TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18312" 【題型1 杠桿問題】 PAGEREF _Tc18312 \h 1
\l "_Tc4501" 【題型2 建筑物問題】 PAGEREF _Tc4501 \h 5
\l "_Tc20285" 【題型3 樹高問題】 PAGEREF _Tc20285 \h 9
\l "_Tc14088" 【題型4 河寬問題】 PAGEREF _Tc14088 \h 13
\l "_Tc209" 【題型5 影長問題】 PAGEREF _Tc209 \h 18
\l "_Tc13738" 【題型6 實驗問題】 PAGEREF _Tc13738 \h 24
\l "_Tc24437" 【題型7 九章算術(shù)】 PAGEREF _Tc24437 \h 29
\l "_Tc19518" 【題型8 實際生活抽象出相似】 PAGEREF _Tc19518 \h 32
\l "_Tc15828" 【題型9 三角形內(nèi)接矩形問題】 PAGEREF _Tc15828 \h 39
【題型1 杠桿問題】
【例1】（2023·吉林白城·校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，杠桿繞著支點轉(zhuǎn)動，另一端會向上翹起，石頭就被翹動了．在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點O），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點向下壓 cm．

【答案】27
【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得端點C向下壓的長度．
【詳解】解：由題意得，AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=AOBO，
∵AO=3OB，
∴ACBD=AOBO=3，
∴AC=3BD=27cm，
∴至少要將杠桿的C點向下壓27cm，
故答案為：27．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，正確地構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點C是支點，當用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓 cm．
【答案】45
【分析】如圖：AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN，即△ACM∽△BCN，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可．
【詳解】解：如圖，AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN，
∵AM∥BN，
∴△ACM∽△BCN，
∴ACBC=AMBN，
∵AB:BC=10:1，
∴ACBC=AMBN=9，即AM=9BN，
∴當BN≥5cm時，AM≥45cm，
故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓45cm．
故答案為：45．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，正確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學校考期中）如圖，以點O為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當杠桿OA水平時，拉力為F；當杠桿被拉至OA1時，拉力為F1，過點B1作B1C⊥OA，過點A1作A1D⊥OA，垂足分別為點C、D．①△OB1C∽△OA1D； ②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1．
其中正確的說法有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判斷出①正確；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；根據(jù)杠桿平衡原理：動力×動力臂=阻力×阻力臂列式判斷出③正確；求出F的大小不變，判斷出④正確．
【詳解】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，
∴B1C∥A1D，
∴△OB1C∽△OA1D，故①正確；
∵△OB1C∽△OA1D，
∴OCOD=OB1OA1，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OB1，OA=OA1，
∴OA?OC=OB?OD，故②正確；
由杠桿平衡原理，OC?G=OD?F1，故③正確；
∴F1G=OCOD=OB1OA1=OBOA是定值，
∴F1的大小不變，
∴F=F1，故④正確．
綜上所述，說法正確的是①②③④．
故選D．
【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·九年級階段練習）如圖1，在△ABC中，G是BC的中點，E是AG的中點，CE的延長線交AB于D，求AD：BD
（1）解：過G作GF∥AB，交CD于F．
請繼續(xù)完成解答過程：
（2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理”
解答本題：（如圖2）設(shè)G點為杠桿BC的支點，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg，G點承受質(zhì)量為2kg；當E點為杠桿AG的支點，則A端所掛物體質(zhì)量為2kg；
再以D為杠桿AB的支點時，AD：BD=1kg：2kg=1：2應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，G是BC上一點，E是AG上一點，CE的延長線交AB于D，且=，=2，求AD：BD
解：設(shè)G點為杠桿BC的支點，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，則C端所掛物體質(zhì)量為 kg，G點承受質(zhì)量為 kg；當E點為杠桿AG的支點，則A端所掛物體質(zhì)量為 kg；再以D為杠桿AB的支點時，AD：BD= ．
【答案】（1）AD：BD=1：2；（2）4，10，5，6：5．
【詳解】試題分析：（1）如圖1，過G作GF∥AB，交CD于F，得到△EFG∽△ADE，根據(jù)相似三角形的想知道的，求得GF=AD，根據(jù)△CGF∽△CBD，得到，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題目中提供的解題思路和方法，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案．
解：（1）如圖1，過G作GF∥AB，交CD于F，
∴△EFG∽△ADE，
∴，
∵E是AG的中點，
∴=1，
∴GF=AD，
∵GF∥BD，
∴△CGF∽△CBD，
∴，
∵G是BC的中點，
∴，
∴AD：BD=1：2；
（2）設(shè)G點為杠桿BC的支點，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，
∵=，
∴C端所掛物體質(zhì)量：B端所掛物體質(zhì)量==，
∴C端所掛物體質(zhì)量=4kg，G點承受質(zhì)量=C端所掛物體質(zhì)量+B端所掛物體質(zhì)量=10kg；
當E點為杠桿AG的支點，
∵=2，
∴A端所掛物體質(zhì)量：G點承受質(zhì)量=1：2，
∴A端所掛物體質(zhì)量=5kg；
以D為杠桿AB的支點時，AD：BD=B端所掛物體質(zhì)量：A端所掛物體質(zhì)量=6：5．
故答案為4，10，5，6：5．
考點：相似形綜合題．
【題型2 建筑物問題】
【例2】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，建筑物BC上有一個旗桿AB，小芳計劃用學過的知識測量該建筑物的高度，測量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB=3米，F(xiàn)D=4米，DE=5米，EG=1.5米，點A、B、C在一條直線上，點C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請你幫助小芳求出這座建筑物的高BC．
【答案】這座建筑物的高BC為14米．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出CD，進而解答即可．
【詳解】解：由題意可得，∠ACE=∠FDE=90°，∠AEC=∠FED，
∴△ACE∽△FDE，
∴ACFD=CEDE，即 3+BC4=CD+55，
∴CD=5BC?54，
由題意可得，∠BCG=∠FDG=90°，∠BGC=∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴BCFD=CGDG，即 BC4=CD+5+1.55+1.5，
∴6.5BC=4（CD+6.5），
∴6.5BC=4×5BC?54+26，
∴BC=14，
∴這座建筑物的高BC為14米．
【點睛】此題考查似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答．
【變式2-1】（2023春·山東濟南·九年級期末）小軍想出了一個測量建筑物高度的方法：在地面上點C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標記，然后向后退去，直至站在點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求這座建筑物的高度．
【答案】33米
【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出ABED=BCDC，進而得出AB的長．
【詳解】解：由題意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABED=BCDC，
∵小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，
∴AB1.65=603，
解得：AB＝33，
答：這座建筑物的高度為33m．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．結(jié)合平面鏡成像的特點證明兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）如圖，小明想測量河對岸建筑物AB的高度，在地面上C處放置了一塊平面鏡，然后從C點向后退了2.4米至D處，小明的眼睛E恰好看到了鏡中建筑物A的像，在D處做好標記，將平面鏡移至D處，小明再次從D點后退2.52米至F處，眼睛G恰好又看到了建筑物頂端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均為1.6米，求建筑物AB的高度．（注：圖中的左側(cè)α，β為入射角，右側(cè)的α，β為反射角）
【答案】32米
【分析】易得△ABC∽△EDC以及△ABD∽△GFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于x和y的方程組，求解即可．
【詳解】解：設(shè)AB為xm，BC為ym，
根據(jù)題意知，△ABC∽△EDC，有xy=1.62.4①．
△ABD∽△GFD，有xy+2.4=②．
聯(lián)立①②，得x＝32．
答：建筑物AB的高度為32m．
【點睛】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·四川達州·九年級?？计谀┤鐖D所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方．
①計算小亮在路燈D下的影長；
②計算建筑物AD的高．
【答案】①1.5米 ②12米
【分析】①根據(jù)EP⊥AB,CB⊥AB,找到∠EPA=∠CBA=90°，求證出△EAP∽△CAB根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例代入數(shù)據(jù)即可
②根據(jù)FQ⊥AB,AD⊥AB,找到∠BFQ=∠BDA求證出△BFQ～△BDA,根據(jù)對應(yīng)邊成比例代入數(shù)據(jù)計算即可
【詳解】①∵EP⊥AB,CB⊥AB,
∴∠EPA=∠CBA=90° ,
∵∠EAP=∠CAB,
∴△EAP∽△CAB
∴EPBC=APAB ，
∴1.89=2AB ，
∴AB=10,
∴BQ = 10- 2- 6.5= 1.5，
即小亮在路燈D下的影長是1.5米．
②∵FQ⊥AB,AD⊥AB,
∴FQ∥AB,
∴∠BFQ=∠BDA ,
∵∠BQF=∠BAD,
∴△BFQ∽△BDA
∴BQBA=FQDA ，
∴1.510=1.8DA ，
解得DA=12，
∴建筑物的高為12米．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解。
【題型3 樹高問題】
【例3】（2023春·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）小軍想用鏡子測量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他利用鏡子進行兩次測量，如圖，第一次他把鏡子放在點C處，他在點F處正好在鏡中看到樹尖A的像；第二次他把鏡子放在點C′處，他在點F′處正好在鏡中看到樹尖A的像．已知AB⊥BF′，EF⊥BF′，E′F′⊥BF′，小軍的眼睛距地面1.7m（即EF=E′F′=1.7m），量得CC′=12m，CF=1.8m，C′F′=4.2m．求這棵古松樹的高度AB．（鏡子大小忽略不計）

【答案】8.5米
【分析】先證明△ABC∽△EFC，得出EFAB=CFBC，再證明△ABC∽△E′F′C′，得出E′F′AB=C′F′BC′，由EF=E′F′，得出CFBC=C′F′BC′，繼而求出BC的長度，代入EFAB=CFBC即可求出AB的長度，即可得出答案．
【詳解】解：∵∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF，
∴△ABC∽△EFC，
∴ EFAB=CFBC，
∵∠ABC′=∠E′F′C′=90°，∠AC′B=∠E′C′F′，
∴△ABC∽△E′F′C′，
∴ E′F′AB=C′F′BC′，
∵EF=E′F′=1.7m，
∴ CFBC=C′F′BC′，
∵CC′=12m，CF=1.8m，C′F′=4。2m，
∴ 1.8BC=4.2BC+12，
解得：BC=9，
∴ 1.7AB=1.89，
解得：AB=8.5，
答：這棵古松樹的高度為8.5m．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期末）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽編撰的最早一部測量數(shù)學著作《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合．問島高幾何？
譯文：今要測量海島上一座山峰AH的高度，在B處和D處樹立標桿BC和DE，標桿的高都是3丈，B和D兩處相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且AH，CB和DE在同一平面內(nèi)．從標桿BC后退123步的F處可以看到頂峰A和標桿頂端C在同一直線上；從標桿ED后退127步的G處可以看到頂峰A和標桿頂端E在同一直線上．則山峰AH的高度是 ．
【答案】1255步
【詳解】試題解析：∵AH∥BC，
∴△BCF∽△HAF，
∴BFHF＝BCAH，
又∵DE∥AH，
∴△DEG∽△HAG，
∴DGHG＝DEAH，
又∵BC=DE，
∴BFHF＝DGHG，
即123123+HB＝127127+1000+HB，
∴BH=30750（步），
又∵BFHF＝BCAH，
∴AH=5×30750+123123=1255（步）．
【變式3-2】（2023春·九年級單元測試）如圖所示，在離某建筑物4m處有一棵樹，在某時刻，1.2m長的竹竿垂直地面，影長為2m，此時，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為2m，則這棵樹高約有多少米( )

A．6.4米B．5.4米C．4.4米D．3.4米
【答案】C
【分析】因為在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同，利用竹竿這個參照物就可以求出圖中的BE．BC是BE的影子，然后加上CD加上樹高即可．
【詳解】解：過點C作CE∥AD交AB于點E，

則CD=AE=2m，△BCE∽△B′BA′，
∴A′B′：B′B=BE：BC，
即1.2：2=BE：4，
∴BE=2.4，
∴AB=2.4+2=4.4．
答：這棵樹高約有4.4m．
故選：C．
【點睛】考查了相似三角形的應(yīng)用，此題主要是要知道在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同這個結(jié)論，然后根據(jù)題目條件就可以求出樹高．
【變式3-3】（2023春·九年級課時練習）如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別為AB=8m，CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，王紅估計自己眼睛距地面1.6m．她沿著連接這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進，在前進的過程中，她發(fā)現(xiàn)看不到右邊較高的樹的頂端C．此時，她與左邊較低的樹AB的水平距離（ ）

A．小于8mB．小于9mC．大于8mD．大于9m
【答案】A
【分析】連接CA并延長交FG于點N，過N作NM⊥l于點M，設(shè)NH=xm，證明△NHA∽△NKC，由相似三角形的性質(zhì)即可求得x的值，從而確定答案．
【詳解】解：如圖，連接CA并延長交FG于點N，過N作NM⊥l于點M，
∵FG∥l，EF，NM，HB，KD均垂直于直線l，
∴NM=HB=KD=FE=1.6m，
∴AH=AB?HB=6.4m，CK=CD?KD=10.4m；
由題意知，四邊形HBDK是矩形，則HK=BD=5m；
設(shè)NH=xm，則NK=NH+HK=(x+5)m，
∵AH∥CK，
∴△NHA∽△NKC，
∴AHCK=NHNK，
即+5，
解得：x=8；
當王紅剛好看到右邊較高的樹的頂端C時，她與左邊較低的樹AB的水平距離為8m，當她看不到較高的樹的頂端C時，則她與左邊較低的樹AB的水平距離應(yīng)小于8m；
故選：A．

【點睛】本題考查了相似三角形的實際應(yīng)用，正確理解題意，靈活利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型4 河寬問題】
【例4】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹，每隔4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每兩根電線桿之間的距離為80米，一同學站在距南岸9米的點P處，正好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，那么這條河流的寬度是 米．
【答案】36
【分析】根據(jù)題意，利用相似三角形的判定定理可得?ABP~?DCP，再由其性質(zhì)：相似三角形高的比等于相似比進行求解即可得．
【詳解】解：如圖，
∵北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，
∴AB=16m，DC=80m，
∵AB∥CD，
∴?ABP~?DCP，
ABDC=PEPF，
∵AB=16m，P到AB的距離即PE=9m，
∴1680=99+EF，
解得：EF=36m，
∴河寬為36米，
故答案為：36．
【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練運用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？计谀┤鐖D，小斌想用學過的知識測算河的寬度EF．在河對岸有一棵高4米的樹GF，樹GF在河里的倒影為HF，GF=HF，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當恰好站在點B處時看到岸邊點C和倒影頂點H在一條直線上，點C到水面EF的距離CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，F(xiàn)H⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，視線AH與水面EF的交點為D，請你根據(jù)以上測量方法及數(shù)據(jù)求河的寬度EF．
【答案】7.2米
【分析】首先推知△ABC∽△CED，△CED∽△HFD，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求得線段DF=6米，則EF=ED+DF=7.2米．
【詳解】解：∵BC∥EF，AB⊥BC，CE⊥EF，
∴∠ACB=∠CDE，∠ABC=∠CED=90°，
∴△ABC∽△CED，
∴ABCE=BCED，即，
∴ED=1.2．
∵CE⊥EF，F(xiàn)H⊥EF，
∴∠CED=∠HFD=90°，
∵∠CDE=∠HDF，
∴△CED∽△HFD．
∴FHCE=DFED，即40.8=DF1.2，
∴DF=6，
∴EF=ED+DF=7.2米，
∴河的寬度EF為7.2米．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．
【變式4-2】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）學習相似三角形相關(guān)知識后，善于思考的小明和小穎兩位同學想通過所學計算橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測量，BC=120米，DE=200米，且點E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點F，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AF的長度．
【答案】橋AF的長度為90米
【分析】過E作EG⊥BC于G，可得△ABC∽△ADE，即可得出ACCE=32，再由△ACF∽△ECG，可得ACEC=AFEG，進而得出AF的長．
【詳解】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ACAE=120200=35，
∴ACCE=32，
∵AF⊥BC，EG⊥BC．
∴AF∥EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴ACEC=AFEG即AF60=32
解得AF=90，
答：橋AF的長度為90米．
【點睛】本題主要考查了利用相似三角形的實際應(yīng)用．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點2米遠的B點，立一根長為1米的標桿AB，在河對岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點N，即PM=PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，經(jīng)測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？
【答案】10米
【分析】延長AB交EP的反向延長線于點H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，即可解決問題，
【詳解】解：延長AB交EP的反向延長線于點H，

則四邊形BDEH是矩形，
∴BH=DE=1.25，BD∥EH，
∴AH=AB+BH=AB+DE=1+1.25=2.25，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴BDHO=ABAH，
∴2OH=12.25，
∴HO=4.5，
∵PM=PN，MF=2.5米，F(xiàn)P=1.25米，
∴PN=MF+FP=3.75（米），
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴AHNP=HOPO，
∴，
∴PO=7.5，
∴PE=PO+OE=7.5+4.5?2=10（米），
答：河寬EP是10米．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造和證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
【題型5 影長問題】
【例5】（2023春·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期中）在陽光下，一名同學測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名同學測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.42米，則樹高為（ ）
A．6.93米B．8米C．11.8米D．12米
【答案】B
【分析】作出圖形，先根據(jù)同時同地物高與影長成正比求出臺階的高落在地面上的影長EH，再求出落在臺階上的影長在地面上的長，從而求出大樹的影長假設(shè)都在地面上的長度，再利用同時同地物高與影長成正比列式計算即可．
【詳解】如圖，∵DEEH=10.6，
∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8．
∵ABAF=10.6，
∴AB=(米)．
故選：B．
【點睛】考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是畫出圖形，把大樹的影長分成三段求出假設(shè)都在地面上的長度．
【變式5-1】（2023春·安徽安慶·九年級安慶市第四中學?？计谥校榱藴y量學校旗桿的高度AB，數(shù)學興趣小組帶著標桿和皮尺來到操場進行測量，測 量方案如下：如圖，首先，小紅在C處放置一平面鏡，她從點C沿BC后退，當退行1.8米到D處時，恰好在鏡子中看到旗桿頂點A的像，此時測得小紅眼睛到地面的距離ED為1.5米；然后，小明在F 處豎立了一根高1.6米的標桿FG，發(fā)現(xiàn)地面上的點H、標桿頂點G和旗桿頂點A在一條直線上，此時測得FH為2.4米，DF為3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，點B、C、D、F、H在一條直線上．
（1）直接寫出ABBC= ；
（2）請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計算學校旗桿AB的高度．
【答案】（1）56；（2）學校旗桿AB的高度為25米．
【分析】（1）根據(jù)已知條件推出△ABC∽△EDC，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件推出△HGF∽△HAB，即可求解．
【詳解】解：（1）∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ECD=∠ACB，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABBC=EDDC，
∵CD=1.8米，ED=1.5米，
∴ABBC=；
故答案為：56；
（2）設(shè)AB=x，則BC=65x，
∵∠ABH=∠GFH=90°，∠AHB=∠GHF，
∴△HGF∽△HAB，
∴ABGF=BHFH，
BH=BC+CD+DF+FH=65x+1.8+3.3+2.4=1.2x+7.5，GF=1.6米，F(xiàn)H=2.4米，
∴x1.6=1.2x+7.52.4，
解得：x=25．
答：學校旗桿AB的高度為25米．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．
【變式5-2】（2023春·安徽亳州·九年級蒙城縣第六中學階段練習）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．
①計算小亮在路燈D下的影長；
②計算建筑物AD的高．
【答案】①BQ=1.5；②DA=12．
【分析】解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解．
【詳解】①∵EP⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EPA=∠CBA=90°
∵∠EAP=∠CAB，
∴△EAP∽△CAB
∴EPBC=APAB
∴1.89=2AB
∴AB=10
BQ=10?2?6.5=1.5；
②∵HQ⊥AB，DA⊥AB，
∴∠HQB=∠DAB=90°
∵∠HBQ=∠DBA，
∴△BHQ∽△BDA
∴HPDA=BQAB
∴1.8DA=1.510
∴DA=12．
【點睛】本題考查了相似三角形，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行求解.
【變式5-3】（2023春·江蘇南通·九年級校考階段練習）閱讀以下文字并解答問題：在“測量物體的高度”活動中，某數(shù)學興趣小組的3名同學選擇了測量學校里的三棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作：
小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如1圖）．
小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上（如2圖），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米．
小明：測得丙樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上影長為3.2米（如3圖）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳測得他的影長為2米．
（1）在橫線上直接填寫甲樹的高度為______米，乙樹的高度為________米﹔
（2）請求出丙樹的高度．
【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙樹的高為5.56米
【分析】(1)如下圖1，根據(jù)測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲樹高，接著如下圖2先利用△C1D1E1～△CDE，求出C1E1的長，接著利用△A1B1E1～△D1C1E1，可得出乙樹的高；
(2)如下圖3，先通過△C2D2E2～△FGE2求出FG的長，然后通過△GFH～△DCH求出FH的長，最后通過△FGH～△B2A2H可求出丙樹的高．
【詳解】解：（1）如圖1，假設(shè)線段AB是甲樹，線段CD是竹竿，
線段BE和線段CE分別為甲樹和竹竿的影子，
∴CD=1m,CE=0.8m,BE=4.08m,
∵CD//AB,∴△ABE～△DCE,
∴CDAB=CEBE,
∴1AB=,
∴AB=5.1米，
故甲樹的高為5.1米；
如圖2，假設(shè)線段A1B1是乙樹，線段C1D1為乙樹在墻壁上的影長，
線段B1C1為乙樹落在地面上的影長，
∴C1D1=1.2m,B1C1=2.4m,
∵△C1D1E1與圖1中的△CDE相似，
∴C1D1CD=C1E1CE,∴1.21=C1E10.8,∴C1E1=0.96m,
又∵C1D1//A1B1，
∴△A1B1E1～△D1C1E1,∴A1B1D1C1=B1E1C1E1,∴A1B11.2=B1C1+C1E10.96,∴A1B11.2=2.4+,∴A1B1=4.2m,
故乙樹的高為4.2米；
故答案為：5.1，4.2；
（2）如圖3，假設(shè)線段A2B2是丙樹，線段B2F為丙樹落在地面上的影長，
線段FE2為丙樹落在坡面上影長，C2D2為小明，C2E2為小明落在坡面上影長，
則B2F=2.4米，F(xiàn)E2=3.2米，C2D2=1.6米，C2E2=2米，
∵C2D2//FG,∴△C2D2E2～△FGE2,∴C2D2FG=C2E2FE2,∴1.6FG=23.2,∴FG=2.56m,
又∵△GFH與圖1中的△DCE相似，
∴GFDC=FHCE,∴2.561=FH0.8,∴FH=2.048m,
又∵△FGH～△B2A2H,
∴FGB2A2=FHB2H,∴2.56B2A2=2.048B2F+FH,∴2.56B2A2=,∴B2A2=5.56m,
故丙樹的高為5.56米．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，有一定難度和綜合性，根據(jù)同一時刻影長與高成比例以及假設(shè)沒有墻或臺階時求出影長是解決問題的關(guān)鍵．
【題型6 實驗問題】
【例6】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級統(tǒng)考期中）兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了小孔成像的實驗．他們的做法是：在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個小孔，小孔對面的墻上就會出現(xiàn)外面景物的倒像．小宇在學習了小孔成像的原理后，利用如圖所示裝置來觀察小孔成像的現(xiàn)象．已知一根點燃的蠟燭距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm處，小宇測得蠟燭的火焰高度為4cm，則光屏上火焰所成像的高度為（ ）

A．8cmB．6cmC．5cmD．4cm
【答案】B
【分析】畫出圖像，根據(jù)“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”列比例式即可求出光屏上火焰所成像的高度．
【詳解】解：如圖，設(shè)蠟燭的高度為線段AB，蠟燭的像為A′B′，PC⊥AB于C，PC′⊥A′B′于C′，則PC=20cm，PC′=30cm．

由題知A′B′∥AB，
∴∠A′=∠A,∠B′=∠B，
∴△PA′B′∽△PAB，
∴A′B′AB=PC′PC，
∴A′B′4=3020，
解得A′B′=6(cm)，
即光屏上火焰所成像的高度為6cm．
故選：B
【點睛】本題主要考查了利用“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”解決實際問題．熟練掌握這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·陜西西安·九年級?？奸_學考試）如圖，嘉嘉同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．求燈泡到地面的高度AG．

【答案】1.2m
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可求解．
【詳解】證明：△BFC∽△BED，
故BCBD=FCED，即BCBC+4=1.53.5，
∴ BC=3，
∵ AC=5.4m，
∴ AB=5.4?3=2.4m，
∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，
∴ ∠FBC=∠GBA，
又∵ ∠FCB=∠GAB，
∴ △BGA∽△BFC，
∴ AGCF=ABBC，
∴ AG1.5=2.43，
解得：AG=1.2m，
∴燈泡到地面的高度AG為1.2m．
【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由相似得到對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023·陜西西安·校考一模）【學科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r，這就是光的反射定律．
【問題解決】如圖2，小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點FE到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，C，D在同一條直線上，求燈泡到地面的高度AG．
【答案】燈泡到地面的高度AG為1.2m．
【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進而求出AG的長．
【詳解】解：由題意可得：FC∥DE，
則△BFC∽△BED，
∴BCBD=FCDE，
即BCBC+4=1.53.5，
解得：BC=3，
∵AC=5.4m
∴AB=5.4?3=2.4m，
∵光在鏡面反射中的反射角等于入射角，
∴∠FBC=∠GBA，
又∵∠FCB=∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴AGAB=FCBC，
∴AG2.4=1.53，
解得：AG=1.2m，
答：燈泡到地面的高度AG為1.2m．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形，列出比例式是解題關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·河北唐山·九年級?？计谀┠承＞拍昙壱话嗟囊还?jié)數(shù)學活動課安排了測量操場上豎直的懸掛國旗的旗桿的高度．甲、乙、丙三個學習小組設(shè)計的測量方案如圖所示：甲組測得圖中BO=60米，OD=3.4米，CD=1.7米；乙組測得圖中，CD=1.5米，同一時刻影長FD=0.9米，EB=18米；丙組測得圖中，CD∥EF∥AB，l∥AD，AD=90米，EF=0.2米，人的臂長l為0.6米，請你任選兩種方案，利用實驗數(shù)據(jù)求出該校旗桿的高度．
【答案】30米
【分析】此題三種方案均為把實際問題抽象成三角形相似的問題，解題方法都是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出結(jié)果．采用甲組方案，證明△ABO∽△CDO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出ABCD=OBOD，然后求出該校旗桿的高度即可；采用乙方案，連接AE,CF，則∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，根據(jù)△ABE∽△CDF，可得EFAB=CFAC，即可求解；采用丙方案，根據(jù)△CFG∽△CAD，可得FGAD=CFAC，再由△CEF∽△CBA，可得EFAB=CFAC，從而得到EFAB=FGAD，即可求解．
【詳解】解：采用甲組方案，
在△ABO和△CDO中，
∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ABCD=OBOD，即AB1.7=603.4，
解得AB=30米，
即該校旗桿的高度為30米．
采用乙方案，
如圖，連接AE,CF，則∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，
∵∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，
∴△ABE∽△CDF，
∴ABBE=CDDF，即AB18=1.50.9，
解得：AB=30米，
即該校旗桿的高度為30米．
采用丙方案，
如圖，
∵l∥AD，
∴△CFG∽△CAD，
∴FGAD=CFAC，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴EFAB=CFAC，
∴EFAB=FGAD，即0.2AB=0.690，
解得：AB=30米，
即該校旗桿的高度為30米．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)建相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求解．
【題型7 九章算術(shù)】
【例7】（2023·河北·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是： 如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點，南門B位于EH的中點．從北門出去正北方向20步遠的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（ ）
A．105步B．200步C．250步D．305步
【答案】C
【分析】此題文字敘述比較多，解題時首先要理解題意，找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．
【詳解】設(shè)小城的邊長為x步，根據(jù)題意，
Rt△CAF∽Rt△CDM，
∴CACD=FAMD，
即2020+14+x=0.5x1775，
去分母并整理，
得x2+34x-71000=0，
解得x1=250，x2=-284（不合題意，舍去），
∴小城的邊長為250步．
故選：C．
【點睛】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程即可求出小城的邊長．
【變式7-1】（2023春·福建泉州·九年級晉江市第一中學?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（ ）米．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對應(yīng)邊成比例即可得出CD．
【詳解】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴1CD=0.41.6?0.4，
∴CD=3，
經(jīng)檢驗，CD=3是所列方程的解，
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·浙江·九年級專題練習）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：如圖，今有山AB位于樹的西面，山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，則山AB的高為（保留到整數(shù)，1丈=10尺）（ ）
A．162丈B．163丈C．164丈D．165丈
【答案】D
【分析】先求出各線段的長，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得出△ECH∽△EAG，列出比例式即可求出AG的長，從而求出結(jié)論．
【詳解】解：由題意可知：EF=HD=GB=7尺=0.7丈，CD=9丈5尺=9.5丈，BD=GH=53里，DF=EH=3里，AB⊥BF，CD⊥BF
∴CH=CD－HD=8.8尺，AB∥CD
∴△ECH∽△EAG
∴CHAG=EHEG
即8.8AG=33+53
解得：AG=246415
∴AB=AG＋GB=246415＋0.7≈165丈
故選D．
【點睛】此題考查的是相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·九年級單元測試）《九章算術(shù)》中記載了一種測距的方法．如圖，有座塔在河流北岸的點E處，一棵樹位于河流南岸的點A處，從點A處開始，在河流南岸立4根標桿，以這4根標桿為頂點，組成邊長為10米的正方形ABCD，且A，D，E三點在一條直線上，在標桿B處觀察塔E，視線BE與邊DC相交于點F，如果測得FC=4米，那么塔與樹的距離AE為 米．
【答案】25
【分析】根據(jù)題意可以利用正方形的性質(zhì)求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，從而運用相似三角形的性質(zhì)求解ED，即可得出結(jié)論．
【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，邊長為10米，
∴AD=CD=BC=10，F(xiàn)D=CD-CF=6，
∵AD∥BC，且A，D，E三點在一條直線上，
∴AE∥BC，
∴△FDE∽△FCB，
∴FDFC=EDBC，
即：64=ED10，
∴ED=15，
∴AE=AD+ED=25米，
故答案為：25．
【點睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，準確判斷出相似三角形，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【題型8 實際生活抽象出相似】
【例8】（2023春·全國·九年級專題練習）圖1是一種手機托架，使用該手機托架示意圖如圖3所示，底部放置手機處寬AB?1.2厘米，托架斜面長BD?6厘米，它有C到F共4個檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個檔位間的距離為0.8厘米，檔位C到B的距離為2.4厘米．將某型號手機置于托架上（圖2)，手機屏幕長AG是15厘米，O是支點且OB?OE?2.5厘米（支架的厚度忽略不計）．當支架調(diào)到E檔時，點G離水平面的距離GH為 cm．
【答案】453434
【分析】如圖3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性質(zhì)求出DT，BT，AD，即可求出GH的長．
【詳解】如圖3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB=OE=2.5cm，BE=2.4+0.8×2=4(cm)，OK⊥BE，
∴BK=KE=2(cm)，
∴OK=OB2?BK2=2.52?22=1.5(cm)，
∵∠OBK=∠DBT，∠OKB=∠BTD=90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴BKBT=BOBD=OKDT，
∴2BT=2.56=1.5DT，
∴BT=4.8(cm)，DT=3.6(cm)，AT=1.2+4.8=6(cm)，
∴AD=AT2+DT2=62+3.62=6534(cm)，
∵DT∥GH，
∴△ATD∽△AHG，
∴DTGH=ADAG，
∴3.6GH=653415，
∴GH=453434(cm)．
故答案為：453434．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
【變式8-1】（2023春·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（ ）
A．25 mmB．20mmC．15 mmD．8mm
【答案】A
【分析】連接圖2、圖3中的BD，圖2中證明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性質(zhì)求得BD，在圖3中證明四邊形EFDB是矩形，求得BD，進而作差即可求解．
【詳解】解：如圖2，連接BD，
∵AE=CF=28，BE=DF=35 ，
∴AEAB=AFAD=2863=49，又∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴BDEF=ABAE，又EF=20，
∴BD20=94，解得：BD=45，
如圖3，連接BD，
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四邊形EFDB是平行四邊形，
∵∠BEF=90°，
∴四邊形EFDB是矩形，則BD=EF=20，
∴從閉合到打開B，D之間的距離減少了45-20=25（mm），
故選：A．
【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)，理解題意，會利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決實際問題是解答的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1是一個家用折疊梯子，使用時四個踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板寬BF=20cm，BC=CD=DE=EL=25cm，將踏板往上收起時（如圖2），點A與點F重合，此時，踏板可以看作與支架AL重合，將梯子垂直擺放時，點A離地面的高度AL為 cm．圖3是圖1的簡略視圖，若點H恰好在點A的正下方，此時點A到地面LM的高度是 ．
【答案】 120 36057
【分析】由點A與點F重合能夠得出AB的長，從而可以求出點A離地面的高度AL．連接AH并延長，交LM于點Q，得到直角三角形，又由使用時四個踏板都是平行于地面且全等的矩形，得到DH//LM，得到△ADH∽△ALQ，利用相似三角形的性質(zhì)可以求出LQ的長，進而利用勾股定理可以求出點A到地面LM的高度．
【詳解】∵將踏板往上收起時（如圖2），點A與點F重合，
∴AB=BF=20 cm．
∴AL=AB+BC+CD+DE+EL=20+4×25=120(cm)，
即點A離地面的高度AL為120 cm．
如圖，連接AH并延長，交LM于點Q，則AQ⊥LM．
∵使用時四個踏板都是平行于地面且全等的矩形，
∴DH//LM，DH=BF=20 cm，
∴△ADH∽△ALQ，
∴ADAL=DHLQ，
即20+25+25120=20LQ，
解得LQ=2407 cm．
在Rt△AQL中，由勾股定理，得
AQ=AL2?LQ2=1202?24072=36057(cm)，
即點A到地面LM的高度是36057 cm．
故答案為：120，36057．
【點睛】本題是一道實際應(yīng)用題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確理解題意，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023·九年級單元測試）將一本高為17cm（即EF=17cm）的詞典放入高（AB）為16cm的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時，測得底部F離收納盒最左端B處8cm，若此時將詞典無滑動向右倒，書角H的對應(yīng)點H′恰為CD中點．
（1）收納盒的長BC= ；
（2）現(xiàn)將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有 本書可與邊BC有公共點．
【答案】 2518cm 7
【分析】（1）由圖知BC=BF+FG′+G′C，已知BF=8，根據(jù)ΔHAE∽ΔEBF得到FG′=HE=178，在RtΔG′CH′中根據(jù)勾股定理得到G′C=15，從而得到結(jié)論；
（2）延長HF交BC于G'，如圖2所示，由（1）知在RtΔAHE中，HA=HE2?AE2=158，
根據(jù)ΔHAE∽ΔFGG′，得到FG′=289120，由FCFG′=732289得到最多有7本書可與邊BC有公共點．
【詳解】解：（1）如圖所示：
在RtΔBEF中，∠B=90°，EF=17，BF=8，則BE=EF2?BF2=172?82=15，
∵AB=16，
∴AE=AB?BE=16?15=1，
連接AH，如圖所示：
∵恰好能蓋上盒蓋，
∴AH⊥AB，
∵詞典是長方體，
∴∠HEF=90°，即∠HEA+∠BEF=90°，
在RtΔBEF中，∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠HEA=∠BFE，
∴ΔHAE∽ΔEBF，
∴HEAE=EFBF，即HE1=178，解得HE=178，
∵將詞典無滑動向右倒，
∴FG′=HE=178，
∵書角H的對應(yīng)點H′恰為CD中點，
∴H′C=12CD=12AB=8，
在RtΔG′CH′中，∠C=90°，G′H′=EF=17，H′C=8，則G′C=(G′H′)2?H′C2=172?82=15，
∴BC=BF+FG′+G′C=8+178+15=2518，
∴收納盒的長BC=2518cm，
故答案為：2518cm；
（2）延長HF交BC于G'，如圖2所示：
由（1）知FG=HE=178，
∵∠BFE+∠GFG′=90°，∠HEA+∠AHE=90°，
由（1）知∠HEA=∠BFE
∴∠GFG′=∠AHE，
∴ΔHAE∽ΔFGG′，
∴FG′GF=HEAH，
由（1）知在RtΔAHE中，∠A=90°，HE=178，AE=1，則HA=HE2?AE2=(178)2?12=158，
∴FG′178=178158，解得FG′=289120，
由（1）知FC=2518?8=1718，
∵1718÷289120=732289，
∴最多有7本書可與邊BC有公共點．
【點睛】本題考查利用勾股定理及相似的實際運用，涉及到勾股定理求線段長及三角形相似的判定與性質(zhì)，讀懂題意，根據(jù)圖形作出輔助線，找到直角三角形靈活運用勾股定理及相似求線段長是解決問題的關(guān)鍵．
【題型9 三角形內(nèi)接矩形問題】
【例9】（2023春·河南平頂山·九年級?？计谥校┤鐖D，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點P處與地面BE的距離為1.6米，車頭FACD近似看成一個矩形，且滿足3FD=2FA，若盲區(qū)EB的長度是6米，求車寬FA的長度．
【答案】127米
【分析】過點P作PM⊥BE，垂足為M，交AF于點N，根據(jù)題意，設(shè)FA=x米，由3FD=2FA得，F(xiàn)D=23x=MN，證明△PAF∽△PBE，得出PN=415x，根據(jù)PN+MN=PM列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：如圖，過點P作PM⊥BE，垂足為M，交AF于點N，
則PM=1.6，設(shè)FA=x米，
由3FD=2FA得，F(xiàn)D=23x=MN，
∵四邊形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴PNPM=FAEB，
即PN1.6=x6，
∴PN=415x，
∵PN+MN=PM，
∴415x+23x=1.6，
解得，x=127，
∴車寬FA的長度為127米．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2023春·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，課本中有一道例題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．設(shè)PN=xmm，用x的代數(shù)式表示AE= mm，由PN//BC，可得△APN∽△ABC，再利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可求得PN= mm．
拓展：原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖2，此時，PN= mm．
【答案】 80?x 48 4807
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得對應(yīng)高的比等于相似比進行計算，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可設(shè)BQ=x，則PN=2x，AE=80?x，進行求解即可；
【詳解】設(shè)PN=xmm，則PN=PQ=ED=xmm，
AE=AD?ED=80?xmm，
∵PN∥BC，
∴△APN～△ABC，
∴PNBC=AEAD，
即x120=80?x80，解得x=48，
∴PN=48mm，
拓展：設(shè)PQ=xmm，則PN=2xmm，
AE=AD?ED=80?xmm，
∵PN∥BC，
∴△APN～△ABC，
∴PNBC=AEAD，
∴2x120=80?x80，解得x=2407，
∴PN=2x=4807；
故答案是：80?x；48；4807．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023春·河北石家莊·九年級石家莊二十三中?？茧A段練習）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC為15cm，BC邊上的高為12cm，現(xiàn)要把它分割成若干個鄰邊長分別為5cm和2cm的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計），使最底層的小方形的長為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長方形零件最多有 ．
【答案】6
【分析】利用△ABC∽△AEF求得AG=4，然后求得DG=AD?AG=8，這樣就可以計算得小長方形一共有4層，然后再次利用相似比，可求得每層可分割幾個小長方形，最后確定小長方形的總數(shù)即可.
【詳解】如圖：當最上層的小長方形的一邊與AB、AC交于點E、F時，EF∥BC
∴△ABC∽△AEF
∴EFBC=AGAD，且EF=5，BC=15，AD=12
∴AG=4
∴DG=AD?AG=8
∵小長方形的寬為2cm
∴能分割四層小長方形
設(shè)最底層的上一層的靠近點A的邊為x
根據(jù)三角形相似可得：x15=812
解得x=10，正好能分割兩個小長方形
再上一層靠近點A的邊就會小于10cm，因此只能分割一個小長方形，且最上層分割了一個小長方形
∴按如圖方式分割成的小長方形零件最多有2+2+1+1=6個
故答案為6
【點睛】本題主要考查了三角形的相似在實際生活中的應(yīng)用，能夠靈活應(yīng)用相似比求解對應(yīng)的邊是解決問題的關(guān)鍵
【變式9-3】（2023·全國·九年級專題練習）閱讀理解：
如圖1，AD是△ABC的高，點E、F分別在AB和AC邊上，且EF//BC，可以得到以下結(jié)論：AHAD=EFBC．
拓展應(yīng)用：
(1)如圖2，在△ABC中，BC＝3，BC邊上的高為4，在△ABC內(nèi)放一個正方形EFGM，使其一邊GM在BC上，點E、F分別在AB、AC上，則正方形EFGM的邊長是多少？
(2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個腰長為100cm，底邊長為160cm的等腰三角形展臺．現(xiàn)需將展臺用隔板沿平行于底邊，每間隔10cm分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個無蓋正方體格子，要求每個正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒．平面設(shè)計圖如圖3所示，將底邊BC的長度看作是0排隔板的長度．
①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當正方體間的隔板厚度忽略不計時，每排的隔板長度（單位：厘米）隨著排數(shù)（單位：排）的變化而變化．請完成下表：
若用n表示排數(shù)，y表示每排的隔板長度，試求出y與n的關(guān)系式；
②在①的條件下，請直接寫出該展臺最多可以擺放多少瓶葡萄酒？
【答案】(1)正方形的邊長為127
(2)①4003，3203，80；y=?803n+160；②最多可以擺放38瓶葡萄酒
【分析】（1）過點A作AD⊥BC于D，交EF于H，由AHAD=EFBC，可求解；
（2）①由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=80cm，由勾股定理可求AD=60cm，分別設(shè)第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3，由閱讀理解的結(jié)論可列方程，即可求解．
②分別求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解．
【詳解】（1）如圖2，過點A作AD⊥BC于D，交EF于H，
由閱讀理解的結(jié)論可得：AHAD=EFBC，
設(shè)正方形的邊長為x，
∴4?x4=x3，
∴x=127，
∴正方形的邊長為127；
（2）①如圖3﹣1，過點A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝80cm，
∴AD=AB2?BD2=10000?6400=60（cm），
分別設(shè)第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3，
由閱讀理解的結(jié)論可得：5060=y1160，4060=y2160，3060=y3160
解得：y1=4003，y2=3203，y3＝80，
故答案為：4003，3203，80；
∴60?10n60=y160，
∴y=?803n+160；
②當n＝1時，隔板長4003cm，
∴可以作正方體的個數(shù)=4003÷10≈13（個），
當n＝2時，隔板長3203cm，
∴可以作正方體的個數(shù)=3203÷10≈10（個），
當n＝3時，隔板長80cm，
∴可以作正方體的個數(shù)＝80÷10≈8（個），
當n＝4時，隔板長1603cm，
∴可以作正方體的個數(shù)=1603÷10≈5（個），
當n＝5時，隔板長803cm，
∴可以作正方體的個數(shù)=803÷10≈2（個），
當n＝6時，隔板長0cm，可以作正方體的個數(shù)為0個，
∴第1排最多可以擺放13瓶葡萄酒，第2排最多可以擺放10瓶葡萄酒，第3排最多可以擺放8瓶葡萄酒，第4排最多可以擺放5瓶葡萄酒，第5排最多可以擺放2瓶葡萄酒，第6排最多可以擺放0瓶葡萄酒，
∴13+10+8+5+2＝38（瓶），
綜上所述：最多可以擺放38瓶葡萄酒．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
排數(shù)/排
0
1
2
3
…
隔板長度/厘米
160
______
______
______
…

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