考法一：部分同構(gòu)攜手放縮法（同構(gòu)放縮需有方，切放同構(gòu)一起上）
[規(guī)律方法] 在學(xué)習(xí)指對數(shù)的運算時，曾經(jīng)提到過兩個這樣的恒等式：
（1）當(dāng)且時，有
（2）當(dāng)且時，有
再結(jié)合指數(shù)與對數(shù)運算法則
可以得到下述結(jié)論（其中）（“ex”三兄弟與“”三姐妹）
（3），
（4），
（6），
再結(jié)合常用的切線不等式：，，，等
可以得到更多的結(jié)論
（7），．
，．
（8），
，
（9），
，
例1．已知，則函數(shù)的最大值為______．
解析：
（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）．
例2．已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實數(shù)a與b的大小關(guān)系是______．
解析：
由于
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以?br>例3．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：（1）定義域是，
①當(dāng)時，，在定義域上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點
②當(dāng)時，由，得
當(dāng)時，，在定義域上單調(diào)遞增
當(dāng)時，，在定義域上單調(diào)遞減
所以當(dāng)時，取得極大值．
當(dāng)時，，當(dāng)時，
因為有兩個零點，所以
解得．
（2）要使恒成立，只要恒成立
只要恒成立，令，則
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以恒成立，實數(shù)a的取值范圍為．
【點睛】本題難點在第2問，由所求不等式出發(fā)，經(jīng)參變分離將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，引入函數(shù)，通過結(jié)論的放縮，巧妙地得出的最小值，進而求出參數(shù)a的取值范圍.
【針對訓(xùn)練】
1．函數(shù)的最小值是______．
【答案】1
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)證明在R上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合放縮法即可求出函數(shù)的最小值.
【詳解】令，
則，
令，令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即在R上恒成立，
所以，
故
當(dāng)且僅當(dāng)取等號.
故答案為：1.
2．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】恒成立問題，可以用參變分離求最值的方法，結(jié)合放縮即可得答案.
【詳解】
由于，，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號成立，則
所以．
故答案為：．
3．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】通過同構(gòu)簡化函數(shù)形式，然后再轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)，畫圖確定參數(shù)范圍.
【詳解】，令，，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即有兩個根，即有兩個根，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過原點的切線，可知當(dāng)時有兩個交點即有兩個根．
故答案為：.
考法二：整體同構(gòu)攜手脫衣法
[規(guī)律方法] 在能成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型（即不等式兩邊對應(yīng)的同一個函數(shù)），無疑大大加快解決問題的速度，找到這個函數(shù)模型的方法，我們就稱為整體同構(gòu)法．如，若能等價變形為，然后利用的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為，這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式（等號成立時，稱為同構(gòu)方程），簡稱同構(gòu)法．
1．地位同等同構(gòu)（主要針對雙變量，合二為一泰山移）
（1）為增函數(shù)
（2）為減函數(shù)
含有地位同等的兩個變量，或p，q等的不等式，進行“塵化塵，土化土”式的整理，是一種常見變形，如果整理（即同構(gòu)）后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性（需要預(yù)先設(shè)定兩個變量的大?。?br>2．指對跨階同構(gòu)（主要針對單變量，左同右同取對數(shù)）
（1）積型：
如
后面的轉(zhuǎn)化同（1）
說明：在對“積型”進行同構(gòu)時，取對數(shù)是最快捷的，同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知，
（2）商型：
（3）和差：
如．
3．無中生有同構(gòu)（主要針對非上型，湊好形式是關(guān)鍵）
（1）
后面的轉(zhuǎn)化同2（1）
（2）
（3）．
后面的轉(zhuǎn)化同2（1）
例4．已知，在區(qū)間內(nèi)任取兩實數(shù)p，q，且，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為______．
解析：①當(dāng)時，
即
令，則
∴在遞減，即
∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴．
②當(dāng)時，同理可得出，綜上所述
例5．對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為______．
解析：
（積型同構(gòu)）
令，則，
易知在上遞減，在上遞增
所以，所以在上單調(diào)遞增
則，
由導(dǎo)數(shù)法易證，所以．
例6．已知函數(shù)．
（1）判斷在上的單調(diào)性；
（2）若，證明：．
解析：（1）
令，
∴在上單調(diào)遞減，∴，即
∴在上單調(diào)遞減．
（2）要證，即證：
即證：，即證：
令，即證：
由（1），在上單調(diào)遞減，即證：
令，
∴在上單調(diào)遞增，∴
∴，即．
【點睛】本題利用分析法將所證不等式轉(zhuǎn)化為，通過同構(gòu)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助（1）問中在上單調(diào)遞減，將命題轉(zhuǎn)證為，簡化所證命題.
【針對訓(xùn)練】
4．已知不等式，對恒成立，則a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】由題意可得，，即，構(gòu)造函數(shù)，由其在上為增函數(shù)，，則，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可
【詳解】因為，對恒成立，
所以，，
所以，
所以，
所以，
令，則
因為在上為增函數(shù)，
所以，
所以，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，取得最大值，即，
所以，所以，
所以a的取值范圍是
故答案為：
5．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依題意可得，令，則問題等價于，即，再由，即可得到，即可得到參數(shù)的取值范圍；
【詳解】解：，
，
令，顯然為增函數(shù)，
則原命題等價于
，
又令，則，
所以時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即恒成立，
所以，
所以，即得．
故選：B
6．已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用同構(gòu)變形得到，構(gòu)造函數(shù)，，
結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值，考慮兩種情況，進行求解，最終求得實數(shù)a的最小值.
【詳解】因為，
所以，
即，
構(gòu)造函數(shù)，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，與1的大小不定，但當(dāng)實數(shù)a最小時，只需考慮其為負數(shù)的情況，此時
因為當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故，
兩邊取對數(shù)得：
，
令，則，
令得：，令得：，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以
故a的最小值是．
故選：C
【點睛】同構(gòu)法針對與不等式或者等式中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)時，要將兩邊變形得到結(jié)構(gòu)相同，再構(gòu)造函數(shù)進行求解.
【強化訓(xùn)練】
7．函數(shù)的最小值為______．
【答案】1
【分析】先證明出成立，對原函數(shù)進行同構(gòu)構(gòu)造后直接求解.
【詳解】記.
因為.令，解得：；令，解得：；
所以在上單減，在上單增，所以.
所以，即.
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
記.
因為在上單增，在上單增，所以在上單增.
又，，
所以有且只有一個實根.
而存在唯一一個使得.
即存在唯一一個使得.
所以函數(shù)的最小值為1.
故答案為：1
8．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【分析】恒成立問題，可以用參變分離求最值的方法，結(jié)合放縮即可得答案.
【詳解】
由于，
兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號成立
則
所以．
故答案為：．
9．已知a，b分別滿足，，則ab＝______．
【答案】
【分析】同構(gòu)化處理，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性確定答案．
【詳解】
，且，令，，該函數(shù)在單調(diào)遞增，可得，即，則．
故答案為：.
10．已知是函數(shù)的零點，則_______．
【答案】2
【分析】根據(jù)零點定義可得，整理可得，根據(jù)此時可得成立，代入化簡即可得解.
【詳解】根據(jù)題意可得，
整理可得，
可得當(dāng)，即成立，
又，
代入可得.
故答案為：.
11．已知函數(shù)，若對任意正數(shù)，當(dāng)時，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是______．
【答案】
【分析】令，進而原題等價于在單調(diào)遞增，從而轉(zhuǎn)化為，在上恒成立，參變分離即可求出結(jié)果.
【詳解】由得，
令，∴
∴在單調(diào)遞增，
又∵
∴，在上恒成立，即
令，則
∴在單調(diào)遞減，又因為，
∴．
故答案為：.
【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
12．設(shè)實數(shù)，若對于任意，不等式恒成立，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】將給定的不等式作等價變形，按分段討論，并借助導(dǎo)數(shù)求出最值作答.
【詳解】，，，
當(dāng)時，，而，即恒成立，
因此，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，恒成立，
令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，，
令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則
所以的最小值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：不等式恒成立問題，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值是解答的關(guān)鍵.
13．已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先不等式變形為，，不等式等價于，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可得對任意恒成立，再利用參變分離恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值.
【詳解】不等式變形為 ，
即，設(shè)，
則不等式對任意的實數(shù)恒成立，
等價于對任意恒成立，
，則在上單調(diào)遞增，
，即對任意恒成立，
恒成立，即，
令 ，則 ，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時， ，在上單調(diào)遞增，
時，取得最小值 ，
，即，
的最小值是.
故選：D
【點睛】本題考查函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式恒成立的綜合問題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計算能力，本題的關(guān)鍵和難點是不等式的變形，并能構(gòu)造函數(shù)并轉(zhuǎn)化為對任意恒成立.
14．已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分析，易得恒成立，再分析，
將問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，
即，恒成立，可利用的單調(diào)性，
轉(zhuǎn)化為則恒成立，再轉(zhuǎn)化為得恒成立，
再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到，則.
【詳解】當(dāng)，時，顯然恒成立；
當(dāng) 時，由題，則恒成立，
得，恒成立，
令，則恒成立，
則，故在遞增，
則恒成立，得恒成立，
令，則，即在遞增，
故，故，
綜合得.
故選：B.
【點睛】本題考查了分析觀察能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，反復(fù)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化恒成立問題是解決問題的關(guān)鍵.

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