平面，若存在，求出的所有可能值；若不存在，請說明理由．
例32．如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）．
（1）作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；
（2）若，均為其所在棱的中點，求點到平面的距離．
例33．如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點．
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）．
例34．如圖，已知多面體的底面是邊長為2的正方形，底面，，且．
（1）求多面體的體積；
（2）記線段的中點為，在平面內(nèi)過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．
例35．四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，．，且平面，，點分別是線段上的中點，在上．且．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟．
題型五：立體幾何建系繁瑣問題
例36．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點，為上一點．過和的平面交于，交于．
（1）證明：，且平面平面；
（2）設(shè)為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．
例37．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點
（1）證明：平面
（2）求二面角的余弦值．
例38．如圖，是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分點，平面外一點滿足，．
（1）證明：；
（2）已知點，為線段，上的點，，，求平面與平面所成二面角的正弦值．
例39．《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右．它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面．
（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：，則三棱錐為“鱉臑”；
（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，．
（ⅰ）證明：平面平面；
（ⅱ）設(shè)平面與平面的交線為，若，，求二面角的大?。?br>例40．已知四面體，，，且平面平面．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小．
例41．已知四面體，，且平面平面．
（Ⅰ）若，求證：；
（Ⅱ）求二面角的正切值．
題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題
例42．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點是
的中點，連接，
（1）證明：平面平面；
（2）若，，求三棱錐的體積．
例43．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點是
的中點，連接，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，且二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．
例44．如圖，四棱錐中，底面為邊長是2的正方形，，分別是、的中點，，，且二面角的大小為．
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．
例45．如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，．
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）當(dāng)直線與平面所成的角為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
例46．如圖，在四面體中，已知，，
（1）求證：；
（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．
題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系
例47．如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．
（1）若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；
（2）在（1）的前提下，以，，，，，為頂點的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．
例48．在四棱錐中，為棱的中點，平面，，，，，為棱的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值．
例49．三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為．
（Ⅰ）求側(cè)棱的長；
（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點的位置并證明；若不存在，說明理由．
例50．如圖，在四棱錐中，底面四邊形內(nèi)接于圓，是圓的一條直徑，平面，，是的中點，
（1）求證：平面；
（2）若二面角的正切值為2，求直線與平面所成角的正弦值．
例51．如圖所示，平面，為等邊三角形，，，為中點．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角的正切值為，求二面角的正切值．
題型八：空間中的點不好求
例52．如圖，直線平面，直線平行四邊形，四棱錐的頂點在平面上，，，，，，，，分別是與的中點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．
例53．如圖，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形．，．
（1）證明：平面
（2）求與平面所成角的正弦值．
例54．如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側(cè)棱上，．
（Ⅰ）證明：是側(cè)棱的中點；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
例55．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為直角梯形，其中，，，，，，點在棱上且，點為棱的中點．
在棱上且，點位棱的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值的大?。?br>例56．如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，且，是邊長為2的正三角形，頂點在上的射影為點，且，，．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
例57．三棱柱的底面是等邊三角形，的中點為，底面，與底面所成的角為，點在棱上，且，．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
例58．如圖，將矩形沿折成二面角，其中為的中點，已知，．，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值．
題型九：創(chuàng)新定義
例59．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)
（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；
（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值．
例60．類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．
（1）當(dāng)、時，證明以上三面角余弦定理；
（2）如圖2，四棱柱中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直線上是否存在點，使平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．
例61．（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點滿足：，求該正四面體的體積．
例62．已知，，，定義一種運算：，已知四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，
（1）試計算的絕對值的值，并求證面；
（2）求四棱錐的體積，說明的絕對值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算的絕對值的幾何意義．

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