比值代換.它不僅可以解決很多極值點偏移問題，還可以解決很多其他的雙變量問題. 通過比值代換，我們可以將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來處理，達到消元的效果.在處理比值代換時，首先應該注意一些常見的變換結(jié)構(gòu)：
方法1.假設，這樣的話欲證即證，于是，我們需要進一步找尋與的關(guān)系，從而實現(xiàn)比值代換.
方法2.對數(shù)減法：或是
方法3.齊次分式：例如：等；
方法4.合分比結(jié)構(gòu)：如果，則.
方法5.非對稱型：如或者商型結(jié)構(gòu)：或分式型等是應用比值代換的天然沃土.
二．典例分析
例1．（2021?廣州一模）已知函數(shù)．
（1）證明：曲線在點，（1）處的切線恒過定點；
（2）若有兩個零點，，且，證明：．
證明：（1），
（1），又（1），曲線在點，（1）處的切線方程為，即，當時，.
故直線過定點，.
（2），是的兩個零點，且，
，可得，
，
令，，構(gòu)造函數(shù)，求導可得
，令，則，則在上單調(diào)遞增，
而（2），，則在上單調(diào)遞增，
（2），可得，則，即，則．
例2．已知函數(shù)．若時，函數(shù)恰有兩個零點，，證明：．
證明：當時，，由題意知，
②-①得：，即③,令，則，且，
又因為，由③知：，所以，
要證，只需證，即證，
即，令，則，所以在上單調(diào)遞增且（1），所以當時，，即．
例3．已知函數(shù)，其中.
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)存在兩個極值點，當時，求的取值范圍.
解：因為，所以，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，故令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，即的取值范圍是.
(2)，對函數(shù)，設上一點為，
過點的切線方程為，將代入上式得，所以過的的切線方程為.所以，要使與有兩個交點，則，此時有兩個極值點，且.，令，則，所以，所以，即
所以，令，
令，所以在上遞增.
因為，所以在上恒成立. 所以在上恒成立.
所以在上遞增. ，所以當時，，所以的取值范圍是.
例4.（2018全國1卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點，證明：.
（1）略.
（2）證明：由（1）可得，當時，存在兩個極值點. 且是導函數(shù)的兩零點，故.
由于，由對數(shù)均值不等式可知，代入可得：
，證畢.
習題演練
習題. 已知函數(shù).
（1）討論的極值；
（2）若有兩個零點，，證明：.
解析：（1），當時，由于，故，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無極值；當時，由，得，
在上，，在上，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)有極小值，無極大值，
綜上：當時，無極值；當時，有極小值，無極大值.
（2）函數(shù)有兩個零點，，不妨設，由（1）得，且，則，，，即，要證：，需證：，只需證：，只需證：，
只需證：，只需證：，令，即證，設，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，則，即得.

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