對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：
（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式），取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
證明如下：不失一般性，可設(shè)．（1）先證：……①
不等式①（其中）
構(gòu)造函數(shù)，則．
因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.
（2）再證：……②
不等式②（）
構(gòu)造函數(shù)，則．
因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，從而不等式②成立；綜合（1）（2）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
注：對(duì)數(shù)均值不等式實(shí)際上是對(duì)數(shù)不等式鏈：在雙變?cè)樾蜗碌膽?yīng)用.
二．典例分析
例1. 已知函數(shù)（a為常數(shù)）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在兩個(gè)不相等的整數(shù)，滿足，求證：.
（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.
解析：（1）略；
（2），
故欲證，此為對(duì)數(shù)均值不等式，易證！
（3）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，不妨設(shè)，，即，要證：，需證：，只需證：，只需證：，
只需證：，只需證：，令，即證，對(duì)數(shù)均值不等式，易證！
注：已知函數(shù)，若，不妨設(shè)，則令，可得：.（*），利用（*）的結(jié)論，我們還可以證明上述例題中（2），（3），請(qǐng)讀者自行嘗試！除此之外，我們還可以證明：
若，則
總之，當(dāng)你把上述比值代換弄清楚后，可以衍生出很多題目來！
例2.(2011年遼寧卷)已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：
解：（2），由
，同除以得，
要證，只需證；
只需證；
根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式，故原命題得證.
例3.（2010天津卷）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果，且，證明：.
解析：（2）等價(jià)于，故可得：
，由對(duì)數(shù)均值不等式可得：，故.
小結(jié)：由上例可知，形如：或者型，對(duì)數(shù)式單獨(dú)放，在構(gòu)造對(duì)數(shù)均值不等式的方向上均是可行的.同時(shí)，一些指數(shù)結(jié)構(gòu)通過指對(duì)轉(zhuǎn)化，亦可轉(zhuǎn)化為上面兩個(gè)形式，利用對(duì)均不等式可得偏移.
當(dāng)然，比值代換適用范圍顯然比對(duì)數(shù)均值不等式廣，即一些難以轉(zhuǎn)化為對(duì)均不等式的極值點(diǎn)偏移結(jié)構(gòu)仍然還可以用比值代換來解決.
例4.（2021新高考1卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，且，證明：.
解析：方法2. 比值代換.
令，由，整理得，
于是，欲證只需證. 下面構(gòu)造函數(shù)：
，故只需證明即可，對(duì)求二階導(dǎo)數(shù)可證得.
除例4之外，比值（差值）代換還可用在更為廣泛的雙變量問題中，它們不再是極值點(diǎn)偏移，此時(shí)，把握住函數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造比（差）值代換的齊次特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
例5. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．
解析：（2）若函數(shù)有兩個(gè)零，點(diǎn)，，根據(jù)（1），可得．
不妨設(shè)，由，得
兩式相減，得，解得，要證明，即證，設(shè)，則．
則，則，
所以在上為增函數(shù)，從而，即成立，
因此，成立．即證.
例7.（2021新高考1卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，且，證明：.
解析：證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，
即，即證．記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，
即．
例6．已知函數(shù)，其中.
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.
解：（1）的取值范圍是.
(2)，對(duì)函數(shù)，設(shè)上一點(diǎn)為，
過點(diǎn)的切線方程為，將代入上式得，所以過的的切線方程為.所以，要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.，令，則，所以，所以，即
所以，令，
令，所以在上遞增.
因?yàn)?，所以在上恒成? 所以在上恒成立.
所以在上遞增. ，所以當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.
三．習(xí)題演練
習(xí)題1. （2022全國甲卷）已知函數(shù).
（1）若恒成立，求的取值范圍；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
解析：（2）此時(shí)，有兩個(gè)解，且.
此時(shí)，，兩式相除，可得：.
于是，欲證只需證明：（對(duì)數(shù)均值不等式）.易證！
習(xí)題2. 已知函數(shù)．
（1）求的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，證明：．
解：（1），定義域?yàn)?，，?
因此，函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；
（2）令，得，由題意可得，
兩式相加得，兩式相減得，
設(shè)，，要證，即證，即，令，即證.（易證，略?。?br>

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