一．基本原理
解決指對混合不等式時，常規(guī)的方法計算復(fù)雜，則將不等式變形為的結(jié)構(gòu)，即為外層函數(shù)，其單調(diào)性易于研究.常見變形方式： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤.
答題思路；
1.直接變形：
（1）積型：（同左）；
（同右）；
（取對數(shù)）.
說明：取對數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.
（2）商型：（同左）；
（同右）；
（取對數(shù)）.
（3）和差型：（同左）；
（同右）.
2.先湊再變形：
若式子無法直接進(jìn)行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見的有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
④
⑤
二．典例分析
例1.（2022全國甲卷）
已知函數(shù)．
（1）若,求的取值范圍；
（2）證明：若有兩個零點，，則．
解析：（1），令，則，于是
.于是等價于在上恒成立，故.
（2）由（1）知要使得有兩個零點，則
假設(shè).要證明即證明，又由于在單增，即證明.下面構(gòu)造函數(shù)
由于，又函數(shù)在單減，.
時在單調(diào)遞增，而
得證．
例2.已知函數(shù)．（為常數(shù)）若，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
解析：由題意得：；
即：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，構(gòu)造容易得：，所以只需要滿足.
例3．已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時，求的最小值；
（2）討論方程根的個數(shù).
解析：（1）的最小值是.
（2）由題，，則，
即.所以.由，得.當(dāng)時，；
當(dāng)時，；所以，在上遞減；在上遞增.
又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或.又，故和不可能同時成立.所以方程根的個數(shù)是兩函數(shù)和的零點個數(shù)之和，其中
當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)換為直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，，令，即，解得.
當(dāng)易知時，,單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
在處取得最小值為，所以時，直線與函數(shù)圖象無交點，函數(shù)無零點；時，直線與函數(shù)圖象有一個交點，函數(shù)有1個零點；時，直線與函數(shù)圖象有2個交點函數(shù)，有2個零點.
同理：函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，
設(shè)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在處的函數(shù)值為，所以故時，在上必有1個零點.綜上所述，時，方程有1個根；時，方程有2個根；時，方程有3個根.
例3.（2022全國新高考1卷）
已知函數(shù)和有相同的最小值.
（1）求；
（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
解析：（2）由（1）可得，的最小值在處取到，的最小值在處取到，且最小值均為1. 于是,在上增，在上減，則存在，使得
.這樣的話，令,且直線與兩條曲線和共有三個不同的交點.
另一方面，注意到，考慮函數(shù)，則.
設(shè)直線與兩條曲線和從左到右的三個交點橫坐標(biāo)為.且有.由上述討論可知：，故①，同理，由②可得：.又因為③
聯(lián)立①，②，③可得：，即從左到右的三個交點橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
習(xí)題演練
1. 若，則（ ）
A. B. C. D.
答案：C解： A選項：，設(shè)
，設(shè)，則有恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，從而存在，使得，由單調(diào)性可判斷出：
，所以在不單調(diào)，不等式不會恒成立B選項：
，設(shè)可知單調(diào)遞增.所以應(yīng)該，B錯誤C選項：，構(gòu)造函數(shù)，，則在恒成立。所以在單調(diào)遞減，所以成立.
D選項：，同樣構(gòu)造，由C選項分析可知D錯誤.
習(xí)題2.已知不等式最小值為（ ）
B. C. D.
解析：
，
只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，
，
令
故

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