思維導(dǎo)圖
知識梳理
1．異面直線所成角
設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)， 其中a，b分別是直線a，b的方向向量．
2．直線與平面所成角
如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則sin φ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|)
3．二面角
(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補角)的大小就是向量eq \(AB,\s\up7(―→))與eq \(CD,\s\up7(―→))的夾角，如圖(1)．
(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角α -l -β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cs φ|＝|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如圖(2)(3)．
4．利用空間向量求距離
(1)兩點間的距離
設(shè)點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2)，則|AB|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2).
(2)點到平面的距離
如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為|eq \(BO,\s\up7(―→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up7(―→))·n|,|n|).
題型歸納
題型1 異面直線所成的角
【例1-1】（2020?濟南模擬）已知直角梯形中，，，，將直角梯形（及其內(nèi)部）以所在直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)，形成如圖所示的幾何體，其中為的中點．
（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角的大小．
【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，得出，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積為0得出直線垂直；
（2）計算和的夾角，從而得出異面直線所成角的大?。?br>【解答】（1）證明：，，，
平面，
以為原點，以，，為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，則，1，，，0，，，0，，，，，
，，，，，，
，
．
（2）解：，0，，故，0，，
，，
設(shè)異面直線與所成角為，則，，
故．
【例1-2】（2020?北京模擬）在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值．
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，只要證明，即可證明結(jié)論．
（Ⅱ），，，利用向量夾角公式即可得出．
【解答】證明：如圖所示，，0，，，0，，，0，，，2，，，1，，，1，，
，2，，，1，，
由，
，
；
（Ⅱ）解：，，，
，．
異面直線與所成角的余弦值為．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020?運城三模）如圖，四邊形為平行四邊形，且，點，為平面外兩點，且，．
（1）證明：；
（2）若，求異面直線與所成角的余弦值．
【分析】（1）設(shè)與相交于點，連接，從而，推導(dǎo)出，從而平面，由此能證明．
（2）過作的垂線，交于點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：設(shè)與相交于點，連接，
由題意可得四邊形為菱形，
所以，，
在和中，，，，
所以，
所以，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以．
（2）解：如圖，在平面內(nèi)，過作的垂線，交于點，
由（1）可知，平面平面，
所以平面，故直線，，兩兩互相垂直，
分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，
則，，，，，，
所以，，
異面直線與所成角的余弦值為：
．
【名師指導(dǎo)】
用向量法求異面直線所成角的一般步驟
(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)確定異面直線上兩個點的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；
(4)兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對值．
題型2 直線與平面所成的角
【例2-1】（2020?海南）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．
（1）證明：平面；
（2）已知，為上的點，，求與平面所成角的正弦值．
【分析】（1）過在平面內(nèi)作直線，推得為平面和平面的交線，由線面垂直的判定和性質(zhì)，即可得證；
（2）以為坐標(biāo)原點，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，1，，運用向量法，求得平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式求解即可．
【解答】（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，
由，可得，即為平面和平面的交線，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，為上的點，，
，，
則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，作，則為平面與平面的交線為，
取，0，，則，0，，，1，，，1，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，，取，可得，0，，
，，
與平面所成角的正弦值為．
【例2-2】（2020?北京）如圖，在正方體中，為的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得，再利用線面平行的判定定理即可得證；
（Ⅱ）解法一：以為原點，、、分別為、和軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與平面所成角為，先求出平面的法向量，再利用，以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得解．
解法二：設(shè)正方體的棱長為，易知，結(jié)合勾股定理和余弦定理可求得，再求得；設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)等體積法，可求出的值，設(shè)直線與平面所成角為，則，從而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)可知，中，且，
四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，平面．
（Ⅱ）解法一：以為原點，、、分別為、和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為，則，0，，，0，，，0，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，，，，
設(shè)直線與平面所成角為，則，，
故直線與平面所成角的正弦值為．
解法二：設(shè)正方體的棱長為，則，，，，
由余弦定理知，，
，
，
設(shè)點到平面的距離為，
，
，，
設(shè)直線與平面所成角為，則．
故直線與平面所成角的正弦值為．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?山東）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．
（1）證明：平面；
（2）已知，為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值．
【分析】（1）過在平面內(nèi)作直線，推得為平面和平面的交線，由線面垂直的判定和性質(zhì)，即可得證；
（2）以為坐標(biāo)原點，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，運用向量法，求得平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，以及基本不等式可得所求最大值．
【解答】解：（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，
由，可得，即為平面和平面的交線，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，
設(shè)，0，，，0，，，1，，，1，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，，取，可得，0，，
，，
與平面所成角的正弦值為
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
與平面所成角的正弦值的最大值為．
【名師指導(dǎo)】
利用向量求線面角的2種方法
(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)．
(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線與平面所成的角．
題型3 二面角
【例3-1】（2020?江蘇）在三棱錐中，已知，，為的中點，平面，，為中點．
（1）求直線與所成角的余弦值；
（2）若點在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求的值．
【分析】（1）由題意畫出圖形，連接，由已知可得，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，得到，，設(shè)直線與所成角為，由兩向量所成角的余弦值，可得直線與所成角的余弦值；
（2）由，得，設(shè)，，，由向量等式求得，，，進一步求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解．
【解答】解：（1）如圖，連接，，為的中點，．
以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
，，則．
，0，，，0，，，2，，，0，，
是的中點，，1，，
，．
設(shè)直線與所成角為，
則，
即直線與所成角的余弦值為；
（2），，
設(shè)，，，則，，，，，，，．
，，．
設(shè)平面的一個法向量為，
由，取，得；
設(shè)平面的一個法向量為，
由，取，得．
．
．
【例3-2】（2020?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【分析】（1）設(shè)圓的半徑為1，求出各線段的長度，利用勾股定理即可得到，，進而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夾角公式即可得解．
【解答】解：（1）不妨設(shè)圓的半徑為1，，，，，
，
在中，，故，
同理可得，又，故平面；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，1，，
故，
設(shè)平面的法向量為，則，可取，
同理可求得平面的法向量為，
故，即二面角的余弦值為．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．
（1）證明：點在平面內(nèi)；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【分析】（1）在上取點，使得，連接，，，，由已知證明四邊形和四邊形都是平行四邊形，可得，且，，且，進一步證明四邊形為平行四邊形，得到，且，結(jié)合，且，可得，且，則四邊形為平行四邊形，從而得到點在平面內(nèi)；
（2）在長方體中，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得二面角的正弦值．
【解答】（1）證明：在上取點，使得，連接，，，，
在長方體中，有，且．
又，，，．
四邊形和四邊形都是平行四邊形．
，且，，且．
又在長方體中，有，且，
且，則四邊形為平行四邊形，
，且，
又，且，，且，
則四邊形為平行四邊形，
點在平面內(nèi)；
（2）解：在長方體中，以為坐標(biāo)原點，
分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
，，，，，
，1，，，0，，，1，，，1，，
則，，．
設(shè)平面的一個法向量為．
則，取，得；
設(shè)平面的一個法向量為．
則，取，得．
．
設(shè)二面角為，則．
二面角的正弦值為．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2019?天津）如圖，平面，，，，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長．
【分析】（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，，，的坐標(biāo)，設(shè)，得，2，．可得是平面的法向量，再求出，由，且直線平面，得平面；
（Ⅱ）求出，再求出平面的法向量，利用數(shù)量積求夾角公式得直線與平面所成角的余弦值，進一步得到直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值為列式求線段的長．
【解答】（Ⅰ）證明：以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
設(shè)，則，2，．
則是平面的法向量，又，可得．
又直線平面，平面；
（Ⅱ）解：依題意，，，．
設(shè)為平面的法向量，
則，令，得．
．
直線與平面所成角的正弦值為；
（Ⅲ）解：設(shè)為平面的法向量，
則，取，可得，
由題意，，解得．
經(jīng)檢驗，符合題意．
線段的長為．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2019?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【分析】（1）過作，證明，再證明，可得，再由線面平行的判定可得平面；
（2）以為坐標(biāo)原點，以垂直于得直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值．
【解答】（1）證明：如圖，過作，則，且，
又，，四邊形為平行四邊形，則，
由，為中點，得為中點，而為中點，
，，則四邊形為平行四邊形，則，
，
平面，平面，
平面；
（2）解：以為坐標(biāo)原點，以垂直于得直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，1，，，，，
，，
設(shè)平面的一個法向量為，
由，取，得，
又平面的一個法向量為，
．
二面角的正弦值為．
【名師指導(dǎo)】
利用空間向量計算二面角大小的常用方法
(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大?。?br>(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．
題型4 求空間距離
【例4-1】（2019?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點．
（1）證明：平面；
（2）求點到平面的距離．
【分析】法一：
（1）連結(jié)，，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．
（2）過作的垂線，垂足為，推導(dǎo)出，，從而平面，，進而平面，故的長即為到平面的距離，由此能求出點到平面的距離．
法二：（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面．
（2）求出，，，平面的法向量，0，，利用向量法能求出點到平面的距離．
【解答】解法一：
證明：（1）連結(jié)，，，分別是，的中點，
，又為的中點，，
由題設(shè)知，，，
四邊形是平行四邊形，
，
又平面，平面．
解：（2）過作的垂線，垂足為，
由已知可得，，
平面，故，
平面，故的長即為到平面的距離，
由已知可得，，
，故，
點到平面的距離為．
解法二：
證明：（1）直四棱柱的底面是菱形，
，，，，，分別是，，的中點．
平面，，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，0，，，0，，，，，，，，
，，，，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，0，，
，平面，平面．
解：（2），，，，，，平面的法向量，0，，
點到平面的距離：．
【跟蹤訓(xùn)練4-1】（2020?梅州二模）如圖，中，，，，分別是，的中點，將沿折起，連結(jié)，，得到多面體．
（1）證明：在多面體中，；
（2）在多面體中，當(dāng)時，求點到平面的距離．
【分析】（1）推導(dǎo)出，，得到平面，由此能證明．
（2）推導(dǎo)出平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點到平面的距離．
【解答】解：（1）證明：中，，，，分別是，的中點，
將沿折起，連結(jié)，，得到多面體．
，，
，平面，
平面，在多面體中，．
（2）由（1）得平面，
又平面，，
中，，，，分別是，的中點，，
，，，
，平面，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，0，，，0，，，1，，，1，，
，0，，，1，，，1，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
點到平面的距離為：
．
【名師指導(dǎo)】
求點面距一般有以下三種方法
(1)作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離．
(2)等體積法．
(3)向量法．其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便．

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