類型1.同構(gòu)單調(diào)性解決極值點(diǎn)偏移
例1.（2021新高考1卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，且，證明：.
解析：（2）因?yàn)椋?，即?br>故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).下面我們證明
由于，于是可得：.
構(gòu)造函數(shù)，則上式顯然成立，于是可得：
，得證！
注：此題條件透露了一個(gè)關(guān)鍵的條件：，所以可以進(jìn)行代換構(gòu)造出一個(gè)單調(diào)函數(shù)同構(gòu)出極值點(diǎn)偏移！但是，從同構(gòu)單調(diào)性視角來解決另一個(gè)不等式，我沒有想到，有興趣的讀者可以繼續(xù)研究！
例2.已知函數(shù)，若，不妨設(shè)，求證：.
證明：，為了消掉參數(shù)，即證明：
，于是只需函數(shù)在區(qū)間上遞增！求導(dǎo)易證！
類型2.利用同構(gòu)包裝極值點(diǎn)偏移
這一類問題就是利用同構(gòu)將函數(shù)或者最后的偏移不等式包裝的復(fù)雜，丑陋，乍一看可能無從下手，但是只要注意一些常見的指對同構(gòu)形式，適當(dāng)轉(zhuǎn)化，它就漏出真面目了！典例就是2022年甲卷21題.當(dāng)然，要玩同構(gòu)，這些基本的同構(gòu)形式必須熟悉：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤.
例3.若方程有兩個(gè)實(shí)根，且，證明：
證明：因?yàn)椋瑒t，令，其中，則有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根、，令，，則關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，要證，即證，即證，即證，（這個(gè)結(jié)論我在前面已經(jīng)證明過，這里再度證明）
由已知，所以，，整理可得，
不妨設(shè)，即證，即證，
令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，
，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立.
點(diǎn)評：脫去同構(gòu)的外衣，它就是一個(gè)非常普通的極值點(diǎn)偏移!
習(xí)題1．已知函數(shù)，其中．
（1）略；
（2）令函數(shù)，若存在使得，證明：
.
證明：，令，則上述函數(shù)變形為，對于，，則，即在上單調(diào)遞增，所以若使得，則存在對應(yīng)的、，使得，證明. （前兩講已證，此處略去）
二．習(xí)題演練
習(xí)題1．（2022全國甲卷）
已知函數(shù).
（1）若恒成立，求的取值范圍；（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
解析：（1），令，則，于是
.于是等價(jià)于在上恒成立，故.
（2）由（1）可得有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在上有一個(gè)零點(diǎn)，即
，此時(shí)，有兩個(gè)解，且.（凌晨）
此時(shí)，，兩式相除，可得：.
于是，欲證只需證明：（對數(shù)均值不等式）.
即證明：，令，只需證明，易證！

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