高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題-33.不等式問題中的同構(gòu)變形策略-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

例如：若，則（）．
A． B． C． D．
分析：由于，
設(shè)，則，
又在上單調(diào)遞增，則，故選B．
同構(gòu)法變形精巧，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧對稱之美，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，成為近年數(shù)學(xué)研究的熱點之一．同構(gòu)法的關(guān)鍵是同構(gòu)變形，上例中的變形是容易的，對于較為復(fù)雜的同構(gòu)變形，目標應(yīng)該指向何方？同構(gòu)變形又有哪些策略呢？一般的，同構(gòu)變形最終要歸結(jié)為一些常見的函數(shù)模型，如、等．從構(gòu)造方式來看，它們都是基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算或復(fù)合而成，特別是以和為基礎(chǔ)構(gòu)造的系列函數(shù)；從特征來看，這些函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等屬性容易討論同構(gòu)變形的策略靈活多樣，常見的有移項、取對數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)式的互化等，以下舉例說明．
策略一：借助移項、四則運算等同構(gòu)變形
對于較為簡單的多項式函數(shù)，可根據(jù)題設(shè)條件，通過移項、四則運算等變形，直至不等式兩側(cè)呈現(xiàn)相同的結(jié)構(gòu)，之后引進新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題．
例1 若，則（）
A． B．
C． D．
解：由題意得．設(shè)，則，又在上單調(diào)遞增，則，則．選A．
例2 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)p、q，且，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解：不妨設(shè)，則不等式變形為．
設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
從而在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，易得．
點評：例2中通過對已知不等式變形，使不等式兩邊結(jié)構(gòu)相同，適時引入函數(shù)，進而將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)可輕松獲解．
策略二：借助取對數(shù)運算同構(gòu)變形
數(shù)據(jù)處理中，我們經(jīng)常對原始數(shù)據(jù)取對數(shù)，然后再作出處理．依據(jù)主要有二，一是通過取對數(shù)可以大幅壓縮數(shù)據(jù)的絕對數(shù)值，數(shù)據(jù)更趨平穩(wěn)．本質(zhì)上是：當(dāng)x的取值很大時，對數(shù)函數(shù)變化速度非常緩慢；二是通過取對數(shù)降低運算的維度．由于，，，，，取對數(shù)后，乘方運算轉(zhuǎn)化成了乘法計算，乘法運算則轉(zhuǎn)化成了加法計算．對于兩邊均是指數(shù)型不等式，可考慮通過取對數(shù)，將指數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題，降低思維難度．
例3 已經(jīng)，求證：．
解：因為，所以，只需證明，即，從而．
設(shè)，又，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，即．所以．
策略三借助恒等式代換同構(gòu)變形
由對數(shù)的概念易知等式成立，我們常常利用該式簡化計算．但逆向觀察該式，則有，特殊的，可以發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)式可等價變形為指數(shù)式，必要時實施此代換，可將一些結(jié)構(gòu)不良的不等式變形為不等式兩邊相同的結(jié)構(gòu)特征，然后引入新函數(shù)求解．
例4 已知函數(shù)．若，求a的取值范圍．
解：的定義域是，若，即，
亦即，
從而，
即不等式在上恒成立．
設(shè)，則在R上單調(diào)遞增，
又，所以．從而．
設(shè)，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故當(dāng)時，有極大值，也是最大值．所以，得．
點評：本題的難點是將不等式進行變形，利用恒等式和代換，實現(xiàn)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)式之間的相互轉(zhuǎn)化，使不等式變形為更協(xié)調(diào)的形式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性，將問題簡化為恒成立問題．
例5 設(shè)，若存在，使得不等式成立，求k的取值范圍．
解：由得，
不等式的兩邊同時乘以得，即．
設(shè)，則，
又在上單調(diào)遞增，所以，進而．
設(shè)，，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故，從而．
點評：利用恒等式，將變形為，此時不等式兩邊的結(jié)構(gòu)一致，然后引入函數(shù)，利用在上單調(diào)遞增得，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
例6 設(shè)實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，求的取值氛圍；
解：由題意得入，不等式的兩邊同時乘以得，即，
設(shè)，則，又，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以入，進而．
設(shè)，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故，從而．
點評：與例5類似，利用恒等式，將不等式入同構(gòu)變形為，之后水到渠成的構(gòu)造函數(shù)，利用在上單調(diào)遞增得，再通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為的最大值問題．
結(jié)合上述幾例可知，掌握以下要點對于同構(gòu)變形有益的：第一，“函數(shù)模型”要儲備完善．同構(gòu)變形往往歸結(jié)為一些常見的函數(shù)模型，如等．熟練掌握這些函數(shù)模型的性質(zhì)（尤其是單調(diào)性），可有效加快解題的進程；第二，熟悉同構(gòu)變形的常用技巧，如移項、取對數(shù)、利用恒等式代換等．特別是取對數(shù)和利用恒等式代換，體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)三個基本初等函數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，內(nèi)涵豐富，意蘊悠長．
然而，同構(gòu)變形技巧性強，需要學(xué)生具備較全面的知識儲備、較高的關(guān)鍵能力和素養(yǎng)，而這些顯然不是一朝一夕就能輕松練就的．教師要通過典型題目的剖析講評，結(jié)合題設(shè)條件將被破壞的結(jié)構(gòu)進行還原變形，直至不等式同構(gòu)形式，然后選擇構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)簡化不等式，即將原不等式中蘊含的內(nèi)在規(guī)律外顯化，揭示問題的豐富背景和內(nèi)涵，讓學(xué)生在驚訝于同構(gòu)法巨大威力的同時，又不會感到其玄妙莫測和出其不意．通過對解題過程的思維分析，留住知識之“根”，方法之“根”，價值之“根”和本質(zhì)之“根”．
專題強化訓(xùn)練
1．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
2．已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）
A．B．C．D．
3．已知對任意給定的，存在使成立，則實數(shù)的取值范圍為：__________．
4．已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為：_______．
5．已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為______.
6．不等式的解集為____．
7．已知函數(shù)，，則t的取值范圍是 _______．
8．設(shè)，若存在正實數(shù)x，使得不等式成立，則k的最大值為__________．
9．如果，則的取值范圍是___________．
10．已知函數(shù)，若，求的取值范圍.
11．已知函數(shù)，證明：當(dāng)時，.
12．已知函數(shù)，當(dāng)時，證明：．
13．已知函數(shù)，a為正常數(shù)，且對任意，都有，求a的取值范圍．
14．已知．當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
15．解不等式．
16．若對任意恒成立，求的取值范圍．
17．已知函數(shù)，求t的取值范圍．
參考答案：
1．B
【分析】原不等式化為，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
其圖象關(guān)于直線對稱，要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得結(jié)果.
【詳解】
函數(shù)的定義域為，由，
得，
函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
其圖象關(guān)于直線對稱，所以要使得恒成立，
只需恒成立，即恒成立，
設(shè)，則，
在上遞減，在遞增，
可知當(dāng)時，取得最小值，
所以，又因為，所以的取值范圍是，故選B．
【點睛】本題主要考查反函數(shù)的性質(zhì)、不等式恒成立問題以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難題. 不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
2．C
【分析】由得，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，再利用的單調(diào)性可得答案．
【詳解】由得，
，
令，則，
因為，所以
在單調(diào)遞減，
∴，即，
令，
令，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，∴，
故選：C．
3．
【分析】通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍
【詳解】，
當(dāng) 即時，，∴ 顯然成立，
當(dāng)即時，構(gòu)造函數(shù)，∴
顯然在上單調(diào)遞增，∴
設(shè)，令在上，上
∴ ∴，故實數(shù)m的取值范圍為 .
故答案為：
4．
【分析】將不等式化簡后，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解
【詳解】，∴，
構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，
故等價于，即任意的實數(shù)恒成立，．
令，則，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得．
故答案為：
5．
【分析】將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，可知當(dāng)時，函數(shù)在上為減函數(shù)，可得出，進而可求得的取值范圍.
【詳解】由，可得，
構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)且當(dāng)，，
此時，函數(shù)在上為減函數(shù)，
由于，則，
所以，，所以，，，.
綜上可得的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性把抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
6．
【詳解】不等式，
即，
令,則原不等式等價于，
,求導(dǎo)得恒成立，則函數(shù)為增函數(shù)，
由得即，
解得?1?x?2，
所以原不等式的解集為[?1,2].
7．[1，＋∞)
【分析】函數(shù)和函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性及最值來求得的取值范圍.
【詳解】原不等式為.注意到函數(shù)和函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故①為單調(diào)遞增函數(shù)，注意到當(dāng)時，①式值為零，故當(dāng)時，①式恒大于或等于零.故的取值范圍是.
【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式成立的問題，屬于中檔題.
8．
【分析】由題意可得，可令，則成立，通過取對數(shù)和構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性和最值，即可得到的最大值．
【詳解】法一：（同構(gòu)法）
令，不等式化為，
令，
由，在上單調(diào)遞增，
∴有解，
由，導(dǎo)數(shù)為，
可得時，函數(shù)遞減，時，函數(shù)遞增，
則時，取得最大值，
，
∴，即．
法二：
令，化為不等式有解，
∵與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，
要使有解，則與有公共點，即有解，，
，
由，導(dǎo)數(shù)為，
可得時，函數(shù)遞減，時，函數(shù)遞增，
則時，取得最大值，
可得即有，
∴，
∴，解得，．
故答案為：.
9．．
【分析】先根據(jù)不等式的形式構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可
【詳解】解：由已知得
令，則對任意恒成立，于是在上單調(diào)減．
即
由在上單調(diào)遞減得，解得
所以的取值范圍是．
故答案為：
10．.
【分析】將給定不等式等價變形并分離參數(shù)，借助不等式“，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”，推理計算作答.
【詳解】，
，
令，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，，
因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
令，顯然在上單調(diào)遞增，而，
即存在，使得成立，即有最小值1，則有，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.
11．證明見解析.
【分析】根據(jù)給定條件用替換a，轉(zhuǎn)化為證不含參數(shù)的不等式，構(gòu)造函數(shù)并借助函數(shù)的單調(diào)性推理作答.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
因，有，
令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，
令，，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，而，
因此，，成立，從而成立，
因，則，于是得，
所以當(dāng)時，.
【點睛】思路點睛：某些含參數(shù)，并且參數(shù)在一指定范圍內(nèi)的不等式證明問題，可以將參數(shù)用其端點值替換，轉(zhuǎn)化成證不含參數(shù)的不等式.
12．證明見解析
【分析】先化簡得到，再構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，從而求出，從而得到的單調(diào)區(qū)間和最值，不等式得到證明.
【詳解】，設(shè)，
則，設(shè)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
∴，
∴
其中，，
因為，所以，
令得：，令得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
在處取得極小值，也是最小值，
∴，
∴
即．
【點睛】同構(gòu)法對函數(shù)進行變形，常用的變形有，，，等.
13．
【分析】將不等式化簡后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解
【詳解】簡析：不妨令，
設(shè)，則，
得在上單調(diào)遞增，
，即在上恒成立，
令，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，∴．
a的取值范圍是．
14．．
【分析】，令得，即，且的最小值為，令，結(jié)合即可解決.
【詳解】，
，
，設(shè)的根為，即有可得，
，當(dāng)時，，遞減，
當(dāng)時，，遞增.
，
所以，
①當(dāng)；
②當(dāng)時，設(shè)，
遞增，，所以.
綜上，.
15．．
【分析】不等式變形為，將視為一個整體，方程兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)，于是構(gòu)造函數(shù)，然后由函數(shù)的單調(diào)性解不等式．
【詳解】令，易知在R上單調(diào)遞增．
原不等式變形為，即．
由在R上單調(diào)遞增得，解得或．
所以原不等式的解集為．
16．．
【分析】依題意顯然，則時顯然成立，當(dāng)時可得，，得，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，則，參變分離得到對任意恒成立，最后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得解．
【詳解】解：因為對任意恒成立，
顯然．
當(dāng)時，顯然成立．
當(dāng)時，由，即，令，得．
令，，則
即在上單調(diào)遞增．
由即，易知，由在上單調(diào)遞增得．
由得，于是，所以對任意恒成立．
令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
于是在上的最大值為．所以．
17．．
【分析】由換元法對不等式化簡，構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化后求解
【詳解】令，
則，．
即，
得．由是奇函數(shù)得，
所以．
令，
則對任意實數(shù)x恒成立，于是在R上單調(diào)遞增．
即．由在R上單調(diào)遞增得，即，解得．
所以t的取值范圍是．

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