【中考二輪】2024年中考數(shù)學（四川成都專用）難點01 幾何變換問題綜合（四川成都專用）-專題訓練.zip-試卷下載-教習網(wǎng)

幾何變換是四川成都中考數(shù)學的必考考點，常見以B卷填空題的形式，主要是考查幾何折疊、平移等變換問題，一般出現(xiàn)在中考的B23題，以難度為主，知識點比較綜合，日常練習中多注意新穎題目的考向。
【題型一幾何折疊問題】
【例1】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則．

【答案】
【分析】過點作于，證明，得出，根據(jù)，得，設，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于，

∵平分交于點，
∴,
∴
∴
∵折疊，∴，∴,
又∵，∴，∴，∴
∵，，則，
∴，∴，，
∵，設，，則，則，
∵，∴
在中，，在中，
∴，即，解得：
∴，，則
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2021·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點A的對應點恰好落在對角線上，點B的對應點為，則線段的長為；第二步，分別在上取點M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點F與點E重合，則線段的長為．
【答案】 1
【分析】第一步：設EF與AA’交于點O，連接AF，易證明△AOE△ADC，利用對應邊成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，從而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由對應邊成比例可得AE、FC的關(guān)系式，設BF=x，則FC=8-x，由關(guān)系式可求得x的值；
第二步：連接NE，NF，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE，設B’N=m，分別在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出結(jié)果．
【詳解】如圖所示，連接AF，
設EF與AA’交于點O，由折疊的性質(zhì)得到AA’⊥EF，
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC
∴△AOE△ADC，
∴ ，
∴OA=2OE，
在直角△AOE中，由勾股定理得：，
∴OE=，∴OA=，
在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ，∴OC=，
令BF=x，則FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴ ，
即7AE=3FC，∴3(8-x)=7×3解得：,∴的長為1．
連接NE，NF，如圖，
根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，
設B’N=m，則，解得：m=3，則NF= ，
∵EF=，∴MF=，∴MN=，
故答案為：1，．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，熟練運用這些知識是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運用．
【變式1-2】（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在菱形中，，點為邊中點，點在邊上，將四邊形沿直線翻折，使的對應邊為，當時，的值為．

【答案】/
【分析】過點D作于點K，設與的交點為E，延長交于點L，根據(jù)三角函數(shù)的意義，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理計算即可．
【詳解】過點D作于點K，設與的交點為E，延長交于點L，
∵四邊形沿直線翻折，
∴，
∵，，
∴，
∴設，則，
∴，
∵點為邊中點，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，，
∴設，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查銳角三角形函數(shù)，菱形，折疊，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角形函數(shù)的運用，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．
【變式1-3】（2022·四川綿陽·?？级＃┤鐖D，在中，，，，點為的中點，點是邊上一個動點，將沿著翻折，使得點落在點處，當時，的長為．

【答案】或
【分析】根據(jù)題意，分兩種情況：①當在的右側(cè)時；②當在的左側(cè)時，由翻折性質(zhì)，結(jié)合含的直角三角形邊的關(guān)系列方程求解即可得到答案．
【詳解】解：在中，，，，點為的中點，
，，
當在的右側(cè)時，延長交于，如圖所示：

，
，
由翻折的性質(zhì)知，，，
設，則，，
，
在直角三角形中，，則，
，
；
當在的左側(cè)時，如圖所示：

由翻折性質(zhì)知，，，，
，
，
，，
在直角三角形中，，
，解得，
故答案為：或．
【點睛】本題考查翻折性質(zhì)，充分利用翻折性質(zhì)及含的直角三角形邊的關(guān)系分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．
【變式1-4】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點D，E分別在邊上，連接，將沿翻折，點A的對應點為點F，線段恰好經(jīng)過點C．若，則的值為．

【答案】
【分析】設，利用勾股定理及正切函數(shù)得出，再由折疊的性質(zhì)得出，，過點E作于點G，設，由相似三角形的判定和性質(zhì)得出方程確定，再結(jié)合圖形求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴設，
在中，
，
∴，
∵，
∴，
由折疊得：，，
∴，，
如圖，過點E作于點G，

∴，
設，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，∴，故答案為：．
【點睛】題目主要考查折疊的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，解三角形，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
【題型2 折疊最值問題】
【例2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，點是的中點，點是邊上一動點．將沿著翻折，使得點落在點處，若點是矩形內(nèi)一動點，連接、、，則的最小值為．

【答案】/
【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，連接，由等腰三角形得出，再由折疊得出點的軌跡在點為圓心，為半徑的圓周上，所以的最小值為，即的最小值為，經(jīng)計算答出答案即可．
【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
連接，連接，
則，，共線，，
，
，
點是的中點，
，
，

，
由折疊成，
，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，
，
兩點間線段最短，
，
即
，
，
則的最小值為．
故答案為：．

【點睛】本題考查了兩點之間線段最短的應用，掌握圖形的旋轉(zhuǎn)及圖形的折疊對稱的性質(zhì)，添加輔助線是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在中，，，，，，將繞點旋轉(zhuǎn)，連接、，在上方作交于，連接，當最大時，的長為．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，過點作，交的延長線于點，連結(jié)，作的中點，連結(jié)，作以為圓心，為半徑的圓，由證明，，得到，，證明，，點在以為圓心為半徑的圓上，當最大時，與圓相切，再利用勾股定理即可求解，解題的關(guān)鍵是添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形及熟練掌握知識點的應用．
【詳解】過點作，交的延長線于點，連結(jié)，作的中點，連結(jié)，作以為圓心，為半徑的圓，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴ ；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵為中點，
∴為的中位線，
∴，，
∴點在以為圓心為半徑的圓上，
∴當最大時，與圓相切，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，故答案為：．
【變式2-2】（2022·四川成都·校考一模）如圖，將直角△ABC沿斜邊AC翻折后B點的對應點，點P、Q是線段AB、上的動點，且BP=，已知AB=12，BC=5，則線段PQ的最小值為．
【答案】/
【分析】連接，交AC于點O．可以O為坐標原點，以AC方向為x軸正方向，方向為y軸正方向建立直角坐標系，根據(jù)等積法可求出的長，即得出B和的坐標．根據(jù)勾股定理可求出A和C的坐標，從而可求出經(jīng)過A、B的直線解析式和經(jīng)過、C的直線解析式．故可設P(，)，Q(，)，根據(jù)兩點的距離公式求出，，根據(jù)BP=，即得出m，n的關(guān)系．還可求出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即得出PQ的最小值．
【詳解】連接，交AC于點O．
由翻折可知，．
故可以O為坐標原點，以AC方向為x軸正方向，方向為y軸正方向建立直角坐標系，如圖．
∵在中，AB=12，BC=5，
∴．
∵，
∴．
∴B(0，)，(0，)．
∵在中，AB=12，，
∴，
∴，
∴A (，0)，C(，0)．
設經(jīng)過A、B的直線解析式為，
則，解得：，
∴經(jīng)過A、B的直線解析式為．
設經(jīng)過、C的直線解析式為，
則，解得：，
∴經(jīng)過、C的直線解析式為．
故可設P(，)，Q(，)，
則，，
∵，
∴，整理，得：．
根據(jù)所作坐標系可知，．∴．
∵，
將代入，并整理得：，
其對稱軸為，且開口向上，
又∵，∴當時，最小，最小值為，
∴此時最小，最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形，兩點的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)．把幾何問題改為二次函數(shù)求最值的問題是解題關(guān)鍵．本題數(shù)據(jù)處理較大，較難．
【變式2-3】（2022·四川成都·四川師范大學實驗外國語學校?？级＃┤鐖D，在矩形紙片中，，，點是的中點，點是上一動點．將沿直線折疊，點落在點處，在上任取一點，連接，，，則的周長的最小值為．

【答案】
【分析】如圖，當點F固定時，連接AC交EF于G，連接，此時△ 的周長最小，最小值=，當最小時，△的周長最小，求出的最小值即可解決問題；
【詳解】如圖所示，當點F固定時，連接AC交EF于G，連接，
此時△ 的周長最小，
最小值=，
∵ 四邊形ABCD 矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，
∴AC===5，
所以△的周長的最小值=5+，
當最小時，△的周長最小，
∵AE=DE==，
∴CE==，
∵≥EC-，
∴≥-，
∴ △的周長的最小值為5+-= ，
故答案為：．

【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題題型．
【變式2-4】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，按以下步驟操作：第一步，在邊AB上取一點M，且滿足，現(xiàn)折疊紙片，使點C與點M重合，點B的對應點為點，則得到的第一條折痕EF的長為；第二步，繼續(xù)折疊紙片，使得到的第二條折痕與EF垂直，點D的對應點為，則點和之間的最小距離為．
【答案】
【分析】（1）、過點E作EH垂直于CD于H，過點M作MG垂直于CD于點G，連接MD，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，設未知數(shù)，在、、分別用勾股定理列方程即可；
（2）、根據(jù)線段長度可證明是平行四邊形，則，則可得則在直線DM上，得到當時，此時最短，再證，對應線段成比例即可求解．
【詳解】解：（1）、∵在矩形紙片ABCD中，，，，
，，
過點E作EH垂直于CD于H，過點M作MG垂直于CD于點G，連接MD，
四邊形BCHE，四邊形AMGD，四邊形EHGM都為矩形，
折疊紙片，點C與點M重合，點B的對應點為點，
∴設，，
在中，，
解得：，
，
設，，
在中，，
解得：，
，
在中，；
（2）、過作DM的垂線，交其延長線于，
在中，，
，
是平行四邊形，
，
∵第二條折痕與EF垂直，
∴第二條折痕與MD垂直，
則在直線DM上，
當時，此時最短，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
故答案為：，
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各項性質(zhì)和點到直線的距離最短是解題的關(guān)鍵．
【題型三幾何平移問題】
【例3】（2024·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，將繞點A旋轉(zhuǎn)，使點C落在邊上的點E處，點B落在點D處，連接，，延長交于點F，則的長為．

【答案】
【分析】設，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可證，從而可得，再證，從而可得，即可求解．
【詳解】解：，，，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，
，
，，
，
，
，
，
設，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案：．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的特征等，掌握相關(guān)的性質(zhì)，證出、是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）中，，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)度，得到，點B，C的對應點分別為點D，E，連接EC并延長交BD于點P．若，則的值為．
【答案】
【分析】證明，得出，連接，證明即可求解．
【詳解】解：∵，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出，利用相似和三線合一得出．
【變式3-2】（2022·四川成都·成都外國語學校?？级＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是．
【答案】．
【分析】如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．證明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根據(jù)垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解決問題．
【詳解】如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，
又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根據(jù)垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
設AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET=a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值為．
故答案為．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等的三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
【變式3-3】（2022·四川綿陽·?？家荒＃┤鐖D，在正方形的邊長為4，點是的中點，連接，過點作交于點，將繞順時針旋轉(zhuǎn)得到．使得點落到線段上，連接交于點，則的長度是．
【答案】
【分析】如圖（見解析），先根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)可得，，再利用兩次相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得點在同一條直線上，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出，，最后根據(jù)線段的和差即可得．
【詳解】如圖，連接，設與交于點，
四邊形是邊長為4的正方形，點是的中點，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，
在和中，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
點在同一條直線上，
，
又，
，
設，則，
在中，，即，
解得或（不符題意，舍去），
，
，
又，
，即，
解得，
，，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，構(gòu)造輔助線，并證出點在同一條直線上是解題關(guān)鍵．
【題型四幾何平移最值問題】
【例4】（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，正方形的邊長為2，點E是邊上的動點，連接，，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的取值范圍為．

【答案】
【分析】過點M作于點P，過點N作于點Q，過點N作于點F，通過證明，得出，的長度，最后根據(jù)勾股定理得出，即可進行解答．
【詳解】解：過點M作于點P，過點N作于點Q，過點N作于點F，
設，，
∵繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
∵，
∴當時，有最小值，，
∵，
∴時，隨x的增大而減??；時，隨x的增大而增大；
當時，，當時，，
∴∵時，，
∴；
故答案為：．

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．
【變式4-1】（2023·四川內(nèi)江·威遠中學校?？级＃┤鐖D，等腰直角中，，，點是邊上一點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到點，則長的最小值是．
【答案】/
【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則此時、、在同一直線上，得出點的運動軌跡為線段，當時，的長度最小，由直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理即可得出答案．
【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則此時、、在同一直線上，即有，
∴，
，，，
，
隨著點的運動，總有，，
，
∴，
同理可證明：，
∴，
∴，
∴、、三點在同一直線上，
點的運動軌跡為線段，
當時，的長度最小，如圖，
在等腰中，，，
，
，
，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023·四川成都·成都市樹德實驗中學?？级＃┤鐖D，正方形中，，O是邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，，連接，將線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接、．則線段長的最小值為．
【答案】
【分析】連接DO，將線段DO繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接OF，F(xiàn)M，OM，證明△EDO≌△FDM ，可得FM=OE=2，由勾股定理可得OM= ，根據(jù)OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【詳解】如圖，連接DO，將線段DO繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接OF，F(xiàn)M，OM，
∵ ∠EDF= ∠ODM=90°，∴ ∠EDO=∠FDM，
在△EDO與△FDM中，
∴ △EDO≌△FDM (SAS) ，∴ FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=4，O是BC邊的中點，∴ OC=2，
∴ ∴
∵OF+MF OM，∴
∴線段OF長的最小值為
故答案為：
【點睛】本題考查線段長度最短的問題，考查三角形的三邊關(guān)系、勾股定理．正方形的性質(zhì)，靈活的使用三角形的三邊關(guān)系的不等式解決最值問題是難點也是常考點．
【變式4-3】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在中，，，，點是直線上一點，連接，將線段繞逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到，點、分別是線段、中點，連接，則線段的最小值為．
【答案】
【分析】先利用已知條件求出AB的長，再通過圖形判斷當P在直線CD上運動是點N的軌跡是一條直線，當MN垂直于N1N2時值最小，然后通過已知條件求值即可．
【詳解】解：點P在直線CD上移動時，點N的軌跡是一條直線，當MN垂直于N1N2時值最小，
如圖所示：
當P和C重合時N1是CB的中點，當PA′和CD重合時，N2是PA′的中點，
∵AC=CB=4，∠ACB=120°，
∴CD⊥AB，CD=2，AD=2，
則AB=2AD=4，
∵M、N1分別是AC、BC中點，
∴MN1∥AB，MN1=2，DE=1
∵PA′是PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到的，當PA′和CD重合時，
PA′=PA，∠APA′=120°，
∴∠APD=60°，
∴，
DP=AP?cs60°=4×=2，
∵N2是PA′的中點，∴PN2=2，EN2=2+2+1=5，
∵MN1∥AB，CD⊥AB，∴MN1⊥CD，
在△MEN2和△N1EN2中，，
∴△MEN2≌△N1EN2，N2M=N2N1，
在Rt△MN2E中，，
∴，
又∵即，∴故答案為：
【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線，三角形全等和垂線段最短等知識，關(guān)鍵是對知識的掌握和運用．
（建議用時：60分鐘）
1．（2023·四川內(nèi)江·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，、分別在邊、上，將四邊形沿翻折，使的對應線段經(jīng)過頂點，延長交于點，當時，的值為．

【答案】
【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，由垂直定義及同角的余角相等可得，利用折疊的性質(zhì)，得出，可設，則，，，，由，設，則，，求得，進而得到，，從而可得答案．
【詳解】解：菱形，
，，，，
，，
，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)可知，，
，
，
，
，
，即，
由折疊可知，，，
，
設，則，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
設，則，
由勾股定理得：，
，解得，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)，正確表示出和的長是解題關(guān)鍵．
2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）在矩形中，點為邊上一點（不與端點重合），連接，將矩形沿折疊，折疊后點與點重合，連接并延長，分別交，于，兩點若，，，則的長為．

【答案】
【分析】連接，證明，可得，設，在中，有，可解得，知，由矩形沿折疊，折疊后點與點重合，得，可得，，故，從而得到．
【詳解】連接，如圖：

四邊形是矩形，
，
將矩形沿折疊，折疊后點與點重合，
，
，
，
，
，
設，則
在中，
，
解得：，
，
，
將矩形沿折疊，折疊后點與點重合，
，
//，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查矩形中的翻折變換，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理及應用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
3.（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形紙片中，將和分別沿和折疊（），點A，B重合于點E處；再將沿折疊，點C落在上的點F處，若，且，則的長為．
【答案】
【分析】由折疊的性質(zhì)得，，設，則有，，由得，由勾股定理得，可得出；證明可得，求得，過點作于，可得，，，利用勾股定理可求出x的值，即可得出、的長，利用勾股定理即可得答案．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，
∴，P點為中點，
設，則，，
∵，
∴，即
∴，
由勾股定理得，
∵
∴
由折疊得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴，即
∴，
過點作于，
∴，
，
，
∴，解得：，（舍去），
∴，，
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換勾股定理及三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
4．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，矩形的邊長為4，將沿對角線翻折得到，與交于點E，再以為折痕，將進行翻折，得到．若兩次折疊后，點恰好落在的邊上，則的長為．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論：①當點恰好落在上時，由翻折以及矩形的性質(zhì)利用可證明，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長，再依據(jù)勾股定理求解即可；②當點恰好落在上時，同理利用可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出的長，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出答案．
【詳解】∵四邊形為矩形，
∴，，
∵沿對角線翻折得到，
∴，，
∵以為折痕，將進行翻折，得到，
∴，，
①當點恰好落在上時，如圖，
在和中，
∴
∴，即為等腰三角形，
∵
∴點為中點，
∴，
在中，有，
即，解得
②當點恰好落在上時，如圖，
∵
∴四邊形為矩形，
∴，
∵沿進行翻折，得到，
∴
在中，，
在和中，
∴≌（）
∴
∴．
故答案為：或．
【點睛】本題考查了空間想象能力以及分類討論的思想，熟練掌握翻折的性質(zhì)，運用全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．
5．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點A落在邊上的E處，得到四邊形，連接，若，則．
【答案】
【分析】過P作PN⊥BC，垂足為N，根據(jù)折疊矩形ABCD得出∠GPE=∠ADG=∠FAD=∠FEP=∠BCD=∠B=90°，再根據(jù)三角函數(shù)推出，設BE=3x，則BF=4x，EF=5x=AF，根據(jù)勾股定理表示AE，進而求出x=2，BC=12=AD=EP，BE=6，EF=10，AB=18，在Rt△EPN中，sin∠PEN=sin∠BFE=，cs∠PEN=cs∠BFE=，求出PN、EN，即可求出面積．
【詳解】解：如圖，過P作PN⊥BC，垂足為N，
∵折疊矩形ABCD，
∴∠GPE=∠ADG=∠FAD=∠FEP=∠BCD=∠B=90°，
∴∠CGP=90°∠GHP=90°∠EHC=∠HEC=90°∠FEB=∠BFE，
∵tan∠CGP＝，
∴tan∠BFE＝tan∠CGP＝＝，
設BE=3x，則BF=4x，EF=5x=AF，
∴AB=AF+FB=9x，
∴AE=，∴，
∴x=2，BC=12=AD=EP，BE=6，EF=10，AB=18，∴EC=BCBE=6，
在Rt△EPN中，sin∠PEN=sin∠BFE=，cs∠PEN=cs∠BFE=，
∴，，解得PN＝，EN＝，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查勾股定理、矩形、正方形的性質(zhì)、翻折變換、解直角三角形，熟練掌握這些知識點的綜合應用，善于在復雜的圖形中找出基本圖形是解題關(guān)鍵．
6．（2022·四川成都·模擬預測）如圖，點E是矩形ABCD的邊AB的中點，點P是邊AD上的動點，沿直線PE將△APE對折，點A落在點F處. 已知AB=6，AD=4，連結(jié)CF、CE，當△CEF恰為直角三角形時，AP的長度等于 .
【答案】或1
【分析】分∠CFE=90°和∠CEF=90°兩種情況根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)求解．
【詳解】解：①如圖，當∠CFE=90°時，
∵四邊形ABCD是矩形，點E是矩形ABCD的邊AB的中點，AB=6，AD=4，
∴∠PAE=∠PFE=∠EBC= 90°，AE=EF=BE=3，
∴∠PFE+∠CFE =180°，
∴P、F、C三點一線，
∴△EFC≌△EBC，
∴FC=BC=4，EC==5，∠FEC=∠BEC，
∴∠PEF+∠FEC =90°，
設AP=x，則PC=x+4，
∴,
解得x=；
②如圖，當∠CEF=90°
∴∠CEB+2∠PEA =90°，
∴∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，
延長PE、CB，二線交于點G，
∵AE=BE，∠PAE=∠GBE =90°，∠AEP=∠BEG，
∴△PAE≌△GBE，
∴PA=BG，∠AEP=∠BEG，
∴∠G =90°-∠GEB= 90°-∠PEA，∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，
∴∠G =∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，
∴CE=CBC+BG=BC+AP，
∴5=4+AP，
解得PA=1，
故答案為：或1．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·四川成都·模擬預測）如圖是一張矩形紙片，點是對角線的中點，點在邊上，把沿直線折疊，使點落在對角線上的點處，連接，．若，則度．
【答案】18
【分析】連接MD，設∠DAF=x，利用折疊與等腰三角形的性質(zhì)，用x的代數(shù)式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可．
【詳解】連接MD，設∠DAF=x
根據(jù)矩形的基本性質(zhì)可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°
∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x
∴∠DMF=2x
∵△DCE折疊得到△DFE
∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE
又MF=AB
∴MF=DF
∴∠MDF=2x
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°
∴∠CDE=∠ACD=x
∴∠FDE=∠CDE=x
∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°
∴x=18°
故∠DAF=18°
故答案為18．
【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，能夠做出合適的輔助線用∠DAF表示出∠ADC是解題關(guān)鍵．
8．（2019·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中線，E是AC上一動點，將△AED沿ED折疊，點A落在點F處，EF線段CD交于點G，若△CEG是直角三角形，則CE＝．
【答案】或
【分析】分兩種情形：如圖1中，當時．如圖2中，當時，分別求解即可．
【詳解】解：在中，，，，
，，
，
∴，
∴．
若△CEG是直角三角形，有兩種情況：
I．如圖1中，當時．
∴，
作于．則，
在中，，，
．
II．如圖2中，當時，
∵，∴，
∴，∴，此時點與點重合，
∴，∴，∴，
綜上所述，的長為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查了翻折變換，直角三角形性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
9．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，．折疊矩形使得點A恰好落在邊上，折痕與邊相交于點E，與矩形另一邊相交于點F．若，則的長為．
【答案】或1
【分析】設折疊后，點A的對應點為M點，折痕為，設，分兩種情況討論：當點F在邊時，畫出圖形，過E點作于點N，先證明四邊形是矩形，再在中，利用勾股定理即可作答；當點F在邊時，如圖，過M點作于點H，點B的對應點為G點，同理可求．
【詳解】設折疊后，點A的對應點為M點，折痕為，設，
當點F在邊時，如圖，過E點作于點N，
根據(jù)折疊有：，，
∵，，，，
∴，，
∵在矩形中，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即；
當點F在邊時，如圖，過M點作于點H，點B的對應點為G點，
根據(jù)折疊有：，，，，
∵，，，，
∴，，，
∵在矩形中，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即；
故答案為：或1．
【點睛】本題是矩形的折疊問題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，注意分類討論并準確畫出相關(guān)圖形，是解答本題的關(guān)鍵．
滿分技巧
1.考查了四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換勾股定理及三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
2.考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想解決問題．
滿分技巧
考查了矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各項性質(zhì)和點到直線的距離最短是解題的關(guān)鍵．
滿分技巧
1.考查了四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換勾股定理及三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
2.考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想解決問題．
滿分技巧
1.考查了四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換勾股定理及三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
2.考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想解決問題．

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