TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4102" 【題型1 判斷是平行投影或中心投影】 PAGEREF _Tc4102 \h 2
\l "_Tc24509" 【題型2 判斷投影的形狀】 PAGEREF _Tc24509 \h 4
\l "_Tc21459" 【題型3 正投影】 PAGEREF _Tc21459 \h 6
\l "_Tc27213" 【題型4 根據(jù)投影求線段長度】 PAGEREF _Tc27213 \h 8
\l "_Tc14687" 【題型5 根據(jù)投影求面積】 PAGEREF _Tc14687 \h 12
\l "_Tc5275" 【題型6 坐標(biāo)系中利用投影求值】 PAGEREF _Tc5275 \h 15
\l "_Tc27071" 【題型7 由投影長度確定時間順序】 PAGEREF _Tc27071 \h 20
\l "_Tc13623" 【題型8 視點、視角和盲區(qū)】 PAGEREF _Tc13623 \h 22
【知識點 投影】
1.投影
一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.
2.中心投影
若一束光線是從一點發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：
等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.
在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結(jié)論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.
注意：
光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).
3.平行投影
1.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個結(jié)論：
(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.
2. 物高與影長的關(guān)系
（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.
（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.
即：.
利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.
注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.
注意：
1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識解題要分清不同時刻和同一時刻.
2．物體與影子上的對應(yīng)點的連線是平行的就說明是平行光線.
【題型1 判斷是平行投影或中心投影】
【例1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．皮影可看成平行投影
B．無影燈（手術(shù)用的）是平行投影
C．日食不是太陽光所形成的投影現(xiàn)象
D．月食是太陽光所形成的投影現(xiàn)象
【答案】D
【分析】分析各選項可知，皮影和無影燈都是點光源形成的投影，而日食都是太陽光形成的投影；接下來，根據(jù)中心投影與平行投影的知識進行分析判斷，問題即可得解．
【詳解】解：根據(jù)平行投影和中心投影的區(qū)別可知：皮影和無影燈都是中心投影，而日食是太陽光形成的投影
故選：D．
【點睛】本題主要考查的是中心投影和平行投影的定義，掌握其概念是解決此題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023秋·貴州貴陽·九年級期末）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成．當(dāng)太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．則晷針在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影D．不能確定
【答案】B
【分析】根據(jù)中心投影的定義：把光由一點向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定義：光源是以平行的方式照射到物體上的投影，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：晷針在晷面上形成的投影是平行投影，
故選：B．
【點睛】本題考查了中心投影和平行投影的定義，熟記相關(guān)定義是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023秋·九年級單元測試）把下列物體與它們的投影連接起來．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)投影的定義解答即可．
【詳解】解：如圖：
【點睛】本題主要考查了投影，理解投影的定義成為解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·九年級單元測試）下列光源形成的投影不同于其他三種的是（ ）
A．太陽光B．燈光C．探照燈光D．臺燈
【答案】A
【分析】判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【詳解】解：四個選項中只有太陽光可認為是平行光線；
故太陽光線下形成的投影是平行投影．
故選：A．
【點睛】本題考查平行投影的概念，屬于基礎(chǔ)題，注意基本概念的掌握是關(guān)鍵．
【題型2 判斷投影的形狀】
【例2】（2023秋·陜西西安·九年級高新一中?？茧A段練習(xí)）正方形紙板在太陽光下的投影不可能是（ ）
A．平行四邊形B．一條線段C．矩形D．梯形
【答案】D
【分析】根據(jù)平行投影的性質(zhì)，進行判斷即可．
【詳解】解：一張正方形紙板在太陽光線的照射下，形成影子不可能是梯形，
故選：D．
【點睛】本題考查平行投影．熟練掌握平行投影的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·九年級單元測試）將一個圓形紙板放在太陽光下，它在地面上所形成的影子的形狀不可能是( )
A．圓B．三角形C．線段D．橢圓
【答案】B
【分析】在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，依此進行分析
【詳解】當(dāng)紙片和光線方向一致是為線段，與光線垂直為圓，不垂直不平行為橢圓，所以不可能是三角形.
【點睛】本題關(guān)鍵能想象出實物與投影的關(guān)系.
【變式2-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因為中心投影物體的高和影長成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項即可找到符合題意的選項
【詳解】因為正方形的對角線互相垂直，且一條對角線垂直地面，光源與對角線組成的平面垂直于地面，則有影子的對角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長影子會更長一些，
故選D

【點睛】本題考查了中心投影的概念，應(yīng)用，利用中心投影的特點，理解中心投影物體的高和影長成比例是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）小明拿一個三角形木板在陽光下玩，三角形木板在水平地面上形成的投影的形狀可能是 ．（只填一種形狀即可）
【答案】三角形（答案不唯一）
【分析】在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，據(jù)此即可解答．
【詳解】當(dāng)三角形木板與陽光垂直時，投影是三角形；
故答案為：三角形（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了平行投影特點，不同位置，不同時間，影子的大小、形狀可能不同，解題的關(guān)鍵是熟練理解平行投影特點．
【題型3 正投影】
【例3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，若投影線的方向如箭頭所示，則圖中物體的正投影是（ ）
B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正投影的定義，得出圓柱的正投影為長方形，正方體的正投影為正方形，即可求解．
【詳解】解：觀察圖中的兩個立體圖形，圓柱的正投影為長方形，正方體的正投影為正方形，
故選：C．
【點睛】本題考查了正投影，掌握正投影的定義是解題的關(guān)鍵．正投影是指平行投射線垂直于投影面．
【變式3-1】（2023秋·九年級單元測試）如圖所示的圓臺的上下底面與投影線平行，圓臺的正投影是（ ）

A．矩形B．兩條線段C．等腰梯形D．圓環(huán)
【答案】C
【分析】根據(jù)正投影的定義“是指平行投射線垂直于投影面”分析即可．
【詳解】根據(jù)題意，圓臺的上下底面與投影線平行，則圓臺的正投影是該圓臺的軸截面，即等腰梯形，
故選：C．
【點睛】本題考查了正投影的定義，正確理解正投影的定義是解題關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某幾何體在投影面P前的擺放方式確定以后，改變它與投影面P之間的距離，其正投影的形狀（ ）
A．不發(fā)生變化B．變大C．變小D．無法確定
【答案】A
【分析】幾何體的正投影只與幾何體相對于投影面的傾斜程度有關(guān)，與兩者間距離無關(guān)可知答案．
【詳解】解：某一幾何體在投影面P前的擺放位置確定以后，改變它與投影面P的距離，其正投影的形狀不發(fā)生變化，
故選：A．
【點睛】本題主要考查平行投影的性質(zhì)，熟練掌握線段、平面圖形、幾何體的平行投影性質(zhì)是根本．
【變式3-3】（2023秋·九年級單元測試）下列投影是正投影的是( )
A．①B．②C．③D．都不是
【答案】C
【分析】平行投影法分為正投影和斜投影，正投影是平行光垂直于屏幕的投影．
【詳解】根據(jù)題意：①是點光源的投影，是錯誤的；②是斜投影，故錯誤；③是正投影，故正確.
故選C.
【點睛】本題考查的是正投影的基本知識，本題屬于基礎(chǔ)題．
【題型4 根據(jù)投影求線段長度】
【例4】（2023秋·河南鄭州·九年級?？计谥校┬〖t想利用陽光下的影長測量學(xué)校旗桿AB的高度．如圖，他在某一時刻在地面上豎直立一個3米長的標(biāo)桿CD，測得其影長DE=0.5米．
(1)請在圖中畫出此時旗桿AB在陽光下的投影BF．
(2)如果BF=1.5，求旗桿AB的高．
【答案】(1)見解析
(2)9m
【分析】（1）利用太陽光線為平行光線作圖：連接CE，過A點作AF∥CE交BD于F，則BF為所求；
（2）證明△ABF∽△CDE，然后利用相似比計算AB的長．
【詳解】（1）解：連接CE，過A點作AF∥CE交BD于F，則BF為所求，如圖；
（2）解：∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴ABCD=BFDE， 即AB3=1.50.5，
∴AB=9，
即旗桿AB的高為9m．
【點睛】本題考查平行投影、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△ABF∽△CDE．
【變式4-1】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為3:5，且三角板的一邊長為6cm，則投影三角板的對應(yīng)邊長為( )
A．15cmB．10cmC．8cmD．3.6cm
【答案】B
【分析】中心投影下的三角板與投影三角板一定是相似的，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比，列式進行計算即可．
【詳解】解：三角板的一邊長為6cm，則設(shè)投影三角板的對應(yīng)邊長為xcm，
∵三角板與其投影的相似比為3:5，
∴35=6x，
∴x=10cm，
∴投影三角板的對應(yīng)邊長為10cm．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了中心投影與相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握中心投影的概念與相似三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023秋·山西晉中·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上．
（1）請你確定燈泡所在的位置，并畫出表示小亮在燈光下形成的影子線段．
（2）如果燈桿高12m，小亮的身高1.6m，小亮與燈桿的距離13m，請求出小亮影子的長度．
【答案】（1）詳見解析；（2）小亮影子的長度為2m．
【分析】（1）連接EG進而延長交DF于點N，得出FN進而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．
【詳解】解：（1）如圖所示：FN即為所求；
（2）∵FG∥DE，
∴△GFN∽△NDE，
∴FNND＝FGDE，
∵燈桿高12m，小亮的身高1.6m，小亮與燈桿的距離13m，
∴FNFN+13＝1.612，
解得：FN＝2，
答：小亮影子的長度為2m．
【點睛】本題考查中心投影、解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，記住物長與影長的比的定值，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．
【變式4-3】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，一路燈距地面5.6米，身高1.6米的小方從距離燈的底部（點O）5米的A處，沿OA所在的直線行走到點C時，人影長度增長3米，小方行走的路程AC＝（ ）
A．7.2B．6.6C．5.7D．7.5
【答案】D
【分析】設(shè)出影長AB的長，利用相似三角形可以求得AB的長，然后在利用相似三角形求得AC的長即可．
【詳解】解：∵AE⊥OD，OG⊥OD，
∴AE//OG，
∴∠AEB=∠OGB，∠EAB=∠GOB，
∴△AEB∽△OGB，
∴AEOG=ABBO，即 +5，
解得：AB＝2m；
∵OA所在的直線行走到點C時，人影長度增長3米，
∴DC＝AB+3=5m，OD=OA+AC+CD=AC+10，
∵FC∥GO，
∴∠CFD=∠OGD，∠FCD=∠GOD，
△DFC∽△DGO，
∴FCGO=CDDO，
即+10，
解得：AC＝7.5m．
所以小方行走的路程為7.5m．
故選擇：D．
【點睛】本題主要考查的是相似三角形在實際中的中心投影的應(yīng)用，掌握相似三角形判斷與性質(zhì)，利用對應(yīng)邊成比例是解答本題的關(guān)鍵．
【題型5 根據(jù)投影求面積】
【例5】（2023秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）如圖，三角板在手電筒光源的照射下形成了投影，三角板與其投影是位似圖形，其相似比是2:5，若三角板的面積是6cm2，則其投影的面積是（ ）
A．15cm2B．30cm2C．85cm2D．752cm2
【答案】D
【分析】利用位似圖形的面積比等于相似比的平方進行計算即可；
【詳解】解：設(shè)投影的面積為Scm2，6S=252，S=752cm2，
故選：D．
【點睛】本題考查位似圖形的面積關(guān)系，解題關(guān)鍵掌握位似圖形的面積比等于相似比的平方．
【變式5-1】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形紙板ABCD在投影面α上的正投影為A1B1C1D1，其中邊AB、CD與投影面平行，AD,BC與投影面不平行．若正方形ABCD的邊長為5厘米，∠BCC1=45°，求其投影A1B1C1D1的面積．
【答案】2522cm2
【分析】先根據(jù)45°求出投影的各個邊長，再求面積
【詳解】解：過B點作BH⊥CC1于H，如圖，
∵∠BCC1=45°，
∴BH=22， BC=22
∵正方形紙板ABCD在投影面α上的正投影為A1B1C1D1，
∴B1C1=BH=BC=522，C1D1=CD=5，
∴四邊形A1B1C1D1的面積=522×5=2522cm2．
【點睛】本題考查等腰直角三角形在投影中的應(yīng)用，掌握計算方法是關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）圓桌面（桌面中間有一個直徑為1m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖所示的圓環(huán)形陰影．已知桌面直徑為2m，桌面離地面1m，若燈泡離地面2m，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（ ）
A．2πm2B．3πm2C．6πm2D．12πm2
【答案】B
【分析】先根據(jù)AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出BD的長，進而得出BD′＝1m，再由圓環(huán)的面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示：
∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD，
∴OAOB=ACBD，即12=1BD，
解得：BD＝2m，
同理可得：AC′＝0.5m，則BD′＝1m，
∴S圓環(huán)形陰影＝22π﹣12π＝3π（m2）．
故選B．
【點睛】考查的是相似三角形的應(yīng)用以及中心投影，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出陰影部分的半徑是解題關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023秋·九年級單元測試）如圖，在一間黑屋里用一白熾燈照射一個球，
（1）球在地面上的陰影是什么形狀？
（2）當(dāng)把白熾燈向上移時，陰影的大小會怎樣變化？
（3）若白熾燈到球心距離為1米，到地面的距離是3米，球的半徑是0.2米，求球在地面上陰影的面積是多少？
【答案】(1)圓形；(2)陰影會逐漸變??；(3)925π平方米．
【詳解】考點：中心投影．
專題：綜合題．
分析：（1）球在燈光的正下方，所以陰影是圓形；
（2）根據(jù)中心投影的特點可知：在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長，所以白熾燈向上移時，陰影會逐漸變??；
（3）先根據(jù)相似求出陰影的半徑，再求面積．
解答：解：（1）因為球在燈光的正下方，所以陰影是圓形；
（2）白熾燈向上移時，陰影會逐漸變小；
（3）設(shè)球在地面上陰影的半徑為x米，
則12?0．223=0.2x，
解得：x2=38，
則S陰影=38π=0.36π平方米．
【題型6 坐標(biāo)系中利用投影求值】
【例6】（2023秋·九年級單元測試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點P2,2 是一個光源．木桿AB 兩端的坐標(biāo)分別為0,1、3,1 ．則木桿AB 在x軸上的投影長為（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】利用中心投影，延長PA、PB 分別交x軸于A′、B′ ，作PE⊥x 軸于E，交AB于D，如圖，證明△PAB∽△PA′B′ ，然后利用相似比可求出A′B′ 的長．
【詳解】解：延長PA、PB 分別交x軸于A′、B′ ，作PE⊥x 軸于E，交AB于D，如圖
∵P2,2，A0,1，B3,1 ．
∴PD=1，PE=2，AB=3 ，
∵AB∥A′B′ ，
∴△PAB∽△PA′B′ ，
∴ABA′B′=ADAE，即3A′B′=12
∴A′B′=6 ，
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中心投影：中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．
【變式6-1】（2023春·天津和平·九年級專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，一點光源位于A(0，5)處，線段CD垂直于x軸，D為垂足，C(3，1)，則DE的長為 ．
【答案】34
【分析】畫出相應(yīng)圖形，可得相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得DE的長．
【詳解】解：∵OA⊥x軸，CD⊥x軸，
∴CD∥OA，
∴△CDE∽△AOE，
∴DE：EO=CD：OA，
設(shè)DE=x，
∴x3+x=15，
解得：x=34，且符合題意，
∴DE=34，
故答案為：34．
【點睛】此題考查了中心投影和平面直角坐標(biāo)系的知識，還考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．
【變式6-2】（2023·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直角坐標(biāo)平面內(nèi)，小明站在點A（﹣10，0）處觀察y軸，眼睛距地面1.5米，他的前方5米處有一堵墻DC，若墻高DC＝2米，則小明在y軸上的盲區(qū)（即OE的長度）為 米．
【答案】2.5
【詳解】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出BNBM=DNEM，再利用已知得出BN，BM，DN的長，即可求出EM，進而求出EO即可．
解：過點B作BM⊥EO，交CD于點N，
∵CD∥EO，
∴△BND∽△BME，
∴BNBM=DNEM，
∵點A（﹣10，0），
∴BM=10米，
∵眼睛距地面1.5米，
∴AB=CN=MO=1.5米，
∵DC=2米，
∴DN=2﹣1.5=0.5米，
∵他的前方5米處有一堵墻DC，
∴BN=5米，
∴510=0.5EM，
∴EM=1米，
∴EO=1+1.5=2.5米．
故答案為2.5．
【變式6-3】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形W在坐標(biāo)軸上的投影長度定義如下：設(shè)點Px1,y1，Qx2,y2是圖形W上的任意兩點，若x1?x2的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長度為lx=m；若y1?y2的最大值為n，則圖形W在y軸上的投影長度為ly=n．如圖1，圖形W在x軸上的投影長度為lx=4?0=4；在y軸上的投影長度為ly=3?0=3．
(1)已知點A1，2，B2，3，C3，1，如圖2所示，若圖形W為四邊形OABC，則lx=__________，ly=___________；
(2)已知點C（?32，0），點D在直線y=12x?1x

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