我們都知道，高中階段很多函數(shù)問題都是含參數(shù)的，對于含參數(shù)的函數(shù)，可以將其簡記為，若將參數(shù)也視為自變量的話，那么就是一個二元函數(shù)，那么我們就可以用偏導數(shù)的思想來研究該函數(shù)，這就產生了一個重要的方法：主元法. 近年來，在高考試題中，主元法思想考察的相當頻繁，例如2019年浙江卷導數(shù)壓軸題和2020年天津卷導數(shù)壓軸題等，在這些問題中，使用主元法往往會起到意想不到的好處，從而使得整個問題得到圓滿的解決. 基于此，本文就通過幾個典例來展示主元法的基本應用手法.
例1.（2020天津）已知函數(shù)，為的導函數(shù).
（1）當時，（i）求曲線在點處的切線方程；
（ii）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；
（2）當時，求證：對任意的，且，都有
.
此處僅就第二問進行如下證明：
解析：由于，故，另一方面
，因此，要證
只需證明
即證. 令, 將上述不等式進行代換，可得以為變量，為參數(shù)的函數(shù). 進而可得：
，由于，由于，故. 由（1）可得：證畢.
注：此題在傳統(tǒng)的雙變量問題思路的基礎上，進一步需要結合主元思想才能將多參數(shù)問題解決.
例2.（2019年浙江卷）. 已知實數(shù)，設函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）對任意均有 求的取值范圍.
解析：(1)當時，，函數(shù)的定義域為，且：
，
因此函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.
(2)由，得，當時，，等價于，令，則，設，，則，
（i）當時，，則可得：
故，滿足題意.
（ii）當時，，
令，則，故在上單調遞增，，由（i）得，
，由（i）（ii）知對任意，即對任意，均有，
綜上所述，所求的的取值范圍是．
注：欲證不等式，此題以為主元構造二次函數(shù)討論易行，若以為主元此題函數(shù)過于復雜，很難通過求導找到單調性與最值.
有關函數(shù)凸凹性（詹森不等式）背景的雙變量問題也經常使用主元方法!下面我們通過例子說明.
例3. 已知函數(shù)，若，試比較與的大?。?br>解析：不妨設，，，令(a)，則，當時，；當時，，
在上單調增，在上單調減，當時，(a)，
由，故，則．
下面我們來看擬合法解決極值點偏移問題，相關例題較少，此處只列舉一道！
例4.（2020浙江）已知，函數(shù).
證明：函數(shù)在上有唯一零點；
記為函數(shù)在上的零點，證明：
；
.
解析：（1）略.
（2）
記.可證得：，且的根為，同理，的根為.最后，結合三個函數(shù)的圖象可知.
方法2實際上是用多項式曲線來擬合指對項，從而使得零點可解進而估計出零點范圍.
三．習題演練
習題1. 設函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）若，證明：．
解析：（1）函數(shù)，則，
令，解得：，且當時，，時，
因此：的極小值為
（2）構造函數(shù)，，
，，，在上是單調遞增的；故(b)(a)，即：另一方面，構造函數(shù)
，，
在上是單調遞減的，故(b)(a)即：
綜上，．
習題2.（2021新高考1卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調性；
（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
習題3.（2013陜西卷）已知函數(shù).
（1），（2）略.
（3）設，比較與的大小，并說明理由.
（3）解析：設
令。
，且
，
，故.

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