近幾年的高考數(shù)學試題中頻頻出現(xiàn)導數(shù)與三角函數(shù)零點問題的內(nèi)容，主要包括函數(shù)零點個數(shù)的確定，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍，隱零點問題及零點存在性賦值理論，其形式逐漸多樣化、綜合化．我們知道，很多函數(shù)的解析式含有超越式，通過解方程的方式無法求解出其零點，但是通過觀察可以發(fā)現(xiàn)其零點，此時往往可以把零點作為解決問題的突破口，使問題迎刃而解．
例1已知函數(shù)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解：由題目已知條件結(jié)合特殊值賦值法，可令，則恒成立，設，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增．又因為，所以．
反之若，則：
．
．
綜上所述，．
名師點評：本題中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的零，點為1是一個關鍵點，從而可得到不等式成立的一個必要條件為；當然，在證明過程中還用到了切線不等式：，合理利用這兩個不等式進行放縮．
二、極值點第三充分條件
高中數(shù)學中，關于極值點的定義不是很清晰，這是因為嚴格的極值的定義需要用到高等數(shù)學領域中極限等概念·眾所周知，可導函數(shù)導數(shù)值為零僅僅是極值點的一個必要而非充分條件．為了避開極限等概念，高中數(shù)學判定極值點往往是先判斷出函數(shù)在整個區(qū)間的單調(diào)性，再來確定極值．而當函數(shù)比較復雜或者含有參數(shù)時，這種方法就很煩瑣．下面給出高等數(shù)學中的極值點第三充分條件，由于其證明需要用到高等數(shù)學知識，因而一般學生不必掌握，但對于學有余力的學生，可以嘗試理解并記住結(jié)論加以應用．
極值點第三充分條件：若函數(shù)在處有連續(xù)的n階導數(shù)，且滿足
，但，則有：
ⅰ）若n為奇數(shù)，不是函數(shù)的極值點；
ⅱ）若n為偶數(shù)，是函數(shù)的極值點．
例2已知函數(shù)，若存在，使得當時，有恒成立，求a的值．
解：已知條件有，，，
故有．
因為存在，使得當時，有恒成立，且，顯然不是的極值點，由極值點第三充分條件，必有．
名師點評：這個定理給出了在前階導數(shù)值均為0，第n階導數(shù)不為0的情況下，判斷極值點的方法．
三、由泰勒展開公式作分析
泰勒公式是高等數(shù)學中的一個非常重要的內(nèi)容，它將一些復雜的函數(shù)逼近，近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，泰勒公式這種化繁為簡的功能，使得它成為分析和研究許多數(shù)學問題的有力工具．泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算上有獨特的優(yōu)勢．利用泰勒公式可以將非線性問題化為線性問題，且具有很高的精確度，因此其在微積分的各個方面都有重要的應用．泰勒公式可以應用于求極限，判斷函數(shù)極值，求高階導數(shù)在某點的數(shù)值，判斷廣義積分收斂性，近似計算，不等式證明等方面．
泰勒公式：設在含有的區(qū)間內(nèi)有直到階的連續(xù)導數(shù)，則可以按的方冪展開為
此式稱為按的冪展開的n階泰勒公式．
常見函數(shù)的泰勒展開式
1．
2．
3．
4．
例3
1．已知函數(shù)，若對任意的恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
名師點評：本例中函數(shù)是多項式函數(shù)，函數(shù)是三角函數(shù)，運用泰勒展開式公式，我們可以把函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項式函數(shù)，這樣研究該函數(shù)更加方便，把自變量x定義在區(qū)間上，可以很容易得出函數(shù)在上恒成立的必要條件．事實上，本例中泰勒展開式為我們探尋參數(shù)m的分段點提供了重要參考．
隨著高考命題的深入開展，導數(shù)壓軸題并沒有走入桎梏，反而涌現(xiàn)出越來越多的經(jīng)典題型，這極大豐富了數(shù)學教學素材，對培養(yǎng)學生的綜合能力起到不可估量的作用．近幾年興起的與三角函數(shù)交匯的導數(shù)壓軸題可謂豐富多彩，?？汲Ｐ?，新高考改革政策的全面落實，目的就是為了培養(yǎng)個性化能力水平強的人才，這需要教師突破各種局限迎接各種挑戰(zhàn)，突破傳統(tǒng)的育人模式．改革將促進學生健康成長，讓每個學生的學習欲望得到全面激發(fā)，有利于促進每一個學生終身發(fā)展，有利于更好地科學選拔各類人才，有利于更好地維護社會公平．
正所謂“會當凌絕頂，一覽眾山小”，如果我們站在高等數(shù)學知識的高度，就可以輕松地看透問題的本質(zhì)，不會讓學生認為高考壓軸題有一種“難于天際”的感覺．當然，以上解法可能或多或少超越教學大綱，但畢競方法通透簡潔，還是有一定可取之處！
參考答案：
1．．
【分析】先求導得，借助進行放縮得到，從而得到時符合題意；
時，取，說明不合題意；時，把導數(shù)構(gòu)造成新的函數(shù)，先求得導數(shù)的單調(diào)性，
再說明在上單減，，不合題意，即可求解.
【詳解】，令，，令，則，
所以在上單增，，所以在上單增，，即，
故，
當時，在上恒成立，所以在上單增，；
當時，存在，使得，不恒成立；
當時，令，則，令，
則，令，解得，易知存在，使得，
故當時，單減，當時，單增，又，
故時，單減，所以，即，所以在上單減，
，不恒成立；
綜上：．
【點睛】本題關鍵點在于利用進行放縮得到，從而得到時符合題意，
當時，把導數(shù)構(gòu)造成新的函數(shù)，利用求得導數(shù)的單調(diào)性，
再說明在上單減，，不合題意.
三角函數(shù)和導數(shù)相結(jié)合問題是高考常見的類型，同時，在函數(shù)中會涉及三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，類似等類型，這三類廣義上被稱為超越函數(shù)，求解這類題目需要運用放縮、換元、分類討論等方法．在求導過程中，由于三角函數(shù)具有周期性，難以通過多次求導使三角函數(shù)消失，這造成學生思維上的障礙．因此，教師有必要通過深入研究和分析出三角函數(shù)與導數(shù)結(jié)合問題的解決方法，建立解決此類問題的數(shù)學思維模型，進而更加有效地解決此類問題．下面本文對三角函數(shù)與導數(shù)結(jié)合類型中隱零點問題進行探究．
1三角函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)結(jié)合的極值與隱零點問題
例1已知函數(shù)為的導數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
分析本題考查的是三角函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)的綜合問題，是一道導數(shù)的壓軸題．三角函數(shù)的出現(xiàn)從已知條件上就讓考生產(chǎn)生畏懼心理，達到初步選拔的作用．第（1）問中極大值的唯一性，本質(zhì)上還是在導數(shù)的層面上研究零點問題，零點值不能具體解得，注重考查隱零點的運用，進一步達到區(qū)分不同層次考生的目的．第（2）問表面上是常規(guī)的零點問題，實際上對考生提出進一步的要求，考查考生在分類討論的基礎上對隱零點問題的掌握和運用的程度，進而更加有效地起到區(qū)分和選拔考生的關鍵作用．
解析（1）由題意知（如圖1-甲所示）定義域為且（如圖1-乙所示），令，（如圖1-丙所示）．
因為函數(shù)與在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減．
又，，
所以，使得．
當時，；當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則為唯一的極大值點，故在區(qū)間上存在唯一的極大值點．
（2）將定義域分成四個區(qū)間：，進行函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)零點存在性的討論．
當時，在上單調(diào)遞減，存在唯一零點．
當時，由（1）知在內(nèi)存在唯一極大值點，
故引入對極值點和零點進行虛設，這種隱零點的使用是對考生數(shù)學抽象能力運用在具體題目中的進一步考驗．
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點．
又因為，所以，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又因為，，所以在上恒成立，此時不存在零點．
故當時，，從而在上不存在零點．
當時，在上單調(diào)遞減，，所以在存在唯一零點．
當時，，所以在沒有零點．
綜上，有且僅有2個零點．
點評本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，考查考生基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性四個關鍵能力，同時，對考生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學分析六個核心素養(yǎng)要求較高，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求解極值和零點問題，重點考查等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想．對函數(shù)多次求導將極值問題轉(zhuǎn)化成零點問題，需要較強的邏輯推理能力，實質(zhì)上極值點也是一類零點問題．零點問題主要有四類：零點存在性問題、零點個數(shù)問題、零點求解問題、零點應用問題，在求解零點過程中無法具體解得零點時，考生應該引入隱零點，隱零點一般采用設而不求的策略，可以虛設零點，估算零點位置，進而運用代換轉(zhuǎn)化、參數(shù)分離、放縮等方法解決問題．
2三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)結(jié)合中含有參數(shù)的極值與隱零點問題
例2已知函數(shù)．若在上有且僅有1個極值點，求a的取值范圍．
解析由題知（如圖2-甲所示），（如圖2-乙所示）．當時，無極值點．
當時，設，則（如圖2-丙所示）．
由于，故，使得，即，故．
因為，所以，
無極值點．
當時，無極值點．
當時，易知．因為在上有且僅有1個極值點，
所以，即，故a的取值范圍為．
點評本題重點考查三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性、特殊點和放縮法，先結(jié)合參數(shù)范圍確定單調(diào)性，再進行分類討論．關鍵是分析函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，通過二次求導得到，然后代入，通過的放縮，確定此區(qū)間內(nèi)無極值點，結(jié)合范圍進行適當放縮是解決三角函數(shù)型導數(shù)問題的必要方法，一些結(jié)論需要先證后用，對邏輯推理思維能力有較高要求．隱零點的運用要注重三個步驟：1）根據(jù)已知條件確定零點的存在范圍；2）根據(jù)零點的意義進行代數(shù)式的替換；3）結(jié)合前兩步確定目標函數(shù)的范圍．最后，結(jié)合零點存在性定理得到最終結(jié)果．
3三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)結(jié)合的不等式與隱零點問題
例3已知函數(shù)，當時，求證：對任意的，都有．
解析因為（如圖3-甲所示），
所以（如圖3-乙所示）．設，
則（如圖3-丙所示）．
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．
因為，，
所以，使得．當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減．
因為，所以當時，
對任意的，都有．
點評本題是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的綜合問題，根據(jù)型函數(shù)的特點，利用其性質(zhì)、范圍、導數(shù)等優(yōu)化函數(shù)表達式．同時在已知參數(shù)范圍的前提下，利用參數(shù)邊界的特點確定不等式的范圍，達到消參或者放縮不等式的目標．運算過程中對結(jié)果的估算也是必不可少的，估算可以減少不必要的計算過程，在解題過程中需要使用某個方程的根，當根無法求出時，需要借助隱零點的運用對函數(shù)進行分析，讓隱零點關聯(lián)作用得到充分發(fā)揮．
4三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)結(jié)合的恒成立與隱零點問題
1．已知函數(shù)．若對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
1．利用導數(shù)研究三角函數(shù)的性質(zhì)
三角函數(shù)的性質(zhì)主要是指單調(diào)性、奇偶性、對稱性等，利用導數(shù)研究這些性質(zhì)的途徑如下．
1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增（或遞減），則（或）．
2）可導奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，可導偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)．
3）當為函數(shù)的對稱軸時，函數(shù)取得最大或最小值，此時函數(shù)在最高點或最低點處的切線斜率為0，即．
例1設函數(shù)，則（ ）．
A．的最大值為
C．在單調(diào)遞增D．在單調(diào)遞減
解析
對于A，，A正確．
對于B，令，則，由，得，整理得，解得．
，所以，B錯誤．
對于C，易知
，
令，則在上單調(diào)遞減，且，
所以存在唯一的，使得，
當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，C錯誤．
對于D，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，D正確．
綜上，選A，D．
點評本題考查三角函數(shù)的恒等變換、周期、最單調(diào)性等性質(zhì)及函數(shù)零點、導數(shù)的應用．考查的知識容量大；需要考生掌握三角函數(shù)的恒等變換，熟練運用設參、三角函數(shù)的有界性、求導、函數(shù)零點判斷等知識與方法進行求解，考查的能力素養(yǎng)較全面．
2利用導數(shù)求三角函數(shù)的最值
要求三角函數(shù)的最值通常利用導數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性，進而求出最值．
例2已知三個內(nèi)角為A，B，C，且成等差數(shù)列，則的最小值為_________，最大值為_______．
解析因為成等差數(shù)列，所以，
由正弦定理得．
由余弦定理得．
由基本不等式得，所以．
由B是的內(nèi)角知，所以．
記，則
．
令，解得，由于，故．
當時，單調(diào)遞增，故，即．
當時，單調(diào)遞減，故，即．
因此，當時，取得最大值，且；當時，取得最小值，且．
綜上所述，的最小值為，最大值為．
點評該解法首先利用正弦定理、余弦定理、基本不等式求得角B的范圍，進而構(gòu)造函數(shù)，并利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最值，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學建模及數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的滲透與應用．
3利用導數(shù)求三角函數(shù)的極值點
利用導數(shù)求三角函數(shù)的極值點問題，常結(jié)合函數(shù)零點存在定理和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時，要緊扣極值點的概念進行求解，即函數(shù)在處滿足，若導函數(shù)的值在該點附近符合“左正右負”，則是極大值點；若符合“左負右正”，則是極小值點．
例3已知函數(shù)為的導數(shù)．證明：在區(qū)間存在唯一極大值點．
解析的定義域為，因為，
所以．令，
則．
在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，且，，
所以，使得，所以當時，；
當時，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點．
綜上所述，在區(qū)間存在唯一極大值點．
點評求得導函數(shù)后，可判斷出導函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)零點存在定理可判斷出，使得，進而得到導函數(shù)在上的單調(diào)性，從而證得結(jié)論．
4借助導數(shù)討論三角函數(shù)的零點個數(shù)
利用導數(shù)考查函數(shù)零點問題，經(jīng)常要使用零點存在定理，證明在某個區(qū)間內(nèi)存在零點．
例4已知函數(shù)為的導數(shù)．證明：有且僅有2個零點．
解析由題意知的定義域為．當時，
由例3可知在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減．
又，所以為在上的唯一零點．
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，所以，所以在上單調(diào)遞增，
此時，不存在零點．
又，
所以，使得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又，
所以在上恒成立，從而在上不存在零點．
當時，，則在上單調(diào)遞減．
又，所以在上存在唯一零點．
當時，，，所以，即在上不存在零點．
綜上所述，有且僅有2個零點．
點評本題考查了利用導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題．解決零點問題的關鍵是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點，同時，要利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點的唯一性，二者缺一不可．
5利用導數(shù)研究三角不等式問題
例5已知函數(shù)，．
（1）證明：當時，；
（2）若，求a的值．
解析（1）．
當時，，所以．
當時，，所以單調(diào)遞減，
而，所以．
當時，．
當時，．
設，則當時，，
所以單調(diào)遞增，，則．
（2）由已知條件得．設，所以．
由（1）知，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，．
若，則，故存在唯一，使得．
當時，單調(diào)遞減，
而，所以．
若，故存在唯一，使得．
當時，單調(diào)遞增，
而，所以．
若．
若，當時，．
當時，單調(diào)遞增，．
當時，單調(diào)遞減，
又，故；
當時，單調(diào)遞增，，
所以．
綜上，．
點評本題是三角不等式問題與導數(shù)應用的交會問題，在分類討論的基礎上，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值，充分考查了數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理及數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)．
6導數(shù)與三角結(jié)合的綜合問題
例6
1．已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.
（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；
（2）證明：；
（3）設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
點評本題是三角函數(shù)與導數(shù)結(jié)合的綜合問題，考查了變換、放縮等解題技巧及數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)

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