?專題03不含參數(shù)的極值點偏移問題
函數(shù)的極值點偏移問題，其實是導數(shù)應用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)學問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)．
例．（2010天津理）已知函數(shù)，如果，且．
證明：．
【解析】法一（判定定理）：，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，，，時，，函數(shù)在處取得極大值，且，如圖所示．

由，不妨設，則必有，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，，
也即對恒成立．
由，則，
所以，
即，又因為，且在上單調(diào)遞減，
所以，即證．
法二：欲證，即證，
由法一知，故，
又因為在上單調(diào)遞減，故只需證，
又因為，故也即證，
構(gòu)造函數(shù)，
則等價于證明對恒成立．
由，
則在上單調(diào)遞增，
所以，即已證明對恒成立，
故原不等式亦成立．
法三：由，得，化簡得…①，
不妨設，由法一知，．
令，則，代入①式，得，
反解出，
則，故要證，
即證，
又因為，等價于證明：…②，
構(gòu)造函數(shù)，則，
故在上單調(diào)遞增，，
從而也在上單調(diào)遞增，，
即證②式成立，也即原不等式成立．
法四：由法三中①式，兩邊同時取以e為底的對數(shù)，得，
也即，從而，
令，則做證，等價于證明…③，
構(gòu)造，
則，
又令，則，
由于對恒成立，故，
在上單調(diào)遞增，
所以，從而，
故在上單調(diào)遞增，
由洛比塔法則知：，
即證，即證③式成立，也即原不等式成立．
【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的．
例．（2013湖南文）已知函數(shù)，證明：當時，．
【解析】易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當時，由于，所以；
同理，當時，．
當時，不妨設，由函數(shù)單調(diào)性知．
下面證明：，即證：，
此不等式等價于．
令，則，
當時，，單調(diào)遞減，從而，
即，
所以，
而，所以，又，
從而f．
由于，且在上單調(diào)遞增，
所以，即證．
四、招式演練：
1．已知
（1）若，求的最大值；
（2）若有兩個不同的極值點，，證明:.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）當時，對函數(shù)求導，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的最大值；
（2）對函數(shù)求導，則，即為方程的兩個不同的正根，表示出，將韋達定理代入化簡，并利用構(gòu)造新函數(shù)判斷單調(diào)性和最值的方法證得命題成立．
【詳解】
（1）當時，，
所以，則在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且有，
當時，，即為上的增函數(shù)，
當時，，即為上的減函數(shù)，
所以.
（2）證明：由題意知：由，
則，即為方程的兩個不同的正根，
故而需滿足：，解得，
所以

令，，
令，所以；
則為上的減函數(shù)，且，
所以當時，，即為上的增函數(shù)；
當時，，即為上的減函數(shù)，
所以，
所以，證畢.
【點睛】
本題考查導數(shù)證明不等式問題，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查學生邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題．
2．已知函數(shù)，若有兩個不同的極值點，，且.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）證明：；
（3）證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）轉(zhuǎn)化為為方程的兩個不同實根，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）知，在上遞減，要證，只需證 ，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)證明即可得證；
（3）先利用導數(shù)證明不等式在上成立，所以，，令，令為方程，即的兩個實根，根據(jù)，，可得，結(jié)合韋達定理可證不等式成立.
【詳解】
（1）， 則為方程，即的兩個不同實根，
令，，
令，得，令，得，
則在上遞增，在上遞減，
所以當時，取得最大值為，
所以，且，

（2）要證，因為在上遞減，所以只需證，即，即要證，由（1）知，所以，
令，，則，
令，，則為上的增函數(shù)，
所以，所以為上的增函數(shù)，
所以，即在上恒成立，
所以在上為增函數(shù)，所以，即，
所以.
（3）令，，則，，
因為為上的增函數(shù)，所以，
所以為上的增函數(shù)，所以，
所以為上的增函數(shù)，所以，
所以不等式在上成立，
所以，
且在上遞增，上遞減，
令為方程，即的兩個實根，，
其中.

由圖可知，，即，
所以
，得證.
【點睛】
本題考查了根據(jù)函數(shù)的極值點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了構(gòu)造函數(shù)解決導數(shù)問題，考查了利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.
3．已知函數(shù)有兩個零點.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）設、是的兩個零點，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）令可得出，構(gòu)造函數(shù)，可得出直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍；
（2）依題意，設，有，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究可得，結(jié)合，即可得證.
【詳解】
（1），當時，令，可得，
令，其中，則，
令，可得，列表如下：











單調(diào)遞減
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

所以，函數(shù)的極小值為，
當時，，當時，，如下圖所示：

由圖象可知，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；
（2）由（1）中的圖象可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，且一個交點的橫坐標為正、另一個交點的橫坐標為負，
即當時，函數(shù)有兩個零點，一個零點為正、另一個零點為負，
設函數(shù)的兩個零點分別為、，不妨設，有.
由，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.
又，所以，即.
當且時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，，所以，所以.
又，所以，所以.
【點睛】
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，考查分類討論思想及推理論證能力，屬于中檔題.
4．已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設，是的兩個不相等的正實數(shù)解，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求出導數(shù)，令，解出不等式即可；
（2）依題意可知，是的兩個不相等的正實數(shù)解，可建立不等式求出的取值范圍，在利用韋達定理將化為關(guān)于的函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)即可證明.
【詳解】
（1）依題意，，，
，
令，故，解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）依題意，，所以，是的兩個不相等的正實數(shù)解；
則，解得，
，
令，，，
則，∴在上單調(diào)遞減.
∴，
即.
【點睛】
本題考查利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)證明不等式，屬于較難題.
5．已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)增區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并證明.
【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，在處取得極小值，無極大值；（2），證明詳見解析.
【解析】
【分析】
（1）求函數(shù)的導數(shù)，令導函數(shù)大于0可求得單調(diào)遞增區(qū)間，小于0可求得單調(diào)遞減區(qū)間，從而求得極值.；
（2）在（1）和題設條件使得到極小值小于0得到的范圍，然后再證明在0的兩端都有大于0的函數(shù)值即可，同時也找到了兩個零點的范圍.
【詳解】
（1）由題意可得，
令，解得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
故的單調(diào)增區(qū)間為，
在處取得極小值，無極大值.
（2）由（Ⅰ）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，若有兩個零點，必有，即.
檢驗當時，函數(shù)有兩個零點.
由于，，，
則根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理知存在唯一，使得；
，令，則，
當時，，單調(diào)遞增，
所以，因此.
又因為，，
所以根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理知存在唯一，使得.
所以當時，函數(shù)有兩個零點.
因為，所以，即成立.
【點睛】
本題考查了導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，函數(shù)的單調(diào)性以及零點的判斷，考查了邏輯推理能力與計算能力.
6．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，，證明：．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求出導函數(shù)，研究在上解的個數(shù)，由的正負確定的單調(diào)性，確定極值點個數(shù)；
（2）由（1）知，當時，函數(shù)有兩個極值點，，且，．計算并轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，然后求出函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立．
【詳解】
解：（1），．
當時，，
在單調(diào)遞增，沒有極值點；
當時，令，時，或，
設當時，方程的兩根為，，且．
若，則，注意到，，
知的兩根，滿足．
當，，，單增；
當，，，單減，
所以只有一個極值點；
若，則，，
即恒成立，
在單調(diào)遞增，所以沒有極值點；
若，則，注意到，，
知的兩根，滿足．
當，，，單增；
當，，，單減；
當，，，單增；
所以有兩個極值點．
綜上：當時，有一個極值點；
當時，沒有極值點；
當時，有兩個極值點．
（2）由（1）知，當時，函數(shù)有兩個極值點，，
且，．
所以

，，
令，．
則，
所以在單調(diào)遞減，
所以，所以．
【點睛】
本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，證明有關(guān)極值點的不等式，證明有關(guān)極值點不等式的關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，利用極值點與題中參數(shù)關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的單調(diào)性．
7．已知函數(shù)，其中，.
（1）當時，在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若的極值點為，且，求證：.
【答案】（1）或；（2）證明見解析；
【解析】
【分析】
（1）在上是單調(diào)函數(shù)，利用其導數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值恒正或恒負即可求的范圍；（2）由極值點的導函數(shù)為0，有即得，又知，即可證；
【詳解】
（1）當時，，故，
，令，則由題意，若有對稱軸，在上恒正或恒負即可，
∴或，解得：或；
（2）由題意：且，又的極值點為，且，
∴，即，故有，
而知：，有即知：，
∴，即得證.
【點睛】
本題考查了利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性恒正或恒負求參數(shù)范圍，以及根據(jù)零點與導數(shù)的關(guān)系、已知等量關(guān)系證明不等關(guān)系；
8．已知函數(shù).（，，e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若，當時，，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若，存在兩個極值點，，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）將代入，得，再按及討論即可得解；
（2）將代入，得，由題意可得，不妨設，則，運用導數(shù)并結(jié)合第一小問的結(jié)論即可得證．
【詳解】
（1）當，則，
當時，，在，上單調(diào)遞增，；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，不成立，
實數(shù)的取值范圍為．
（2）證明：當時，，
函數(shù)存在兩個極值點，
，即，
由題意知，，為方程的兩根，故，
不妨設，則，
，
由（1）知，當，即（當且僅當時取等號），
當時，恒有，

，
又，
令，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），從而，
綜上可得：．
【點睛】
本題考查導數(shù)的綜合運用，考查恒成立問題及不等式的證明問題，涉及了分類討思想、轉(zhuǎn)化思想及放縮思維，屬于難題．
9．已知函數(shù)，(a，b∈R)
（1）當a=﹣1，b=0時，求曲線y=f(x)﹣g(x)在x=1處的切線方程；
（2）當b=0時，若對任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=0，b>0時，若方程f(x)=g(x)有兩個不同的實數(shù)解x1，x2(x12.
【答案】（1）（2）（3）證明見解析
【解析】
【分析】
（1）求出的導函數(shù)，求出函數(shù)在時的導數(shù)得到切線的斜率，然后用一般式寫出切線的方程；
（2）對，，都成立，則對，，，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出的最大值可得的范圍；
（3）由，得，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可．
【詳解】
（1）當時，時，，
當時，，
，
當時，，
曲線在處的切線方程為；
（2）當時，對，，都成立，
則對，，恒成立，
令，則．
令，則，
當，，此時單調(diào)遞增；
當時，，此時單調(diào)遞減，
，，
的取值范圍為；
（3）當，時，由，得，
方程有兩個不同的實數(shù)解，，
令，則，，
令，則，
當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減，
，
，
又，（1），
，
，
只要證明，就能得到，即只要證明，
令，
則，
在上單調(diào)遞減，則，
，
，
，
，
即，證畢．
【點睛】
本題主要考查求曲線的切線方程，不等式恒成立問題和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)思想和分類討論思想，屬難題．
10．已知函數(shù)，.
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)；
（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為，，求證：.
【答案】（1）2個；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）先對函數(shù)求導，然后結(jié)合導數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，然后再結(jié)合零點判定理即可求解；
（2）結(jié)合極值存在的條件及正弦與正切函數(shù)的性質(zhì)進行分析可證．
【詳解】
（1），，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，，，，，
故函數(shù)在，上不存在零點，
存在，使得，同理使得
綜上，在區(qū)間上的零點有2個.
（2），
由（1）可得，在區(qū)間，上存在零點，
所以在，上存在極值點，，，
因為在上單調(diào)遞減，則，

，
又因為，即，
又，
即，
，
，，，
由在上單調(diào)遞增可得．

再由在上單調(diào)遞減，得，
，
所以．
【點睛】
本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值與零點，同時考查了正弦函數(shù)與正切函數(shù)的性質(zhì)，試題具有一定的綜合性，屬于難題．
11．已知函數(shù)．
（1）若在上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）當時，記的兩個零點是
①求a的取值范圍；
②證明：．
【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）先對函數(shù)求導整理得出，結(jié)合研究的區(qū)間，對的范圍進行討論，結(jié)合函數(shù)在某個區(qū)間上不單調(diào)的條件，即既有增區(qū)間，又有減區(qū)間，即在區(qū)間上存在極值點，得到結(jié)果；
（2）①將函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點轉(zhuǎn)化為方程有兩個解，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得結(jié)果；
②結(jié)合①，求得兩個零點所屬的區(qū)間，利用不等式的性質(zhì)證得結(jié)果.
【詳解】
（1）因為，所以，
當時，可知在上恒成立，
即在上單調(diào)遞增，不合題意，
當時，即時，可知時，單調(diào)減，
當時，單調(diào)增，所以滿足在上不單調(diào)，
所以a的取值范圍是；
（2）①令，得，即有兩個解，
令，則，
所以當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當時，，當時，，且，
所以當時，記的兩個零點，a的取值范圍是；
②由①知，所以，
所以
【點睛】
該題考查的是有關(guān)導數(shù)的問題，涉及到的知識點有根據(jù)函數(shù)在某個區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)的取值范圍，利用導數(shù)根據(jù)函數(shù)的零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.
12．已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，．且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析； （2）.
【解析】
【分析】
（1）求得，對的范圍分類，即可解不等式，從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問題得解.
（2）由題可得：，由它有兩個極值點，可得：有兩個不同的正根，從而求得及，將恒成立轉(zhuǎn)化成：恒成立，記：，利用導數(shù)即可求得：，問題得解.
【詳解】
（1）因為，所以，
則①當時，是常數(shù)函數(shù)，不具備單調(diào)性；
②當時，由；由．
故此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
③當時，由；由．
故此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（2）因為
所以，
由題意可得：有兩個不同的正根，即有兩個不同的正根，
則，
不等式恒成立等價于恒成立
又


所以，
令（），則，
所以在上單調(diào)遞減， 所以
所以．
【點睛】
本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值知識，考查了轉(zhuǎn)化能力及函數(shù)思想，還考查了利用導數(shù)求函數(shù)值的取值范圍問題，考查計算能力，屬于難題.
13．已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)在，上的最大值；
（Ⅲ）若存在，，使得，證明：．
【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（Ⅱ）答案見解析；（Ⅲ）證明見解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求導，再令解得，從而由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論與，的關(guān)系，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的最大值即可；
（Ⅲ）可判斷出，，（e），；從而可得，，從而證明．
【詳解】
解：（Ⅰ）函數(shù)，
，令，解得，
當時，，此時在上單調(diào)遞增，
當時，，此時在，上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可知，需討論與，的關(guān)系：
①當，，即，時，
在，上的最大值為；
②當，即，時，由的單調(diào)性可知，
在，上的最大值為；
③當，即時，由的單調(diào)性可知，
在，上的最大值為；
綜上所述，當，時，在，上的最大值為；
當，時，在，上的最大值為；
當時，在，上的最大值為；
（Ⅲ）證明：，，
，；
，（e），；
，
，
故．
【點睛】
本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的最值的求法，同時考查了零點的判斷與應用，屬于難題．
14．已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點、，證明：.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求得函數(shù)的定義域與導數(shù)，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由韋達定理得出，將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式，令，可得出要證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明出對任意的恒成立即可.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域為，.
令，.
①當時，即當時，對任意的，，則，
此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當時，即當時，
方程有兩個不等的實根，設為、，且，
令，解得，.
解不等式，可得；
解不等式，可得或.
此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由（1）可知，、是關(guān)于的二次方程的兩個不等的實根，
由韋達定理得，
，
要證，即證，即證，
設，即證，
，設，即證，
構(gòu)造函數(shù)，其中，，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，，即.
故原不等式得證.
【點睛】
本題考查利用導數(shù)求解含參函數(shù)的單調(diào)性，同時也考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式，考查推理能力與計算能力，屬于難題.
15．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）當時，函數(shù)有兩個零點，，其中，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見詳解.
【解析】
【分析】
（1）先對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到在上恒成立，進而可求出結(jié)果；
（2）先由題意，得到，兩式作差整理，得到，推出，令，將證明轉(zhuǎn)化為證明即可，利用導數(shù)的方法，即可證明結(jié)論成立.
【詳解】
（1）因為，所以，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因為冪函數(shù)在顯然單調(diào)遞減，所以，因此只需；
（2）當時，，
因為函數(shù)有兩個零點，，
所以，
兩式作差可得：，
因此，
令，則，
要證，即證，即證，即證
令，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
因此，即在上恒成立，
所以.
【點睛】
本題主要考查由函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)，以及導數(shù)的方法證明不等式，屬于?？碱}型.
16．已知函數(shù)，曲線在點處切線與直線垂直．
（1）試比較與的大小，并說明理由；
（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：．
【答案】（1），理由見解析；（2）證明見解析．
【解析】
【分析】
（1）求出的導數(shù)，由兩直線垂直的條件：斜率相等，即可得到切線的斜率和切點坐標，進而的解析式和導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，可得，即可得到與的大??；
（2）運用分析法證明，不妨設，由根的定義可得所以化簡得，．可得，，要證明，．即證明，也就是．求出，即證，令，則，即證．令，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．
【詳解】
解：（1）函數(shù)，，
所以，又由切線與直線垂直，可得，即，解得．此時，，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
所以，即即，
即有：．
（2）證明：不妨設，因為，
所以化簡得，．可得，，
要證明，即證明，也就是．
因為，即證，
即，令，則，即證．令．
由，
故函數(shù)在是增函數(shù)，
所以，即得證．
所以．
【點睛】
本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)，運用單調(diào)性解題是解題的關(guān)鍵，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．
17．已知函數(shù).
（1）當時，證明：有唯一零點；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，（），求證：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)先對函數(shù)f(x)求導，再對a分類討論即可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進而求得最值;
(2)由函數(shù)的極值點得關(guān)于,的關(guān)系式以及參數(shù)a的范圍,構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的最值問題，再進行適當放縮即可證明.
【詳解】
（1）（）
∵，，所以在，上遞增，在遞減，
又，時，
所以有唯一零點；
（2）（）
.
若有兩個極值點，（），
則方程的判別式且，，
因而，
又，∴，即，

設，其中，
由得，由于，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即的最大值為，
從而成立.
【點睛】
本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，證明不等式，考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.
18．已知函數(shù)，曲線在點處切線與直線垂直.
（1）試比較與的大小，并說明理由；
（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：.
【答案】（1），理由見解析（2）詳見解析
【解析】
【分析】
（1）求出的導數(shù)，由兩直線垂直的條件，即可得切線的斜率和切點坐標，進而可知的解析式和導數(shù)，求解單調(diào)區(qū)間，可得，即可得到與的大?。唬?）運用分析法證明，不妨設，由根的定義化簡可得，，要證：只需要證： ，求出，即證，令，即證，令，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證.
【詳解】
（1）函數(shù)，，
所以，
又由切線與直線垂直，
可得，即，解得，
此時，
令，即，解得，
令，即，解得，
即有在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
所以
即
（2）不妨設，
由條件：
，
要證：只需要證：，
也即為，由
只需要證：，
設即證：，
設，則
在上是增函數(shù)，故，
即得證，所以.
【點睛】
本題主要考查了導數(shù)的運用，求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)，運用單調(diào)性解題是解題的關(guān)鍵，考查了化簡運算整理的能力，屬于難題.




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