1.指對形式同時(shí)出現(xiàn)，可能需要利用指對同構(gòu)來解決問題
2.跨階同構(gòu)的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié):
（1）指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵，湊形是難點(diǎn).
（2）湊形的常用方法：為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時(shí)時(shí)對指對式進(jìn)行“改頭換面”，常用的方法有：、、、、、，有時(shí)也需要對兩邊同時(shí)加、乘某式等.
3.常見同構(gòu)式:
（1）與型：，；
（2）與型：，.
4.幾個(gè)常用函數(shù)的圖象：
【典型題示例】
例1 （2022·江蘇天一中學(xué)期末·16）已知函數(shù)（），若對于任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
A． ； B． ； C． ； D． .
【答案】A
【解析】，即
兩邊同時(shí)除以得
兩邊同時(shí)除以得，即
設(shè)函數(shù)，易得在單增
所以，易知，故
設(shè)，易得
所以，故，選A.
例2 (2022·江蘇省G4（揚(yáng)州中學(xué)、蘇州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)）高三上學(xué)期12月階段檢測)若不等式eq 2e\s\up6(x)－2＞－aln(x＋1)＋(a＋2)x對x∈(0，＋∞)恒成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】B
【分析】運(yùn)用同構(gòu)對不等式進(jìn)行變形，使得兩邊“結(jié)構(gòu)相同”，由于式子中含有ex、ln（x+1）及關(guān)于x的一次式，故應(yīng)考慮“跨階同構(gòu)”，即對不等式變形時(shí)，應(yīng)使得不等式兩邊一邊含ex、另一邊含ln（x+1）.
【解析】對eq 2e\s\up6(x)－2＞－aln(x＋1)＋(a＋2)x變形得：2ex－ax＞2（x+1）－aln（x+1）
一方面，2ex－ax＝2ex－a ln ex，
所以問題轉(zhuǎn)化為2ex－a ln ex＞2（x+1）－aln（x+1）對x∈(0，＋∞)恒成立
又因?yàn)閑x＞x+1，設(shè)f(x)=2ex－ax，則f(x) 在(0，＋∞)為增函數(shù)
故f/(x)=2ex－a≥0恒成立，故a≤2.
例3 已知函數(shù)，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由移項(xiàng)得：
（說明：將變量移至一邊的原則進(jìn)行變形）
即，兩邊同時(shí)加（x－1）得
（說明：系數(shù)升指數(shù)、按左右結(jié)構(gòu)相同的原則進(jìn)行變形）
即
設(shè)，則，所以單增
所以，即
設(shè)，則，所以在單減，在單增，
所以，所以.
點(diǎn)評：
對原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)．
例4 設(shè)a，b都是正數(shù)，若aea+1+b＜blnb（其中e 是自然對數(shù)的底數(shù)），則（ ）
A.ab＞e； B.b＞ea+1； C.ab＜e； D.b＜ea+1.
【答案】B
【解析】由已知aea+1+b＜blnb移項(xiàng)整理得aea+1＜blnbe，
為了實(shí)現(xiàn)“一邊一個(gè)變量”，兩邊同時(shí)除以e得aea＜belnbe，
為了實(shí)現(xiàn)“兩邊結(jié)構(gòu)相同”，對左邊“降階”得aea=ea·lnea
故ea·lnea＜belnbe （#）
設(shè)fx=x·lnx，（#）即為fea＜ fbe
∵a＞0，∴ea＞1
∵blnb-1＞0，b＞0，∴l(xiāng)nb＞1，故b＞e，be＞1
當(dāng)x＞1時(shí)，f'x=1+lnx＞0，fx單增
∴ea＜ be，即 ea+1＜b，選B.
例5 已知函數(shù)（），若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】∵
∴
兩邊加上得
設(shè)，則其單增
∴，即
令，則
∵的定義域是
∴當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減
∴當(dāng)時(shí)，取得極大值即為最大值，且
∴，∴即為所求.
例6 設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，若對任意的x∈(0，+∞)，不等式eλx-lnxλ≥0恒成立，則λ的取值范圍是 ．
【答案】[1e，+∞)
【解析】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，即λxeλx≥lnx?elnx對任意的x∈(0，+∞)恒成立．
設(shè)f(t)=tet，則f(λx)≥f(lnx)對任意的x∈(0，+∞)恒成立，
又f't=tet+et=(t+1)et，
∴當(dāng)t0，f(t)單調(diào)遞增．畫出圖象為
①當(dāng)x≥1e時(shí)，t1=λx>0，t2=lnx>-1，此時(shí)函數(shù)f(t)單調(diào)遞增，∴f(t1)>f(t2)，
即f(λx)≥f(lnx)，所以λx≥lnx對任意的x∈(0，+∞)恒成立，∴λ≥lnxx對任意的x∈(0，+∞)恒成立．
設(shè)gx=lnxx，x>0，則g'x=1-lnxx2，則當(dāng)01的情形，亦即λxeλx≥lnx?elnx.
設(shè)f(t)=tet(t>0)，則f't=tet+et=t+1et>0，
ft在t∈(0，+∞)上為增函數(shù).
由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax
設(shè)gx=lnxx，x>0，則g'x=1-lnxx2，
gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．
【解析三】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，λeλx≥lnx，即（λx）eλx≥xlnx對任意的x∈(0，+∞)恒成立．
當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，總有λxeλx>0，xlnx≤0.
只需考慮x>1的情形，亦即eλxlneλx≥xlnx.
設(shè)f(t)=tlnt(t>1)，則f't=1+lnt>0，
ft在t∈(1，+∞)上為增函數(shù).
由feλx≥fx得，eλx≥x，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax
設(shè)gx=lnxx，x>0，則g'x=1-lnxx2，
gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．
【解析四】由eλx-lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，λeλx≥lnx，即（λx）eλx≥xlnx對任意的x∈(0，+∞)恒成立．
當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，總有λxeλx>0，xlnx≤0.
只需考慮x>1的情形，得λx+ln?(λx)≥ln?x+ln?(lnx).
設(shè)ft=t+lnt(t>1)，則f't=1+1t>0，
ft在t∈(1，+∞)上為增函數(shù).
由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax
設(shè)gx=lnxx，x>0，則g'x=1-lnxx2，
gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．
例7 對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析一】將變形為，（說明：將參數(shù)移至一邊）
兩邊同時(shí)乘x得（說明：目的是湊右邊的結(jié)構(gòu)）
即（說明：目的是湊左右兩邊的結(jié)構(gòu)相同）（#）
設(shè)，則，單增
故由（#）得，
再令，則，易知當(dāng)
所以，即.
【解析二】將變形為，即
設(shè)，易知單增
故（以下同解法一，從略）.
點(diǎn)評：
為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時(shí)時(shí)對指對式進(jìn)行“改頭換面”，常用的恒等變形的方法有：x=elnx(x>0)，x=lnex(x∈R).
xex=ex+lnx；x+lnx=lnxex.
xex=elnx-x； x-lnx=lnexx.
x2ex=ex+2lnx；x+2lnx=lnx2ex.
exx2=ex-2lnx； x-2lnx=lnexx2.
有時(shí)也需要對兩邊同時(shí)加、乘某式等.
與為常見同構(gòu)式：，；與為常見同構(gòu)式：，.
【鞏固訓(xùn)練】
1.設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2. 設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是（ ）.

3．若對一切正實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
B.(-∞,1]C.(-∞,2]D.(-∞,e]
4.已知函數(shù)，（其中a為參數(shù)），若對任意x(0，)，不等式成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
5. 對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最大值是_____.
6. 關(guān)于的不等式對任意（其中）恒成立，則的取值范圍是_____.
7. 關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是_____.
8.已知函數(shù)fx=（x+1x）lnx，gx=memx+m若對任意的x∈(0，+∞)，不等式2fx-gx≤0恒成立，則m的取值范圍是 ．
9.( 2022·江蘇數(shù)學(xué)基地校聯(lián)考·22改編)已知函數(shù)eq f(x)＝ae\s\up6(x)－lnx－lna，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)≥eq \f(5,2)，則a的取值范圍是 .
10.（2022·江蘇天一中學(xué)）已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．
【答案與提示】
1.【答案】D
【分析】把不等式成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，得出恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.
【解析】因?yàn)椋坏仁匠闪?，即成立，即?br>進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，可得，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，
進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 故選：D.
2. 【答案】
【提示】變形為，構(gòu)造函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，即，只需，答案為.
3.【答案】B
【解析】（利用同構(gòu)）由得，兩邊同時(shí)加
即
設(shè)，則，單增
，即，故恒成立
恒成立
設(shè)，易得，所以.
4.【答案】
【解析】構(gòu)建同構(gòu)式處理不等式
由得，即，
兩邊同時(shí)加得
令,則，
∵為單調(diào)增函數(shù) ∴，即，
令,則
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，
∴，解得．
5.【答案】e
【提示】變形為.
6.【答案】
【提示】變形為.
7.【答案】
【提示】變形為，利用.
8.【答案】[2e，+∞)
【解析】2fx-gx≤0轉(zhuǎn)化為（x2+1）lnx2≤mxemx+mx，即x2lnx2+lnx2≤mxemx+mx，設(shè)ft=tet+t，則flnx2≤f(mx)對任意的x∈(0，+∞)恒成立，
又f't=tet+et+1=t+1et+1>0，f(t)單調(diào)遞增
所以lnx2≤mx，m≥2lnxx，易求得m≥2e
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2e，+∞)．
9.【答案】
10.【答案】（，）
【分析】由題可得，可構(gòu)造函數(shù)則，再求函數(shù)的最大值即可.
【解析】關(guān)于的不等式在上恒成立，則，
設(shè)，∴
∵，
∴在上單調(diào)遞增，
∴即，
設(shè)，
∴，令，得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴，
∴
故答案為：（，）.函數(shù)表達(dá)式
圖像
函數(shù)表達(dá)式
圖像
函數(shù)極值點(diǎn)
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