中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題13.12 全等三角形章末十三大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2518" 【題型1 添加條件使成為全等三角形】 PAGEREF _Tc2518 \h 1
\l "_Tc3685" 【題型2 判定全等三角形的依據(jù)】 PAGEREF _Tc3685 \h 3
\l "_Tc28071" 【題型3 利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】 PAGEREF _Tc28071 \h 6
\l "_Tc32066" 【題型4 利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc32066 \h 12
\l "_Tc10683" 【題型5 利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】 PAGEREF _Tc10683 \h 16
\l "_Tc10276" 【題型6 全等三角形在網(wǎng)格中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc10276 \h 21
\l "_Tc8287" 【題型7 全等三角形在新定義中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc8287 \h 24
\l "_Tc8314" 【題型8 全等三角形的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc8314 \h 33
\l "_Tc23608" 【題型9 等腰三角形中分類討論】 PAGEREF _Tc23608 \h 38
\l "_Tc20863" 【題型10 雙垂直平分線求角度與周長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc20863 \h 43
\l "_Tc8726" 【題型11 角平分線與垂直平分線綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc8726 \h 46
\l "_Tc24897" 【題型12 尺規(guī)作圖與證明、計(jì)算的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc24897 \h 51
\l "_Tc2657" 【題型13 等邊三角形的十字結(jié)合模型】 PAGEREF _Tc2657 \h 57
【題型1 添加條件使成為全等三角形】
【例1】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=CD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△CDA的是（）

A．∠BCA=∠DCAB．∠BAC=∠DCAC．BC=ADD．∠B=∠D=90°
【答案】A
【分析】由已知我們可得到兩個(gè)三角形的兩邊相等（其中AC為公共邊），根據(jù)全等三角形的判定即可解答．
【詳解】解：∵AB=CD，AC=CA，
∴可以添加的條件是：BC=ADSSS，或∠BAC=∠DCASAS或∠B=∠D=90°HL，
故只有∠BCA=∠DCA仍無法判定△ABC≌△CDA；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）2022年冬季奧運(yùn)會(huì)在我國北京舉行，奧運(yùn)健兒們敢于拼搏、善于拼搏，在奧運(yùn)賽場(chǎng)上展現(xiàn)新時(shí)代中國運(yùn)動(dòng)員的精神風(fēng)貌和競(jìng)技水平，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，為奧運(yùn)健兒設(shè)計(jì)一只與圖1一樣的鞋子，已知：AB=DF，∠ABC=∠DFE，寫出可添加的條件并標(biāo)明依據(jù) ．（三個(gè)字母簡(jiǎn)寫理由，寫出一種情況即可）．
【答案】∠ACB=∠DEFAAS（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意增加條件進(jìn)行判定即可．
【詳解】解：由題意得可以增加的條件為：∠ACB=∠DEF，
在△ABC和△DFE中，
∠ACB=∠DEF∠ABC=∠DFEAB=DF，
∴△ABC≌△DFEAAS，
故答案為：∠ACB=∠DEFAAS．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）具備下列條件的兩個(gè)三角形，可以證明它們?nèi)鹊氖? ).
A．一邊和這一邊上的高對(duì)應(yīng)相等B．兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等
C．兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等D．直角三角形的斜邊對(duì)應(yīng)相等
【答案】B
【分析】根據(jù)判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分別進(jìn)行分析．
【詳解】解：A、一邊和這邊上的高對(duì)應(yīng)相等，無法得出它們?nèi)?，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等，通過如圖所示方式（倍長(zhǎng)中線法）可以證明它們?nèi)龋ā鰽BC≌△A′B′C′），故此選項(xiàng)正確.
．
C、兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，無法利用ASS得出它們?nèi)龋蚀诉x項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、直角三角形的斜邊對(duì)應(yīng)相等,無法得出它們?nèi)?，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
【變式1-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC與△DEF中，下列各組條件，不能判定這兩個(gè)三角形全等的是（）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠FB．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠DD．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【答案】B
【分析】
【詳解】利用全等三角形的判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS證明△ABC與△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，對(duì)應(yīng)邊不對(duì)應(yīng)，不能證明△ABC與△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA證明△ABC與△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS證明△ABC與△DEF全等；
故選B
點(diǎn)睛：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
【題型2 判定全等三角形的依據(jù)】
【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知太陽光線AC和DE是平行的，在同一時(shí)刻，如果將兩根高度相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽光照射下，其影子一樣長(zhǎng)．這里判斷影長(zhǎng)相等利用了全等圖形的性質(zhì)，其中判斷△ABC≌△DFE的依據(jù)是( )

A．SASB．AASC．SSSD．ASA
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意得出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，進(jìn)而得∠AGH=∠DKT，∠AHG=∠DTK=90°，據(jù)此即可判定△AGH和△DKT全等，從而得出答案．
【詳解】解：如圖，
，
依題意得：AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，
∴∠AGH=∠DKT，∠AHG=∠DTK=90°，
在△AGH和△DKT中，
∠AGH=∠DKT∠AHG=∠DTK=90°AH=DT，
∴△AGH≌△DKTAAS，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，找出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，進(jìn)而找出判定三角形全等的判定條件．
【變式2-1】（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將兩根鋼條AA′，BB′的中點(diǎn)O釘在一起，使AA′，BB′能繞點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成一個(gè)測(cè)量工具，測(cè)A′B′的長(zhǎng)即等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）．

A．邊角邊B．角邊角C．邊邊邊D．斜邊直角邊
【答案】A
【分析】由O是AA′、BB′的中點(diǎn)，可得：AO=A′O，BO=B′O，再由∠AOA′=∠BOB′，可以根據(jù)全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．
【詳解】∵O是AA′ 、BB′的中點(diǎn)，
∴AO=A′O，BO=B′O，
在△OAB和 △OA′B′中，
AO=A′O∠AOA′=∠BOB′BO=B′O，
∴△OAB≌△OA′B′SAS，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形判定方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法： SSS、SAS、ASA、AAS、HL，要證明兩個(gè)三角形全等，必須有對(duì)應(yīng)邊相等這一條件．
【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，某同學(xué)將一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶第塊去．（填序號(hào)）

【答案】③
【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．
【詳解】第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的;第三塊不僅保留了原來三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃.應(yīng)帶③去；
故答案為：③．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握常用的幾種方法的靈活運(yùn)用．
【變式2-3】（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校考期中）為了測(cè)量池塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，在地面上找一點(diǎn)C，連接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延長(zhǎng)線上確定點(diǎn)D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通過測(cè)量AD的長(zhǎng)，得AB的長(zhǎng)．那么△ABC≌△ADC的理由是（）
A．SASB．AASC．ASAD．SSS
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件可找到兩邊對(duì)應(yīng)相等且夾角相等，利用SAS即可證明△ACB≌△ACD,由此即可解決問題．
【詳解】解：∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠ACD=90°
則在△ACB和△ACD中,AC＝AC∠ACD＝∠ACB＝90°CD＝BC
∴△ABC≌△ADC（SAS）,
∴AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法,屬于中考?？碱}型．
【題型3 利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】
【例3】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于點(diǎn)M．

(1)△ABC與△DCB全等嗎？為什么？
(2)過點(diǎn)C作CE∥BD，過點(diǎn)B作BF∥AC，試判斷∠DCE和∠ABF的數(shù)量關(guān)系，并說明你判斷的理由
【答案】(1)△ABC≌△DCB，理由見解析
(2)∠DCE=∠ABF，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)SAS，直接可得△ABC≌△DCB；
（2）根據(jù)△ABC≌△DCB，可得∠A=∠D，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，等量代換即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）△ABC≌△DCB，理由如下，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB
（2）∵CE∥BD，BF∥AC，
∴∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠A=∠D，
∴∠DCE=∠ABF．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BD,CE都是△ABC的角平分線，BD交CE于點(diǎn)F，其中∠A=60°．
(1)求∠BFC的度數(shù)；
(2)求證：DF=EF.
【答案】(1)120°
(2)見解析
【分析】1首先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義得到∠DBC+∠ECB的度數(shù)；再次利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BFC的度數(shù)；
2結(jié)合1根據(jù)平角定義得到∠BFE=∠CFD=60°.在BC上截取BG=BE，連接GF，利用SAS可證得△BFE與△BFG全等，則EF=GF，∠BFE=∠BFG=60°；再利用ASA可證得△CFG與△CFD全等，則GF=DF，至此即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?60°=120°，
∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC+∠ECB=12∠ABC+∠ACB=60°，
∴∠BFC=180°?60°=120°；
（2）證明：如圖，在BC上截取BG=BE，連接GF，
∵∠BFC=120°，
∴∠BFE=∠CFD=60°，
∵BF=BF，BE=BG，∠EBF=∠GBF，
∴△BFE ≌△BFGSAS，
∴∠BFE=∠BFG=60°，F(xiàn)E=FG，
∴∠CFG=60°，
∵∠CFG=∠CFD=60°，CF=CF，∠FCG=∠FCD，
∴△CFG ≌△CFDASA，
∴FG=FD，
∴DF=EF．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，得到△BFE≌△BFG是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·廣西北?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥CP交CP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CP于點(diǎn)F．

(1)求證：△ACE≌△CBF；
(2)線段AE、BF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)BF=EF+AE，證明見解析
【分析】（1）利用垂線和余角，得出∠E=∠BFC=90°，∠CAE=∠BCF，再利用“AAS”，即可證明△ACE≌△CBF；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，AE=CF，CE=BF，再利用CE=EF+CF，即可求出線段AE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠E=∠BFC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠BFC∠CAE=∠BCFAC=BC，
∴△ACE≌△CBFAAS；
（2）解：BF=EF+AE，理由如下：
由（1）可知△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴CE=EF+CF=EF+AE=BF，
即BF=EF+AE．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，余角，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DE相交于點(diǎn)E．
(1)證明：AE⊥DE；
(2)如圖2，過點(diǎn)E作直線AB，AD，DC的垂線，垂足分別為F，G，H，證明：EF=EG=EH；
(3)如圖3，過點(diǎn)E的直線與AB，DC分別相交于點(diǎn)B，C（B，C在AD的同側(cè)）求證：E為線段BC的中點(diǎn)；
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】（1）根據(jù)AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，可得∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，再根據(jù)AB∥CD，有∠BAD+∠ADC=180°，即有∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=90°，問題隨之得解；
（2）先證明△AEF≌△AEG，即有EF=EG，同理可證：EH=EG，則問題得解；
（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM=AB，連接ME，先證明△AME≌△ABE，即有ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已證明∠AED=90°，即有∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°?∠AED=90°，即可得∠DEM=∠DEC，再證明△DME≌△DCE，即有ME=CE，問題得解．
【詳解】（1）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=90°，
∴∠E=180°?∠ADE+∠DAE=90°，
∴AE⊥DE；
（2）∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE平分∠BAD，
∴∠EFA=∠EGA=90°，∠BAE=∠DAE=12∠BAD，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG，
同理可證：EH=EG，
∴EF=EG=EH；
（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM=AB，連接ME，如圖，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，
∵AE=AE，AM=AB，
∴△AME≌△ABE，
∴ME=BE，∠AEM=∠AEB，
在（1）中已證明∠AED=90°，
∴∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°?∠AED=90°，
∴∠DEM=∠DEC，
∵∠ADE=∠CDE=12∠ADC，DE=DE，
∴△DME≌△DCE，
∴ME=CE，
∴ME=BE=CE，
∴ E為線段BC的中點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【題型4 利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或角的度數(shù)】
【例4】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D．

(1)試說明：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，求FC的長(zhǎng)度．
【答案】(1)見解析
(2)4cm
【分析】（1）由AB∥DE，得∠ABC=∠DEF，而AB=DE，∠A=∠D，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△ABC≌△DEF；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得BC=EF，則BF=CE=3m，即可求得FC=BE?BF?CE=4m．
【詳解】（1）證明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF
在△ABC和△DEF中
∠A=∠DAB=DE∠ABC=∠DEF
∴△ABC≌△DEFASA；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF
∴BC?FC=EF?FC，
即BF=CE
∵BE=10m，BF=3m
∴BF=CE=3cm，
∴FC=4cm
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠ABC=∠DEF是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，若CD=3，則AB= ．
【答案】6
【分析】根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，利用三角形全等的判定與性質(zhì)得到AB=2CD即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，作出Rt△ABC，連接CD并延長(zhǎng)，使DE=CD，連接BE，如圖所示：

∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
AD=BD∠ADC=∠EDBCD=ED,
∴△ADC≌△BDESAS，
∴AC=EB,∠A=∠ABE，
∴AC∥EB，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠EBC=90°，
在△ACB和△EBC中，
AC=BE∠ACB=∠EBC=90°CB=BC,
∴△ACB≌△EBCSAS，
∴AB=CE=2CD,
∵CD=3,
∴AB=2×3=6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形全等的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)，涉及倍長(zhǎng)中線方法作輔助線、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·陜西延安·八年級(jí)陜西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠AHE的度數(shù)為 °．
【答案】130
【分析】先判斷出△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠EBC，從而利用三角形內(nèi)角定理可得出∠ACB=∠AHB=50°，再由平角可得∠AHE的度數(shù)．
【詳解】∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠DAC=∠EBC
由三角形內(nèi)角定理可得：∠DAC+∠ACB=∠EBC+∠AHB
∴∠ACB=∠AHB=50°
∴∠AHE=180°?∠AHB=130°
故答案為：130．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能求出△ACD≌△BCE是解此題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，則AB= ．

【答案】6
【分析】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF，證明△ABE≌△AFE，可得BE=EF，∠BEA=∠AEF，再證明△DEF≌△DEC，得CD=DF，進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng)；
方法二：延長(zhǎng)DE、AB交于點(diǎn)G，證明△AEG≌△AED得AG=AD=18，ED=EG，再證明△BEG≌△CEDSAS得BG=CD=2AB，進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng)．
【詳解】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF

∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AFESAS
∴BE=EF，∠BEA=∠AEF
又∵∠BEA+∠DEC=90°，∠AEF+∠FED=90°
∴∠DEC=∠FED
∵E是邊BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE=FE
∵ED=ED
∴△DEF≌△DECSAS
∴CD=DF
AD=AB+CD=AB+2AB=3AB=18
∴AB=6
方法二：延長(zhǎng)DE、AB交于點(diǎn)G

∵AE平分∠BAD且∠AED=90°
∴∠GAE=∠DAE,∠GEA=∠DEA=90°
∵AE=AE
∴△AEG≌△AEDASA
∴AG=AD=18，ED=EG
∵BE=CE，∠BEG=∠DEC
∴△BEG≌△CEDSAS
∴BG=CD=2AB
∴AG=BG+AB=AB+2AB=3AB=18
∴AB=6
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．
【題型5 利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】
【例5】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD交AC于點(diǎn)F．

(1)求證：ΔBAD≌ΔCAE；
(2)猜想BD,CE有何特殊位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)BD⊥CE，理由見解析．
【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD，由三角形內(nèi)角和定理可求解．
【詳解】（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在ΔBAD和ΔCAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴ΔBAD≌ΔCAESAS
（2）猜想：BD⊥CE，理由如下：
由（1）知ΔBAD≌ΔCAE，
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°，
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°?∠DBC?∠DCB=180°?90°=90°，
∴BD⊥CE．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BD=BC，點(diǎn)E在BC上，且BE=AC，DE=AB．
(1)求證：△ABC≌△EDB；
(2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)AC∥BD，理由見解析
【分析】（1）運(yùn)用SSS證明即可；
（2）由（1）得∠DBE=∠BCA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得結(jié)論．
【詳解】（1）在ΔABC和ΔEDB中，
BD=BCBE=ACDE=AB，
∴ΔABC?ΔEDB(SSS)；
（2）AC和BD的位置關(guān)系是AC∥BD，理由如下：
∵ΔABC?ΔEDB
∴∠DBE=∠BCA，
∴AC∥BD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC的兩條高線BD、CE，延長(zhǎng)CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，連接AP、AQ，請(qǐng)判斷AQ與AP的數(shù)量與位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【答案】AP＝AQ，AP⊥AQ，見解析
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．
∵BP＝AC，CQ＝AB，
在△APB和△QAC中，
BP=AC∠ABD=∠ACQCQ=AB，
∴△APB≌△QAC（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，
∵∠CQA+∠QAE＝90°，
∴∠BAP+∠QAE＝90°．
即AP⊥AQ．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
【變式5-3】（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組拿了兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板進(jìn)行拼擺，并探究擺放后所構(gòu)成的圖形之間的關(guān)系，如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF．
(1)勤奮小組擺出如圖2所示的圖形，點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，連接BE和CF，求證：BE=CF．
(2)超越小組在勤奮小組的啟發(fā)下，把兩個(gè)三角形板按如圖3的方式擺放，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，連接CF，他們發(fā)現(xiàn)了BE和CF之間的數(shù)量和位置關(guān)系，請(qǐng)寫出這些關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)見解析；
(2)BE=CF，BE⊥CF，理由見解析．
【分析】（1）證明△BAE≌△CAF，即可得證；
（2）證明△BAE≌△CAF，得到∠ABE=∠ACF,BE=CF，進(jìn)而求出∠BCF=90°，得到BE⊥CF，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAE=90°?∠EAC，∠CAF=90°?∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF．
在△BAE和△CAF中，BA=CA∠BAE=CAFAE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴BE=CF．
（2）BE=CF,BE⊥CF．理由如下：
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAE=90°+∠EAC,∠CAF=90°+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中BA=CA∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF,BE=CF．
∵∠ABE+∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°，
∴BE⊥CF．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
【題型6 全等三角形在網(wǎng)格中的運(yùn)用】
【例6】（2023春·廣西崇左·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4= ．

【答案】180°
【分析】根據(jù)三角形全等求出∠1和∠4的數(shù)量關(guān)系以及∠2和∠3的數(shù)量關(guān)系，即可求出四個(gè)角之和．
【詳解】解：如圖所示，
在Rt△ABC中和Rt△BED中，AC=ED∠A=∠D=90°AB=BD，
∴△ABC≌△DBESAS．
∴∠4=∠BED，
∵∠1+∠BED=90°，
∴∠1+∠4=90°．
同理可證：∠2+∠3=90°．
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°．
故答案為：180°．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三角形全等的性質(zhì)以及觀察圖形分析出相等的邊長(zhǎng)和角度．
【變式6-1】（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)恰好是網(wǎng)格線的交點(diǎn)），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出全等三角形即可．
【詳解】解：如圖所示，
以BC為公共邊的全等三角形有三個(gè)分別為△A1BC，△A2BC，△A3BC，
以AB為公共邊的全等三角形有一個(gè)為△ABC1，
∴共有4個(gè)三角形與△ABC有一條公共邊且全等．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)都在3×3正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．則∠1+∠2= ．
【答案】45°
【分析】通過證明三角形全等得出∠1=∠3，再根據(jù)∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案．
【詳解】解：如圖所示，
由題意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵{AB=EF∠B=∠EFC=90°BC=FC
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=90°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°
故答案為：45°
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由證明三角形全等得出∠1=∠3是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均落在格點(diǎn)上，則∠BAD+∠ADC= ．
【答案】90°
【分析】證明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根據(jù)同角的余角相等和三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)F，
在△DCE和△ABD中，
∵{CE=BD=1∠E=∠ADB=90°DE=AD=3，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE=∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
故答案為：90度．
【點(diǎn)睛】本題網(wǎng)格型問題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定及直角三角形各角的關(guān)系，本題構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵．
【題型7 全等三角形在新定義中的運(yùn)用】
【例7】（2023春·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形．
（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱；
（2）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，設(shè)CD，BE相交于點(diǎn)O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A．請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與∠A相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）平行四邊形，等腰梯形，矩形等；（2）與∠A相等的角是∠DOB（或∠EOC）；猜想四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形；（3）存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形BDEC，見解析．
【分析】（1）本題理解等對(duì)邊四邊形的圖形的定義，平行四邊形，等腰梯形，矩形就是；
（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形；
（3）作CG⊥BE于G點(diǎn)，作BF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，易證△BCF≌△CBG，進(jìn)而證明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形．
【詳解】解：（1）如：平行四邊形，等腰梯形，矩形等．
（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），
∵∠A＝60°，∠DCB=∠EBC=12∠A，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，
∴與∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC），
猜想：四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形，
（3）存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形BDEC，
證明：如圖作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F，
在△BCF和△CBG中，
∠DCB=∠EBC∠BFC=∠CGBBC=BC
∴△BCF≌△CBG（AAS），
∴BF＝CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
在△BDF和△CEG中，
∠BDF＝∠CEB∠BFC＝∠CGE=90°BF＝CG
∴△BDF≌△CEG（AAS），
∴BD＝CE
∴四邊形BDEC是等對(duì)邊四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解等對(duì)邊四邊形的定義，把證明BD＝CE的問題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題．
【變式7-1】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：
如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠BAC+∠DAE＝180°時(shí)，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．
（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”，AM是“頂心距”．
①如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM＝ DE；
②如圖3，當(dāng)∠BAC＝120°，ED＝6時(shí)，AM的長(zhǎng)為．
（2）猜想論證：
在圖1中，當(dāng)∠BAC為任意角時(shí)，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
【答案】（1）①AM＝12DE ；② 3；（2）AM＝12DE．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AM=BM=CM=12BC，由全等三角形性質(zhì)可得BC=DE，即可求解；
②由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；
（2）過點(diǎn)A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAN=12∠DAE，ND=12DE，由全等三角形的性質(zhì)可得ND=AM，則可得結(jié)論．
【詳解】（1）①∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝90°；
∴∠EAD=90°
∵AB=AC，∠BAC＝90°
∴△ABC為等腰直角三角形
∵AM⊥BC
∴AM=12BC
在△ABC與△AED中，
∵{AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED
∴AM＝12DE．
② ∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°；
∴∠EAD=60°
∵AD=AE
∴△AED為等邊三角形
即：ED=AE=6
∴AB=AC=AE=6
∵∠BAC＝120°，AB=AC，AM⊥BC
∴∠ABM=30°
∴AM＝12AB=3．
（2）猜想：結(jié)論AM＝12DE．
理由如下：如圖，過點(diǎn)A作AN⊥ED于N
∵AE＝AD，AN⊥ED
∴∠DAN＝12∠DAE，ND＝12ED
同理可得：∠CAM＝12∠CAB，
∵∠DAE+∠CAB＝180°，
∴∠DAN+∠CAM＝90°，
∵∠CAM+∠C＝90°
∴∠DAN＝∠C，
∵AM⊥BC
∴∠AMC＝∠AND＝90°
在△AND與△AMC中，
{∠DNA=∠AMC∠DAN=∠CAD=AC
∴△AND≌△AMC（AAS），
∴ND＝AM
∴AM＝12DE
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，理解題意，運(yùn)用“頂補(bǔ)等腰三角形”的定義解決問題是本題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·四川遂寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．
(1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．則
①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=）
②連接線段BD和CE，則BD___________CE（填>、＜或=）
(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若點(diǎn)D、點(diǎn)E均在△ABC外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，則線段BD、CE還滿足以上數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由
【答案】(1)①=，②=
(2)BD=CE，見解析
【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義可知兩個(gè)三角形的頂角相等，利用角的和差即可得到①的結(jié)論；再結(jié)合“SAS”即可得到△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到∠BAD=∠CAE，再結(jié)合“SAS”即可得到△BAD≌△CAESAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）①∠BAD=∠CAE；
∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，
即∠BAD=∠CAE；
②BD=CE；
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE．
（2）滿足以上關(guān)系證明：如圖②，
∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題目信息識(shí)別出來全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個(gè)內(nèi)角、四條邊分別對(duì)應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請(qǐng)借助三角形全等的知識(shí)，解決有關(guān)四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D? 中，AB = A?B?，BC = B?C?，?B =?B?，?C =?C?，現(xiàn)在只需補(bǔ)充一個(gè)條件，就可得四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?．下列四個(gè)條件：① ?A =?A?；②?D =?D?；③ AD=A?D?；④CD=C?D?；
（1）其中，符合要求的條件是．（直接寫出編號(hào)）
（2）選擇（1）中的一個(gè)條件，證明四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?．
【答案】（1）①②④；（2）選④，證明見解析
【分析】（1）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
（2）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）符合要求的條件是①②④，
當(dāng)選擇①?A=?A?時(shí)，
證明：連接AC 、A?C?，
在△ABC與△ A?B?C?中，
{AB=AB∠B=∠BBC=BC，
∴△ABC ≌△A?B?C?(SAS )，
∴ AC=A?C?，?ACB=?A?C?B?，?BAC=?B ' A 'C '，
∵?BCD=?B?C?D?，
∴?BCD ? ?ACB=?B?C?D???A?C?B?，
∴?ACD=?A?C?D?，
∵?BAD=?B?A?D?，
∴?BAD ? ?BAC=?B?A?D? ? ? B?A?C?，
∴?DAC=? D?A?C?，
在△ACD和△A?C?D 中，
{∠DAC=∠DACAC=AC∠ACD=∠ACD，
∴△ACD ≌△A?C?D?(ASA ) ，
∴?D=?D '，DC=D?C?，DA=D?A?，
∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D?中，
AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?，
?B=?B?，?BCD=?B?C?D?，?D=?D?，?BAD=?B?A?D?，
∴四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?；
當(dāng)選擇②?D=?D?時(shí)，
證明：同理得到AC=A?C?，?ACD=?A?C?D?，
∵?D=?D?，
在△ACD和△A?C?D中，
{∠D=∠D∠ACD=∠ACDAC=AC，
∴△ACD ≌△A?C?D?(AAS ) ，
∴?D=?D '，DC=D?C?，DA=D?A?，
∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D?中，
AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?，
?B=?B?，?BCD=?B?C?D?，?D=?D?，?BAD=?B?A?D?，
∴四邊形ABCD≌四邊形A?B?C?D?；
當(dāng)選擇③AD=A?D?時(shí)，
在△ACD和△A?C?D中，
AC=A?C?，?ACD=?A?C?D?，AD=A?D?，
不符合全等的條件，不能得到△ACD ≌△A?C?D?；
（2）選④CD = C?D?，
證明：連接 AC、A?C?，
在△ABC與△A?B?C?中，
{AB=AB∠B=∠BBC=BC，
∴△ABC ≌△A?B?C?(SAS )，
∴ AC=A?C?， ?ACB=?A?C?B? ， ?BAC=?B ' A 'C '，
∵?BCD=?B?C?D?，
∴?BCD ? ?ACB=?B?C?D? ? ?A?C?B?，
∴?ACD=?A?C?D?，
在△ACD和△A?C?D中，
{AC=AC∠ACD=∠ACDCD=CD，
∴△ACD ≌△A?C?D?(SAS ) ，
∴?D=?D '， ?DAC=?D?A?C?， DA=D?A?，
∴?BAC??DAC=?B? A?C???D?A?C?，即?BAD=?B?A?D?，
∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D? 中，
AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?，
?B=?B?， ?BCD=?B?C?D?， ?D=?D?， ?BAD=?B?A?D?，
∴四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的全等，全等三角形的判定和性質(zhì)，多邊形的全等可以通過作輔助線轉(zhuǎn)化為證明三角形全等問題．關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【題型8 全等三角形的實(shí)際應(yīng)用】
【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD=165米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語AB的長(zhǎng)度為米．

【答案】165
【分析】由AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABP=∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．
【詳解】解：∵AB∥PM∥CD，PD⊥CD，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
根據(jù)題意可知：相鄰兩平行線間的距離相等，
∴BP=DP，
在△ABP和△CDP中，
∠ABP=∠CDP=90°BP=DP∠APB=∠CPD，
∴△ABP≌△CDPASA，
∴AB=CD=165米．
故答案為：165．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線之間的距離，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABP≌△CDP．
【變式8-1】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）1805年，法軍在拿破侖的率領(lǐng)下與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn).德軍在萊茵河北岸點(diǎn)Q處，如圖所示，因不知河寬，法軍大炮很難瞄準(zhǔn)敵營.聰明的拿破侖站在南岸的點(diǎn)O處，調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對(duì)面德國軍營Q處，然后他保持原來的觀察姿態(tài)，一步一步后退，一直退到點(diǎn)B處，發(fā)現(xiàn)自己的視線恰好落在他剛剛站立的點(diǎn)O處，讓士兵丈量他所站立的位置B點(diǎn)與O點(diǎn)之間的距離，并下令按照這個(gè)距離炮轟德軍.試問：法軍能命中目標(biāo)嗎？請(qǐng)說明理由.(注：AB⊥BQ，PO⊥BO，AB=PO，點(diǎn)B、O、Q在一條直線上)
【答案】解：法軍能命中目標(biāo)．
理由：由題意可得：AB=PO，∠A=∠P，
又∵AB⊥BO，PO⊥BQ，
∴∠ABO=∠POQ=90°．
∵在△ABO和△POQ中，∠A=∠PAB=PO∠ABO=∠POQ，
∴△ABO≌△POQ( ASA)，
∴BO=OQ，
因此，按照BO的距離炮轟德軍時(shí)，炮彈恰好落入德軍Q處．
【解析】由題意可得：AB=PO，∠A=∠P，再結(jié)合AB⊥BO，PO⊥BQ，證明△ABO≌△POQ( ASA)，利用全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．
本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，理解題意，利用構(gòu)建的全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)的不同單元樓，他們想要測(cè)量小華家所在單元樓AB的高度，首先他們?cè)趦蓷潌卧獦侵g選定一點(diǎn)E，然后小明在自己家陽臺(tái)C處看點(diǎn)E的視角為∠HCE．小華站在E處眼睛F看AB樓端點(diǎn)A的視角為∠AFG．發(fā)現(xiàn)∠HCE與∠AFG互余，已知CH∥BD∥GF，BG=EF=1.5米，BE=GF=CD=20米，BD=50米．求單元樓AB的高度．

【答案】單元樓AB的高為31.5米．
【分析】根據(jù)已知條件，證明△AGF與△EDC全等，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)再進(jìn)行計(jì)算即可得出．
【詳解】由題意得：∠AGF=∠EDC=90°，
∴∠CED+∠ECD=90°，
∵CH∥BD，
∴∠HCE=∠CED，
∵∠HCE+∠AFG=90°，
∴∠ECD=∠AFG，
∵BE=GF=CD=20（米），
∴FG=CD=20（米），
∴△AGF≌△EDCASA，
∴AG=ED=BD?BE=50?20=30（米），
∴AB=AG+BG=31.5（米），
∴單元樓AB的高為31.5米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及俯角仰角的知識(shí)，證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)湖南師大附中統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，請(qǐng)猜想圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（2）如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB=AD，∠B+∠D=180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)經(jīng)測(cè)量得到∠EAF=12∠BAD，BE=10米，DF=15米，試求兩涼亭之間的距離EF．
【答案】（1）EF=BE+FD，證明見解析；（2）25米
【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，利用SAS證明△ABE≌△ADG，推出AE=AG，∠BAE=∠DAG，再證明△AEF≌△AGFSAS，據(jù)此即可得到EF=BE+FD；
（2）延長(zhǎng)CD至H，使DH=BE，連接AH，利用SAS證明△ADH≌△ABE，推出AE=AH，∠BAE=∠DAH，再證明△AEF≌△AGFSAS，據(jù)此計(jì)算即可求解．
【詳解】解：（1）猜想：EF=BE+FD，
證明：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，
∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠ADG=90°，
在△ABE和△ADG中，BE=DG∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠BAE+∠DAF=120°?60°=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGFSAS，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（2）如圖2，延長(zhǎng)CD至H，使DH=BE，連接AH，
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADH+∠ADC=180°，
∴∠ADH=∠B，
在△ADH和△ABE中，AD=AB∠ADH=∠BDH=BE，
∴△ADH≌△ABESAS，
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD?∠EAF=∠EAF，
在△AEF和△AHF中，AE=AH∠EAF=∠HAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGFSAS，
∴EF=FH，
∵FH=DH+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∵BE=10米，DF=15米，
∴EF=10+15=25（米）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【題型9 等腰三角形中分類討論】
【例9】（2023春·重慶南岸·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D為AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），將△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于點(diǎn)F．若△DEF為等腰三角形，則∠BCD為（）

A．30°B．30°或60°C．50°D．30°或50°
【答案】B
【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)EF=ED時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠BCD=∠ECD，設(shè)∠BCD=∠ECD=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EFD=∠EDF=80°，則x+x+20°=80°，解出x即可；當(dāng)EF=DF時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠BCD=∠ECD，設(shè)∠BCD=∠ECD=y，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠E=∠FDE=20°，則∠EFD=140°，則y+y+20°=140°，解出y即可．
【詳解】解：當(dāng)EF=ED時(shí)，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠BCD=∠ECD，
設(shè)∠BCD=∠ECD=x，
∵∠B=20°，
∴∠FDC=x+20°，
∵△DEF為等腰三角形，EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF=80°，
∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，
∴x+x+20°=80°，
解得x=30°，
當(dāng)EF=DF時(shí)，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠BCD=∠ECD，
設(shè)∠BCD=∠ECD=y，
∵∠B=20°，
∴∠FDC=y+20°，
∵△DEF為等腰三角形，EF=DF，
∴∠E=∠FDE=20°，
∴∠EFD=140°，
∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，
∴y+y+20°=140°，
解得y=60°，
綜上所述，∠BCD的度數(shù)為30°或60°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，利用外角的性質(zhì)將角與角建立聯(lián)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2023春·陜西渭南·八年級(jí)?？计谥校┤舻妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為20°，則它的底角為（）
A．35°B．55°C．55°或35°D．70°或35°
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析，注意分類討論思想的運(yùn)用．
【詳解】解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，

∴∠A=70°，
∴∠ABC=∠C=180°?70°÷2=55°；
②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，

∴∠BAC=20°+90°=110°
∴∠ABC=∠C=180°?110°÷2=35°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩個(gè)定理是解決問題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中∠ABC=40°，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上，當(dāng)△ABD為等腰三角形，∠ADB= ．

【答案】20°或40°或70°或100°
【分析】畫出圖形，分四種情況分別求解．
【詳解】解：若AB=AD，
則∠ADB=∠ABC=40°；

若AD=BD，
則∠DAB=∠DBA=40°，
∴∠ADB=180°?2×40°=100°；

若AB=BD，且三角形是銳角三角形，
則∠ADB=∠BAD=12180°?∠ABC=70°；

若AB=BD，且三角形是鈍角三角形，
則∠BAD=∠BDA=12∠ABC=20°．

綜上：∠ADB的度數(shù)為20°或40°或70°或100°，
故答案為：20°或40°或70°或100°．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找齊所有情況，分類討論．
【變式9-3】（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∠FAC的平分線交BC于點(diǎn)G，連接FG，當(dāng)△DFG為等腰三角形時(shí)，∠FDG的度數(shù)為．

【答案】50°或65°或80°
【分析】先由軸對(duì)稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，再證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三種情況求解：當(dāng)GD=GF、DF=GF、DF=DG．
【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=∠C=25°．
∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=25°，AB=AF，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
AF=AC∠FAG=∠CAGAG=AG，
∴△AGF≌△AGC(SAS)，
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°．
①當(dāng)GD=GF時(shí)，
∴∠FDG=∠GFD=50°．
②當(dāng)DF=GF時(shí)，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=50°，
∴∠FDG=∠FGD=65°．
③當(dāng)DF=DG時(shí)，
∴∠DFG=∠DGF=50°，
∴∠FDG=80°，
故答案為：50°或65°或80°．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．
【題型10 雙垂直平分線求角度與周長(zhǎng)】
【例10】（2023春·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)E、F是∠BAC的邊AB上的兩點(diǎn)，線段EF的垂直平分線交AC于D，AD的垂直平分線恰好經(jīng)過E點(diǎn)，連接DE、DF，若∠CDF=α，則∠EDF的度數(shù)為（）

A．αB．4α3C．180°?2α3D．180°?4α3
【答案】D
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算判斷即可．
【詳解】∵線段EF的垂直平分線交AC于D，AD的垂直平分線恰好經(jīng)過E點(diǎn)，
∴DE=DF,AE=DE，
∴∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA，
∵∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA，
∴∠EAD=12∠DEF=12∠DFA，
∴∠CDF=12∠DFA+∠DFA=32∠DFA，
∴∠DFA=23∠CDF=23α，
∴∠EDF=180°?2∠DFA=180°?43α，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段的垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長(zhǎng)等于（）
A．6B．7C．8 D．12
【答案】C
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，AE=EC，進(jìn)而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC，從而可得答案．
【詳解】解：∵AB的垂直平分線交BC于D，
∴AD=BD，
∵AC的垂直平分線交BC于E，
∴AE=EC，
∵BC=8，
∴BD+CE+DE=8，
∴AD+AE+DE=8，
∴△ADE的周長(zhǎng)為8，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
【變式10-2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（）

A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°?12α
【答案】B
【分析】連接CO并延長(zhǎng)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OC，OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°?∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB+∠IBA=90°?α4，求出∠AIB．
【詳解】解：連接CO并延長(zhǎng)，

∵點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一個(gè)外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，
∴∠OCA+∠OCB=α2，
∴∠ACB=α2，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°?∠ACB)=90°?α4，
∴∠AIB=180°?(∠IAB+∠IBA)=90°+α4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長(zhǎng)為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為23cm，則OA的長(zhǎng)為．

【答案】6cm
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，從而可求出BC=11cm，然后根據(jù)△OBC的周長(zhǎng)為23cm，即可求出OB的長(zhǎng)，即可解答．
【詳解】解：∵OM是AB的垂直平分線，
∴DA=DB，OA=OB，
∵ON是AC的垂直平分線，
∴EA=EC，OA=OC，
∴OB=OC，
∵△ADE的周長(zhǎng)為11cm，
∴AD+DE+AE=11cm，
∴BD+DE+CE=11cm，
∴BC=11cm，
∵△OBC的周長(zhǎng)為23cm，
∴OB+OC=23?11=12cm，
∴OB=OC=6cm，
∴OA=OC=6cm，
故答案為：6cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【題型11 角平分線與垂直平分線綜合運(yùn)用】
【例11】（2023春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正確的有（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．1個(gè)
【答案】B
【分析】①由角平分線的性質(zhì)即可證明；②由題意可知∠EAD=∠FAD=30°，可得DE=12AD，DF=12AD，從而可以證明；③假設(shè)DM平分∠ADF，則∠ADM=∠FDM=30°，可推出∠ABC=∠E=90°，條件不足，故錯(cuò)誤；④連接BD、CD，證明Rt△BED≌Rt△CFD，Rt△BED≌Rt△CFD，得出BE=CF，AE=AF，即可證明AB+AC=2AE．
【詳解】如圖所示，連接BD、CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
故①正確；
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴DE=12AD．
同理DF=12AD，
∴DE+DF=AD．
故②正確；
∵∠EAD=∠FAD=30°，∠AED=∠AFD=90°
∴∠ADE=∠ADF=60°．
假設(shè)DM平分∠ADF，則∠ADM=∠FDM=30°，
∴∠EDM=∠ADE+∠ADM=90°．
∵DM⊥BC，
∴BC∥DE．
∴∠ABC=∠E=90°．
又∵∠ABC的度數(shù)是未知的，
∴不能判定DM平分∠ADF．
故③錯(cuò)誤；
∵DM是BC的垂直平分線，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．
∴BE=CF．
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE?BE+AF+CF=2AE．
故④正確；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式11-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D,DE恰好是AB的垂直平分線，垂足為E．若AD=6，則DE的長(zhǎng)為．

【答案】3
【分析】由角平分線性質(zhì)定理，得DE=DC，所以Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，于是AC=AE，由線段垂直平分線定理，得AD=BD=6；由面積公式S△ABD=12AB?DE=12BD?AC，化簡(jiǎn)求解．
【詳解】解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC．
∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD=6．
∴AC=AE．
∵S△ABD=12AB?DE=12BD?AC，
∴2AE?DE=6×AC．
∴DE=3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判定；運(yùn)用面積公式尋求線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式11-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分線CF與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)O，連接OB．若∠ABO=20°，則∠ACB= ．

【答案】72°
【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠OBC=∠OCB，由角平分線的定義可得∠ACF=∠OCB，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得∠ACF的度數(shù)，進(jìn)而可求解．
【詳解】解：∵OE垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠OCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠ABO+3∠ACF=180°，
∵∠A=52°，∠ABO=20°，
∴∠ACF=36°，
∴∠ACB=2∠ACF=72°．
故答案為：72°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理求解∠ACF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式11-3】（2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點(diǎn)D，DM⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N．若AB=3，BC=7，則AM的長(zhǎng)為．
【答案】2
【分析】連接AD，CD，由“AAS”可證△BDM?△BDN，可得BM=BN，由“HL”可證Rt△ADM?Rt△CDN，可得AM=CN，即可求解．
【詳解】解：連接AD，CD，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBCBD=BD，
∴△BDM?△BDNAAS，
∴BM=BN，DM=DN，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴AD=DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
AD=CDDM=DN，
∴Rt△ADM?Rt△CDNHL，
∴AM=CN，
∵AB=3，BC=7，
∴BC?AB=BN+CN?BM?AM=2AM=4，
∴AM=2，
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
【題型12 尺規(guī)作圖與證明、計(jì)算的綜合運(yùn)用】
【例12】（2023春·河南鄭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）
(2)在（1）的條件下，若AC=2，CB=5，則△CAP的周長(zhǎng)是___________．
【答案】(1)見解析
(2)7
【分析】（1）作線段AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)；
（2）根據(jù)AP=BP求出△CAP的周長(zhǎng)等于AC+BC即可得解．
【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求；

（2）解：連接AP，
由（1）知AP=BP，
∴△CAP的周長(zhǎng)為：AC+CP+AP=AC+CP+BP=AC+BC=2+5=7，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，連接AD．
(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)完成基本作圖：
作AD的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE、DF；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）
(2)求證：AE=DF．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程，不寫證明理由）．
證明：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴∠1=________．
∵EF為AD的垂直平分線，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF=________．
∴AE=________，
∴AE=DF．
【答案】(1)見解析
(2)∠2，∠AFE，AF
【分析】（1）利用基本作圖作AD的垂直平分線得到EF；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1= ∠2，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF=DF，進(jìn)而可得∠AEF= ∠AFE，根據(jù)等角對(duì)等邊得到AE= AF，等量代換即可解題．
【詳解】（1）解：直線EF，如圖所示：
（2）證明：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴∠1= ∠2．
∵EF為AD的垂直平分線，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF．
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF= ∠AFE，
∴AE= AF．
∴AE=DF．
故答案為：∠2，∠AFE，AF
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的作圖和性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握基本作圖和垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·河南許昌·八年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD．

(1)求證：DB=DE；
(2)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段BE的中點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）；若AB=4，求CF的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)作圖見解析，CF=1
【分析】（1）證明∠DBC=∠E=30°，利用等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論．
（2）過點(diǎn)D作DF⊥BE于F即可，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=AB=4，∠ACB=60°，再由BD是中線得CD=12AC=2，在Rt△DFC中，由∠CDF=90°?∠DCB=90°?60°=30°，即可得CF=12CD=1．
【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是中線，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
又∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠CDE=∠E=12∠ACB=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DB=DE．
（2）解：如圖所示．

由作圖可知：DF⊥BE，，由（1）知，DB=DE，
∴DF垂直平分BE．即點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=4，∠ACB=60°，
∵BD是中線，
∴CD=12AC=2，
∴在Rt△DFC中，∠CDF=90°?∠DCB=90°?60°=30°．
∴CF=12CD=1．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，尺規(guī)基本作圖-經(jīng)過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)A作直線l的垂線．
作法如下：
①以點(diǎn)A為圓心，a為半徑作弧交直線l于C、D兩點(diǎn)；
②分別以C、D為圓心，a長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在l下方交于點(diǎn)E，連接AE（路徑最短）；
i根據(jù)題意，利用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；
ii作圖依據(jù)為______________
（2）畫一畫，想一想：如圖，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠AOB的角平分線嗎？寫出作法，并證明．
【答案】（1）作圖見解析，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分上；
（2）見解析
【分析】（1）按照要求直接作圖，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得答案；
（2）按照角平分線的作法作出圖形，并用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明．
【詳解】（1）如圖所示，
連接AC,AD,CE,CD,
由作法得：AC=CE=AD=DE，
∴A，E在CD的垂直平分線上，
∴AE⊥CD
∴作圖依據(jù)為：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分上．
故答案為：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分上．
（2）作法：①在OA、OB上，利用刻度尺截取OC=OD，
②利用三角板的直角作CD⊥OB,DF⊥OA交于點(diǎn)P，
③作射線OP，
則OP為∠AOB的角平分線．
證明：∵CD⊥OB,DF⊥OA
∴∠OCP=∠ODP=90°
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
OP=OPOC=OD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP
∴∠POC=∠POD
即OP為∠AOB的角平分線．
【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖——垂線和角平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線和角平分線的性質(zhì)．
【題型13 等邊三角形的十字結(jié)合模型】
【例13】（2023春·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D是等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，、交于點(diǎn)，，為的角平分線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接、，，①；②；③；④；其中說法正確的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】先證明，得到，可判斷①；過點(diǎn)H作交延長(zhǎng)線于N，作于M，由角平分線的性質(zhì)得，可證明，推出是等邊三角形，再證明，，可判斷④；根據(jù)角之間的關(guān)系得出，即，可判斷③；在上截取，證明，得出，根據(jù)線段的和差，可判斷②．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和△CAE中，，
∴，
∴，故①正確；
過點(diǎn)H作交延長(zhǎng)線于N，作于M，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，④正確；
∵，，
∴，
∴，③錯(cuò)誤；
在上截取，
∵，
∴是等邊三角形，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正確，
∴正確的有：①②④，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)及判定，角平分線的性質(zhì)定理，涉及三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
【變式13-1】（2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等邊三角形，P是∠BAC平分線上一動(dòng)點(diǎn)連接PC、PD，則PC＋PD的最小值為．

【答案】20
【分析】連接BP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證AP垂直平分BC，即可得到CP=BP，再根據(jù)當(dāng)B，P，D在同一直線上時(shí)，BP+PD的最小值為線段BD長(zhǎng)，即可得出PD+PC的最小值為20．
【詳解】解：如圖，連接BP，

∵點(diǎn)P是∠BAC的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC，
∴AP垂直平分BC，
∴CP=BP，
∴PD+PC=PD+PB，
∴當(dāng)B，P，D在同一直線上時(shí)，BP+PD的最小值為線段BD長(zhǎng)，
又∵△ABD是等邊三角形，AB=BD=20，
∴PD+PC的最小值為20，
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．
【變式13-2】（2023春·福建廈門·八年級(jí)福建省廈門第六中學(xué)校考期中）如圖，等邊三角形△ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且EC=BD，AD，BE相交于點(diǎn)P．

(1)不添加輔助線，請(qǐng)?jiān)趫D中找出與BE相等的線段，并證明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的長(zhǎng)．
【答案】(1)AD=BE；證明見解析
(2)PQ=3
【分析】（1）由SAS證明△ABE≌△CAD即可；
（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，求出BP=BE?PE=6，證明∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，根據(jù)BQ⊥AD，求出∠PBQ=90°?∠BPD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出PQ=12BP=3．
【詳解】（1）解：AD=BE；理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵EC=BD，
∴AC?EC=BC?BD，
即AE=CD，
在△ABE和△CAD中，AB=CA∠BAC=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CADSAS，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，
∵PE=1，
∴BP=BE?PE=6，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60°，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=90°?∠BPD=30°，
∴PQ=12BP=3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法證明△ABE≌△CAD．
【變式13-3】（2023春·福建廈門·八年級(jí)福建省廈門第六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等邊三角形△ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且EC=BD，AD，BE相交于點(diǎn)P．

(1)不添加輔助線，請(qǐng)?jiān)趫D中找出與BE相等的線段，并證明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的長(zhǎng)．
【答案】(1)AD=BE；證明見解析
(2)PQ=3
【分析】（1）由SAS證明△ABE≌△CAD即可；
（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，求出BP=BE?PE=6，證明∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，根據(jù)BQ⊥AD，求出∠PBQ=90°?∠BPD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出PQ=12BP=3．
【詳解】（1）解：AD=BE；理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵EC=BD，
∴AC?EC=BC?BD，
即AE=CD，
在△ABE和△CAD中，AB=CA∠BAC=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CADSAS，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，
∵PE=1，
∴BP=BE?PE=6，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60°，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=90°?∠BPD=30°，
∴PQ=12BP=3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法證明△ABE≌△CAD．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多