中考數(shù)學一輪復習專題1.5 角平分線的判定與性質(zhì)【八大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）-試卷下載-教習網(wǎng)

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\l "_Tc17141" 【題型1 利用角平分線的性質(zhì)求長度】 PAGEREF _Tc17141 \h 1
\l "_Tc22379" 【題型2 利用角平分線的性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc22379 \h 2
\l "_Tc19085" 【題型3 利用角平分線的性質(zhì)證明】 PAGEREF _Tc19085 \h 3
\l "_Tc32587" 【題型4 角平分線的判定】 PAGEREF _Tc32587 \h 4
\l "_Tc6038" 【題型5 尺規(guī)作角平分線】 PAGEREF _Tc6038 \h 6
\l "_Tc18514" 【題型6 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運用】 PAGEREF _Tc18514 \h 7
\l "_Tc12720" 【題型7 利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】 PAGEREF _Tc12720 \h 9
\l "_Tc2449" 【題型8 角平分線的性質(zhì)的實際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc2449 \h 10
【知識點1 角平分線的性質(zhì)】
角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：
若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.
【題型1 利用角平分線的性質(zhì)求長度】
【例1】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，則AE的長為（）

A．13B．12C．11D．10
【變式1-1】（2023春·貴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，射線AE平分∠BAC，過點E作EH⊥AC于點H，作EF⊥AB于點F，并延長FE交CD于點G，連接CE．若∠AEC=90°，EH=1則FG的長為．

【變式1-2】（2023春·福建漳州·八年級校考期中）如圖，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，則△BDE的周長是 cm．

【變式1-3】（2023春·陜西西安·八年級陜西師大附中?？奸_學考試）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E，若BD=5，則CE的值為．
【題型2 利用角平分線的性質(zhì)求面積】
【例2】（2023春·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，則△ABC的面積是（）

A．6B．9C．18D．36
【變式2-1】（2023春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=10，DE=3，則△BCE的面積等于（）
A．9B．13C．15D．30
【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC，若S△CDE:S△ABE=2:3，則S△ADE∶S△DCE= ．

【變式2-3】（2023春·山東棗莊·八年級?？计谀┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為．
【題型3 利用角平分線的性質(zhì)證明】
【例3】（2023春·四川綿陽·八年級校考期中）如圖，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點P．
(1)直接寫出∠DPE=___________°；

(2)求證：PD=PE；
(3)探究AB、AD、BE的數(shù)量關(guān)系．
【變式3-1】（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論．
【變式3-2】（2023春·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過O作OF⊥BC于F，

(1)試判斷∠AOB與∠COF有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若∠ACB=60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【知識點2 角平分線的判定】
角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
用符號語言表示角的平分線的判定：
若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB
【題型4 角平分線的判定】
【例4】（2023春·廣東江門·八年級臺山市新寧中學校考期中）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OABC，直線l垂直平分AC；作∠ABC的平分線交直線l于點D，連接AD，CD；
(1)尺規(guī)作圖補全圖形；
(2)判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【題型6 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運用】
【例6】（2023春·四川達州·八年級校考期中）如圖，△ABC中，點D在邊BC延長線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點E，過點E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH=50°．

(1)求∠ACE的度數(shù)；
(2)求證：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD=21，求△ABE的面積．
【變式6-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，點D、E分別在AB、AC邊上，連接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE．
（1）如圖1，求證：DF＝CF；
（2）如圖2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，連接BE交CD于H，求證：∠ABE＝∠CBE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的長．
【變式6-2】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．
(1)如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．
①直接寫出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系___________；
②連接AE，猜想∠BAE與∠CAE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點E在BD的延長線上，連CE，若已知DE=DC=AD，求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．
【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=60°，線段BF、CE分別平分∠ABC、∠ACB交于點G．

(1)如圖1，求∠BGC的度數(shù)；
(2)如圖2，求證：EG=FG；
(3)如圖3，過點C作CD⊥EC交BF延長線于點D，連接AD，點N在BA延長線上，連接NG交AC于點M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求線段MN的長．
【題型7 利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】
【例7】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，BF是中線，AE與BF相交于O，∠C>∠ABC以下結(jié)論正確的有（）

①∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C；②S△ABF=S△CBF；
③∠EAD=12∠C?∠ABC；④S△ABE:S△ACE=AB:AC；
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式7-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，BD，CE交于點O，分別過點O作OM⊥AB于點M，作ON⊥AC于點N．下列結(jié)論：①∠BOC=120°；②OE=OD；③AM=AN；④EM=DN．其中正確的有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個
【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE，CF分別是△ABC的中線、角平分線和高線，BE交CF于點G，交AD于點H，下面說法中一定正確的是（）
△ACD的面積等于△ABD的面積； ②∠CEG=∠CGE；
③∠ACF=2∠ABE； ④AH=BH．

A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∠BOD=45°，OF⊥AD，下列結(jié)論：①AD平分∠BAC；②AD=OG+OF；③若BD=3，AB=12，則AG=9；④ S△ACD:S△ABD=AB:AC；其中正確的是（）

A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④
【題型8 角平分線的性質(zhì)的實際應(yīng)用】
【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，兩條公路AO，BO交于點O，村莊M，N的位置如圖所示，M在公路OA上，現(xiàn)要修建一個快遞站P，使快遞站到兩條公路的距離相等，且到兩村莊的距離也相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．

【變式8-1】（2023春·湖南株洲·八年級校考期末）如圖，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC=1000m，一個人從B處出發(fā)沿著BC行走了800m到達D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時這個人到AB的最短距離為 m．

【變式8-2】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭P供大家休息，且涼亭P到草坪三邊的距離相等，利用直尺和圓規(guī)，確定涼亭P的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【變式8-3】（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，兩條公路AB，CD形成S區(qū)域，S區(qū)域內(nèi)有兩個農(nóng)貿(mào)市場E，F(xiàn)，現(xiàn)想在S區(qū)域內(nèi)建一個貨物中轉(zhuǎn)站M，使M不僅到兩條公路距離相等，且到兩個農(nóng)貿(mào)市場距離也相等，請在圖中求作點M的位置．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

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