2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破06 立體幾何解答題最全歸納總結(jié)
目錄
題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱臺的體積為，其中.

(1)求側(cè)棱與底面所成的角；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱臺中，為中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.
例3．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱臺中，，，，為棱，的中點(diǎn)，棱上存在一點(diǎn)，使得平面．

(1)求；
(2)當(dāng)正四棱臺的體積最大時，求與平面所成角的正弦值．
變式1．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)是的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．
變式2．（2023·安徽·高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓錐的高為，是底面圓的直徑，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點(diǎn)是母線上一動點(diǎn).

(1)證明：平面平面；
(2)若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.
變式3．（2023·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，A，為底面圓上兩點(diǎn)，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
變式4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，為底面圓的直徑，在母線上，且，，．

(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)點(diǎn)為線段上動點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
變式5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面⊙O的內(nèi)接正三角形，．
(1)劣弧上是否存在點(diǎn)D，使得平面？若存在，求出劣弧的長度；若不存在，請說明理由．
(2)求平面和平面所成角的正弦值．
題型二：立體幾何存在性問題
例4．（2023·全國·高三對口高考）如圖，如圖1，在直角梯形中，．把沿對角線折起到的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面上的正投影H恰好落在線段上，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面//平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一點(diǎn)M，使得M到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請說明理由．
例5．（2023·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎退诘钠矫婊ハ啻怪?，，，，，是線段的中點(diǎn)，.
(1)求證：；
(2)設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得二面角的大小為.
例6．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，為邊上一動點(diǎn)，交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至.
(1)證明：平面平面；
(2)若，且，線段上是否存在一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.
變式6．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；
(2)當(dāng)時，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
變式7．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）斜三棱柱的各棱長都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).

(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面PAD，△PAD為等邊三角形，//，，平面PBC交平面PAD直線l，E、F分別為棱PD，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：∥；
(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說明理由．
變式9．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在三棱錐P-ABC中，若已知，，點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)H，則
(1)證明：
(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請說明理由.
變式10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四棱錐中，底面為矩形，，為等腰直角三角形，平面平面，為中點(diǎn).
(1)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為.若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(2)求二面角的正弦值.
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，，，分別為的中點(diǎn)，平面與底面的交線為.
(1)證明：平面.
(2)若三棱錐的體積為，試問在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿足？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.
變式12．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，.
(1)證明：面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)位置；若不存在，請說明理由.
題型三：立體幾何折疊問題
例7．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
例8．（2023·廣東深圳·?？级＃┤鐖D1所示，等邊的邊長為，是邊上的高，，分別是，邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折疊，如圖2所示.

(1)證明：；
(2)折疊后若，求二面角的余弦值.
例9．（2023·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖甲所示的正方形中，對角線分別交于點(diǎn)，將正方形沿折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱
(1)若點(diǎn)在棱上，且，證明：∥平面；
(2)求二面角的余弦值.
變式13．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點(diǎn)，現(xiàn)在將沿著CD進(jìn)行翻折，使得翻折后S點(diǎn)在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點(diǎn)，如圖乙所示.
(1)證明：平面SBC；
(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形BCDE中，，，A為DE的中點(diǎn)，且，，將沿AB折起，使得點(diǎn)E到達(dá)P處（P與D不重合），記PD的中點(diǎn)為M，如圖2．
(1)在折疊過程中，PB是否始終與平面ACM平行？請說明理由；
(2)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時，求CD與平面ACM所成角的正弦值．
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，E，F(xiàn)分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．
(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時點(diǎn)F到平面的距離．
變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，以為折痕，將向一方折疊到的位置，使D點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，再將向另一方折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.
（1）若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的正弦值.
變式17．（2023·四川瀘州·瀘縣五中校考三模）如圖1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊.若把沿邊折疊到的位置，使平面平面，如圖2.
（1）證明：；
（2）若為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.
變式18．（2023·湖南長沙·長沙一中?？家荒＃┤鐖D1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點(diǎn)，滿足，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.
（1）求證：平面平面；
（2）能否在線段上找到一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
題型四：立體幾何作圖問題
例10．（2023·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）已知正四棱錐中，O為底面ABCD的中心，如圖所示．
(1)作出過點(diǎn)O與平面PAD平行的截面，在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，寫出簡要作圖過程及理由；
(2)設(shè)PD的中點(diǎn)為G，，求AG與平面PAB所成角的正弦值．
例11．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，，且.
(1)試在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，且.
(1)試在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點(diǎn).
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）.
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，.,且平面，，點(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn)，在上.且.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.
變式21．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
變式22．（2023·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形.

(1)（如圖1）若點(diǎn)為內(nèi)任一點(diǎn)，作出與面的交點(diǎn)（作出圖象并寫出簡單的作圖過程，不需證明）；
(2)（如圖2）若面面，求二面角的余弦值.
變式23．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）是邊長為2的正三角形，P在平面上滿足，將沿AC翻折，使點(diǎn)P到達(dá)的位置，若平面平面ABC，且．
(1)作平面，使得，且，說明作圖方法并證明；
(2)點(diǎn)M滿足，求二面角的余弦值．
變式24．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱平面，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是在棱上的動點(diǎn)（不為端點(diǎn)）.（如圖所示）
(1)若是棱中點(diǎn)，
（i）畫出的重心（保留作圖痕跡），指出點(diǎn)與線段的關(guān)系，并說明理由；
（ii）求證：平面；
(2)若四邊形是正方形，且，當(dāng)點(diǎn)在何處時，直線與平面所成角的正弦值取最大值.
題型五：立體幾何建系繁瑣問題
例13．（2023·福建福州·福建省福州格致中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，
（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；
（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.
例14．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，M，N分別為的中點(diǎn)，．
(1)證明：平面；
(2)若，三棱錐的體積為2，求二面角的余弦值．
例15．（2023·江西撫州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．
(1)證明：平面；
(2)若，設(shè)為棱上的點(diǎn)，且滿足，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時，與所成角的余弦值．
變式25．（2023·黑龍江佳木斯·高一建三江分局第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過和的平面交于，交于．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)為的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．
變式26．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？既＃┤鐖D，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過和的平面交于，交于.
（1）證明：，且平面平面；
（2）設(shè)為的中心，若，平面，且，求四棱錐的體積.
變式27．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期中）如圖，在平行六面體中，每一個面均為邊長為2的菱形，平面底面，，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若側(cè)棱與底面所成的角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐中，平面，，，，，．
(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)線段上是否存在一點(diǎn)M，使得平面？若存在，請指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由．
變式29．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱的底面為等邊三角形，，點(diǎn)D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．
(1)求點(diǎn)到平面BDE的距離；
(2)求二面角的余弦值．
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個四棱錐與的公共底面是邊長為4的正方形，頂點(diǎn)，在底面的同側(cè)，棱錐的高，，分別為AB，CD的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F.
(1)求證：點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)；
(2)求這兩個棱錐的公共部分的體積.
變式31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.

（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；
（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.
（i）證明：平面平面；
（ii）設(shè)平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.
變式32．（2023·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)校考期末）如圖，四面體ABCD中，等邊三角形，，且.

(1)記AC中點(diǎn)為M，若面面ABD，求證：面ADC；
(2)當(dāng)二面角的大小為時，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.
變式33．（2023·河北衡水·高二校考開學(xué)考試）已知四面體，，，且平面平面．
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的大?。?br>題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，DP
證明：平面平面BDP；
若，，求三棱錐的體積．
例17．（2023·高二?？紗卧獪y試）如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接．
（1）證明:平面平面;
（2）若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值．
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為邊長是2的正方形，，分別是，的中點(diǎn)，，，且二面角的大小為.
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值.
變式34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，.
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)直線與平面所成的角為30°時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
變式35．（2023·廣東陽江·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．
(1)求證：平面平面ABC；
(2)若，二面角的余弦值為，求m．
變式36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，已知，，
(1)求證：；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系
例19．（2023·河北·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方體，平面與平面所成角為.
(1)若，求直線與平面所成角的余弦值（用表示）；
(2)將矩形沿旋轉(zhuǎn)度角得到矩形，設(shè)平面與平面所成角為，請證明：.
例20．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在四棱錐中，，，，，平面平面.
(1)證明：；
(2)若是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的大小.
例21．（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點(diǎn)．
(1)求CE的長；
(2)設(shè)二面角平面角的補(bǔ)角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．
變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，是線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為.
(1)證明∥平面BCM
(2)已知，為上的點(diǎn)，若與平面所成角的正弦值為是，求線段的長.
(3)在（2）的條件下，求二面角的正弦值.
變式38．（2023·江西撫州·高二臨川一中?？计谥校┤鐖D，直線平面，直線平行四邊形ABCD，四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)在平面上，，，，，分別是與的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
變式39．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；
(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P（P不在端點(diǎn)處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由．
變式40．（2023·吉林長春·高二校考期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，.點(diǎn)在側(cè)棱上，°.
（1）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；
（2）求二面角的余弦值.
變式41．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）三棱柱的底面是等邊三角形，的中點(diǎn)為，底面，與底面所成的角為，點(diǎn)在棱上，且.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
變式42．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐P-ABC所有棱長都等，PO⊥平面ABC，垂足為O．點(diǎn)，分別在平面PAC，平面PAB內(nèi)，線段，都經(jīng)過線段PO的中點(diǎn)D．
(1)證明：平面ABC；
(2)求直線AP與平面所成角的正弦值．
變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心.
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
變式44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面平面，菱形平面，，為平面內(nèi)一動點(diǎn).
(1)若平面，間的距離為，設(shè)直線，與平面所成的角分別為，，，求動點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的一個軌跡方程；
(2)若點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，證明：直線與平面所成的角與的大小無關(guān).
題型八：空間中的點(diǎn)不好求
例22．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱錐ABCD，D在面ABC上的投影為O，O恰好為△ABC的外心．，.
(1)證明：BC⊥AD；
(2)E為AD上靠近A的四等分點(diǎn)，若三棱錐A-BCD的體積為，求二面角的余弦值．
例23．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且為三角形的重心.
(1)證明：平面；
(2)若，，四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.
例24．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）如圖，平行六面體中，點(diǎn)P在對角線上，，平面平面．
(1)求證：O，P，三點(diǎn)共線；
(2)若四邊形是邊長為2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．
變式45．（2023·江西·校聯(lián)考二模）正四棱錐中，，E為中點(diǎn)，，平面平面，平面.
(1)證明：當(dāng)平面平面時，平面
(2)當(dāng)時，T為表面上一動點(diǎn)（包括頂點(diǎn)），是否存在正數(shù)m，使得有且僅有5個點(diǎn)T滿足，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由.
變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐．
(1)若，求證：平面平面；
(2)是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
變式47．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知菱形ABCD中，，四邊形BDEF為正方形，滿足，連接AE，AF，CE，CF．
(1)證明：；
(2)求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值．
題型九：創(chuàng)新定義
例25．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽（圖a）為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個獨(dú)特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側(cè)面上．如圖，將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時（如圖b），兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標(biāo)出的各點(diǎn)，，，，，均在原正方體的表面上）．
(1)由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過程可知，圖d中的曲線為一個橢圓，求此橢圓的離心率；
(2)如圖c，點(diǎn)在橢圓弧上，且三棱錐的體積為，求二面角的正弦值．
例26．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝?，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.
(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；
(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)
（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；
（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值.
例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．

（1）求四棱錐的總曲率；
（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．
變式48．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，定義一種運(yùn)算：，在平行六面體中，，，.
(1)證明：平行六面體是直四棱柱；
(2)計算，并求該平行六面體的體積，說明的值與平行六面體體積的關(guān)系.
變式49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點(diǎn)滿足：，求該正四面體的體積．
變式50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，，．
(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；
(2)求證：曲線C是拋物線．
變式51．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．
（1）當(dāng)、時，證明以上三面角余弦定理；
（2）如圖2，四棱柱中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

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