
高考考完,閑來無事做做題,寫點(diǎn)東西,旨在交流。
在看這個(gè)東西之前,下面這幾個(gè)東西:
,我默認(rèn)為你是熟悉的。
行文至此,不再啰嗦鋪墊,直接上題,我們來研究
,這類不等式的待定系數(shù)的取值問題。
探究點(diǎn)1:我們先固定,求的范圍
由
令
觀察不難發(fā)現(xiàn),若是上述方程的唯一解,則導(dǎo)數(shù)為有較理想的解,
將其代入可得:
于是上式可以改寫為:
那么我們就可以得到一道給學(xué)生練手的題:
練習(xí)1:給定正數(shù)求的取值范圍.
探究點(diǎn)2:接下來我們固定,探求的范圍
由
對上式求導(dǎo),并令其為
欲使上式有較理想的解,可在上式中令,得
我們將上述問題改進(jìn)一下寫成:
欲使上式有唯一的解,我們就對另一個(gè)因子提出要求,應(yīng)滿足
由熟知的不等式,我們可以控制讓即可
那么我們就可以得到一道給學(xué)生練手的題:
練習(xí)2:求的取值范圍.
我們發(fā)現(xiàn)上面兩道題,還是太簡單了,適合給文科生練手,難度還不夠,
那我們就把次數(shù)玩高點(diǎn),三次足以,再高了拿來考試就可能不太合適了。
進(jìn)一步地,我們來看這個(gè)問題:
探究點(diǎn)3:先固定住,來研究的取值范圍
由
分離參數(shù)
對上式求導(dǎo),并令
欲使上式有較理想的解,可令,可得
故上式可改寫為:
在上式中,讓,即可得到一道可以作為練習(xí)的試題
練習(xí)3:求的取值范圍.
探究點(diǎn)4:固定住,來研究的取值范圍
由,可得
對其求導(dǎo),并令
同樣的不難發(fā)現(xiàn),欲使上式有較理想的解,可令,可得
從而上式可以改寫成:
由熟知的
令一方面我們要保證
將兩式對照起來,不妨讓
解之得:
那么我們就可以得到一道練手的題:
練習(xí)4:求的取值范圍.
這個(gè)就是大家都認(rèn)得的2020年全國一卷的理科數(shù)學(xué)21題.
探究點(diǎn)5:固定住,來研究的取值范圍
由
可得
對其求導(dǎo),并令
同樣的不難發(fā)現(xiàn),欲使上式有較理想的解,可令,可得
從而上式可以改寫成:
令一方面我們要保證
由熟知的 ,
將他們對照起來,取一組適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)那么我們就可以得到一系列練手的題目.
練習(xí)5:求的取值范圍
當(dāng)然以上只是介紹了一類試題的生成過程,在允許使用計(jì)算機(jī)的情況下,一些題目的生成就更容易了,比如我們可以嘗試著寫一個(gè)函數(shù),然后用計(jì)算機(jī)算出它的原函數(shù)即可。
比如:我們輸入
可以生成一個(gè)原函數(shù)
輸入,可以生成一個(gè)原函數(shù)
類似的結(jié)合一些中學(xué)師生熟知的不等式,便可拼湊一堆試題,當(dāng)然了在數(shù)據(jù)的選擇方面,考慮到做題人的體驗(yàn)感,我們應(yīng)追求簡潔、簡單。
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