TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9871" 【題型1 代數(shù)式的表示及其含義】 PAGEREF _Tc9871 \h 1
\l "_Tc27389" 【題型2 用字母表示變化規(guī)律】 PAGEREF _Tc27389 \h 2
\l "_Tc12997" 【題型3 整式相關(guān)的概念辨析】 PAGEREF _Tc12997 \h 6
\l "_Tc933" 【題型4 根據(jù)單項(xiàng)式的概念求字母參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc933 \h 8
\l "_Tc8720" 【題型5 根據(jù)多項(xiàng)式的概念求字母參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc8720 \h 10
\l "_Tc13980" 【題型6 根據(jù)多項(xiàng)式不存在某項(xiàng)求字母參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc13980 \h 11
\l "_Tc195" 【題型7 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式中的結(jié)論開放性問題】 PAGEREF _Tc195 \h 13
\l "_Tc17755" 【題型8 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc17755 \h 14
\l "_Tc7964" 【題型9 與整式有關(guān)的規(guī)律探究題】 PAGEREF _Tc7964 \h 16
\l "_Tc10537" 【題型10 列整式解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc10537 \h 17
【知識(shí)點(diǎn)1 代數(shù)式】
用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.
【題型1 代數(shù)式的表示及其含義】
【例1】（2023春·黑龍江雙鴨山·七年級(jí)?？计谥校┬⊥跤?00元人民幣買3枚面值為a元的郵票，應(yīng)找回 元．
【答案】（100?3a）
【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的代數(shù)式，本題得以解決．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：用于買郵票的錢是：3a元，
則應(yīng)找回（100?3a）元，
故答案為：（100?3a）．
【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式．
【變式1-1】（2023春·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)長(zhǎng)為5cm的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2(5＋b)cm，則字母b表示的是 ．
【答案】寬
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于（長(zhǎng)+寬）×2解答即可．
【詳解】解：∵長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為5，周長(zhǎng)為2(5＋b)，
∴b表示長(zhǎng)方形的寬，
故答案為：寬．
【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)、用字母表示數(shù)，熟記長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式是解答的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期中）?a是（ ）
A．負(fù)數(shù)B．正數(shù)C．0D．正負(fù)無法確定
【答案】D
【分析】根據(jù)代數(shù)式的意義分析即可．
【詳解】∵ a可以表示負(fù)數(shù)，正數(shù)，0，
∴?a也可以表示負(fù)數(shù)，正數(shù)，0，
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的意義，理解代數(shù)式的意義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·福建泉州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，則這個(gè)三位數(shù)為（ ）
A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)＋b＋cC．100a＋10b＋cD．100abc
【答案】C
【分析】三位數(shù)＝百位上的數(shù)字×100＋十位上的數(shù)字×10＋個(gè)位上的數(shù)字，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【詳解】∵一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，
∴這個(gè)三位數(shù)可以表示為100a＋10b＋c，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，掌握三位數(shù)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵．
【題型2 用字母表示變化規(guī)律】
【例2】（2023春·福建福州·七年級(jí)校考期中）觀察下列等式：
?1×12=?1+12，
?12×13=?12+13，
?13×14=?13+14，
……
(1)寫出第4個(gè)等式是：_______；
(2)猜想并寫出第n個(gè)等式是：_______；（n為正整數(shù)）
(3)探究并計(jì)算：?1×12+?12×13+?13×14+?+?12022×12023．
【答案】(1)?14×15=?14+15
(2)?1n?1n+1=?1n+1n+1
(3)?20222023
【分析】（1）按照上面計(jì)算方法計(jì)算即可得出答案；
（2）根據(jù)題目規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，?1n?1n+1=?1n+1n+1；
（3）由規(guī)律式子變形，中間部分互相抵消，只剩首項(xiàng)和尾項(xiàng)，即可算出答案．
【詳解】（1）解：∵?1×12=?1+12，
?12×13=?12+13，
?13×14=?13+14，
∴第4個(gè)等式為?14×15=?14+15．
故答案為：?14×15=?14+15．
（2）解：?1×12=?1+12，
?12×13=?12+13，
?13×14=?13+14，
……
第n個(gè)等式是：?1n?1n+1=?1n+1n+1．
故答案為：?1n?1n+1=?1n+1n+1．
（3）解：?1×12+?12×13+?13×14+?+?12022×12023
=?1+12+?12+13+?13+14+?+?12022+12023
=?1+12?12+13?13+14???12022+12023
=?1+12023
=?20222023．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的等式，探索出等式的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？计谀┤我膺x取四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，將它們的積再加上1，所得的結(jié)果可以用一個(gè)自然數(shù)的平方表示．如：1×2×3×4+1=25=52;2×3×4×5+1=121=112．．．．．．．設(shè)這四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別為n,n+1,n+2,n+3，則nn+1n+2n+3+1=△2，其中“△”用含n的式子表示為 ．
【答案】n2+3n+1
【分析】根據(jù)所給等式歸納總結(jié)得到第n個(gè)算式即可．
【詳解】解：∵1×2×3×4+1=12+3×1+1=52，
2×3×4×5+1=22+3×2+1=112，
3×4×5×6+1=32+3×3+1=192，
．．．
∴nn+1n+2n+3+1=n2+3n+12，
∴“△”用含n的式子表示為n2+3n+1，
故答案為：n2+3n+1．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，數(shù)字類規(guī)律探索，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┯^察下列算式：
12?02=1+0=1; 22?12=2+1=3； 32?22=3+2=5；
42?32=4+3=7； 52?42=5+4=9； ……
若字母n表示正整數(shù)，請(qǐng)把第n個(gè)等式用含n的式子表示出來： ．
【答案】n2?(n?1)2=n+(n?1)=2n?1
【分析】觀察式子即可得出結(jié)論．
【詳解】解：觀察式子可發(fā)現(xiàn)n2?(n?1)2=n+(n?1)=2n?1，
故答案為：n2?(n?1)2=n+(n?1)=2n?1．
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型，觀察式子得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列等式：
第1個(gè)等式：12=13
第2個(gè)等式：(1+2)2=13+23；
第3個(gè)等式：(1+2+3)2=13+23+33；
第4個(gè)等式：(1+2+3+4)2=13+23+33+43
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第5個(gè)等式：______
(2)寫出第n（n為正整數(shù)）個(gè)等式：______（用含n的等式表示）
(3)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律113+123+133+?+1003的值；
(4)計(jì)算13+33+53+73+?+993的值．
【答案】(1)(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53
(2)(1+2+3+4+5+?+n)2=13+23+33+43+53+?+n3
(3)25499475
(4)12497500
【分析】（1）根據(jù)題干中給定的式子，寫出第5個(gè)式子即可；
（2）根據(jù)給定的式子，寫出第n（n為正整數(shù)）個(gè)等式即可；
（3）將113+123+133+?+1003轉(zhuǎn)化為13+23+33+43+53+?+1003?13+23+33+43+53+?+103，利用前面等式的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為1+2+3+4+5+?+1002?1+2+3+4+5+?+102，進(jìn)行求解即可；
（4）將13+33+53+73+?+993轉(zhuǎn)化為1+2+3+4+5+?+1002?81+2+3+4+5+?+502，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：第五個(gè)式子為：1+2+3+4+52=13+23+33+43+53
（2）1+2+3+4+5+?+n2=13+23+33+43+53+?+n3
（3）113+123+133+143+153+?+1003
=13+23+33+43+53+?+1003?13+23+33+43+53+?+103
=1+2+3+4+5+?+1002?1+2+3+4+5+?+102
=50502?552
=25499475；
（4）13+33+53+73+?+993
=13+23+33+43+53+?+1003?23+43+63+83+?+1003
=1+2+3+4+5+?+1002?81+2+3+4+5+?+502
=50502?851×252
=25502500?13005000
=12497500．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到1+2+3+4+5+?+n2=13+23+33+43+53+?+n3．
【知識(shí)點(diǎn)2 整式相關(guān)的概念】
單項(xiàng)式：如，，-1，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．注意：（1）單項(xiàng)式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨(dú)的一個(gè)數(shù)；③單獨(dú)的一個(gè)字母．（2）單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算，但可以含有除法運(yùn)算．
單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)． 一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．
多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．
整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．
【題型3 整式相關(guān)的概念辨析】
【例3】（2023春·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列各式：?ab，?a2，2a，a+b，a2+a?1．回答下列問題：
(1)單項(xiàng)式分別為：______________________________；
(2)多項(xiàng)式分別為：_________________________________；
(3)整式有___________個(gè)；
(4)?ab的系數(shù)為__________；
(5)次數(shù)最高的多項(xiàng)式為__________________．
【答案】(1)?ab，?a2
(2)a+b，a2+a?1
(3)4
(4)?1
(5)a2+a?1
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的定義即可得出（1），根據(jù)多項(xiàng)式的定義即可得出（2），根據(jù)整式的定義即可得出（3），根據(jù)間項(xiàng)式的系數(shù)的定義即可得出（4），根據(jù)多項(xiàng)式的次數(shù)的定義即可得出（5）．
【詳解】（1）解：?jiǎn)雾?xiàng)式有?ab，?a2；
故答案為：?ab，?a2；
（2）多項(xiàng)式有a+b，a2+a?1；
故答案為：a+b，a2+a?1；
（3）整式有?ab，?a2，a+b，a2+a?1共4個(gè)；
故答案為：4；
（4）?ab的系數(shù)為?1；
故答案為：?1；
（5）次數(shù)最高的多項(xiàng)式為a2+a?1．
故答案為：a2+a?1．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式，整式和多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：表示數(shù)與數(shù)或數(shù)與字母的積，叫單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式，兩個(gè)或兩個(gè)以上單項(xiàng)式的和，叫多項(xiàng)式，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式，多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．
【變式3-1】（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谥校┫铝姓f法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．5a2b的次數(shù)是3B．?x的系數(shù)為?1
C．x2y?1是二次二項(xiàng)式D．x+y2不是單項(xiàng)式
【答案】C
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的定義，單項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)，多項(xiàng)式的次數(shù)，系數(shù)進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：A．5a2b的次數(shù)是3，故A正確，不符合題意；
B．?x的系數(shù)為?1，故B正確，不符合題意；
C．x2y?1是三次二項(xiàng)式，故C錯(cuò)誤，符合題意；
D．x+y2是多項(xiàng)式，不是單項(xiàng)式，故D正確，不符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式和單項(xiàng)式的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式系數(shù)和次數(shù)，單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)．
【變式3-2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)校聯(lián)考期末）在代數(shù)式x?y，3a，x2?y+15，1x，xyz，0，π，x+y3中有（ ）
A．3個(gè)多項(xiàng)式，4個(gè)單項(xiàng)式B．2個(gè)多項(xiàng)式，5個(gè)單項(xiàng)式
C．8個(gè)整式D．3個(gè)多項(xiàng)式，5個(gè)單項(xiàng)式
【答案】A
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的定義逐一判斷可得答案．
【詳解】解：在所列代數(shù)式中，單項(xiàng)式有3a，xyz，0，π這4個(gè)，
多項(xiàng)式有x-y，x2?y+15，x+y3這3個(gè)，共7個(gè)整式，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式與單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，幾個(gè)單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式．
【變式3-3】（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀⒍囗?xiàng)式2?4ab+3a2b2?b3按字母b降冪排列后，則從左邊數(shù)第三項(xiàng)為 ．
【答案】?4ab
【分析】先把多項(xiàng)式按照字母b的指數(shù)由高到低排列，從而可得答案．
【詳解】解：多項(xiàng)式2?4ab+3a2b2?b3按字母b降冪排列后為：
?b3+3a2b2?4ab+2，
∴從左邊數(shù)第三項(xiàng)為?4ab，
故答案為：?4ab．
【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式的降冪排列，熟記多項(xiàng)式的降冪排列的含義是解本題的關(guān)鍵．
【題型4 根據(jù)單項(xiàng)式的概念求字母參數(shù)的值】
【例4】（2023春·貴州黔西·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知（a-3）x2y|a|+（b+2）是關(guān)于x，y的五次單項(xiàng)式，求a2-3ab+b2的值.
【答案】-5.
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式及單項(xiàng)式次數(shù)的定義，可得出a、b的值，代入代數(shù)式即可得出答案．
【詳解】∵（a-3）x2y|a|+（b+2）是關(guān)于x，y的五次單項(xiàng)式，
∴a＝3b＝?2a?3≠0，
解得：a＝?3b＝?2，
則a2-3ab+b2=9-18+4=-5．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，掌握單項(xiàng)式的定義及單項(xiàng)式次數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若m+3x2yn+1是關(guān)于x，y的五次單項(xiàng)式且系數(shù)為6，試求m，n的值．
【答案】m=3,n=2
【分析】根據(jù)題意可得m+3=6,n+1+2=5，進(jìn)而求得m,n的值．
【詳解】解：∵ m+3x2yn+1是關(guān)于x，y的五次單項(xiàng)式且系數(shù)為6，
∴ m+3=6,n+1+2=5
∴m=3,n=2
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)，單項(xiàng)式中，數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做它的次數(shù)，掌握單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若（m+2）2x3yn-2是關(guān)于x，y的六次單項(xiàng)式，則m≠ ，n= ．
【答案】 -2 5
【詳解】試題解析：∵（m+2）2x3yn-2是關(guān)于x，y的六次單項(xiàng)式，
∴m+2≠0，3+n-2=6，
解得m≠-2，n=5．
故答案為：-2；5．
考點(diǎn)：?jiǎn)雾?xiàng)式．
【變式4-3】（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）已知單項(xiàng)式?23xy2m?1與?22x2y2的次數(shù)相同．
(1)求m的值；
(2)求當(dāng)x=?9，y=?2時(shí)單項(xiàng)式?23xy2m?1的值．
【答案】(1)2
(2)?48
【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)的定義，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程，解方程即可求得m的值；
（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果求得代數(shù)式，然后把x，y的值代入即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：1+2m?1=2+2，
解得：m=2；
（2）∵m=2，
∴?23xy2m?1=?23xy3，
則當(dāng)x=?9，y=?2時(shí)，
原式=?23×(?9)×(?8)=?48．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的次數(shù)的定義，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．根據(jù)定義求得m的值是關(guān)鍵．
【題型5 根據(jù)多項(xiàng)式的概念求字母參數(shù)的值】
【例5】（2023春·陜西商洛·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知多項(xiàng)式a?2x5+3xb+x?7是關(guān)于x的四次三項(xiàng)式，則ab= ．
【答案】8
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)可得a?2=0，b=4，再解即可．
【詳解】解：由題意得：a?2=0,b=4，
解得：a=2,b=4，
則ab=8．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式，解題關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式次數(shù)的確定方法．
【變式5-1】（2023春·四川遂寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果多項(xiàng)式a?2x4?12xb+x2?3是關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，則（ ）
A．a(chǎn)=0，b=3B．a(chǎn)=1，b=3
C．a(chǎn)=2，b=2D．a(chǎn)=2，b=3
【答案】D
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：依題意可得a?2=0，b=3，
解得a=2，b=3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的相關(guān)概念，掌握多項(xiàng)式次數(shù)的確定方法是解題關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于x，y的多項(xiàng)式x2?3kxy?8是二次二項(xiàng)式，則常數(shù)k= ．
【答案】0
【分析】根據(jù)題意可得?3k=0，即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x，y的多項(xiàng)式x2?3kxy?8是二次二項(xiàng)式，
∴?3k=0，
解得：k=0．
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式，熟練掌握幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)；多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中最高次項(xiàng)的次數(shù)，叫做多項(xiàng)式的次數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·廣西防城港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若多項(xiàng)式x2ym+m+2x2?y+3是一個(gè)關(guān)于x，y的四次四項(xiàng)式，則m的值為 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：∵多項(xiàng)式x2ym+m+2x2?y+3是一個(gè)關(guān)于x，y的四次四項(xiàng)式，
∴m=2且m+2≠0，
解得：m=2，
故答案為：2
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式，熟練掌握一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫幾項(xiàng)式，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)是幾就叫幾次多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．
【題型6 根據(jù)多項(xiàng)式不存在某項(xiàng)求字母參數(shù)的值】
【例6】（2023春·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)k= 時(shí)，多項(xiàng)式x2+(15k?15)xy?3y2?20y不含xy項(xiàng)．
【答案】1
【分析】多項(xiàng)式x2+(15k?15)xy?3y2?20y的同類項(xiàng)合并已完成，不含xy項(xiàng)就是使15k?15為0，即可得出k值．
【詳解】解：由題意可得：15k?15=0，即15k=15，
解得k=1．
故答案為：1
【點(diǎn)睛】此題主要考查了多項(xiàng)式內(nèi)容，關(guān)鍵是理解不含xy項(xiàng)的含義．即合并后的xy項(xiàng)的系數(shù)為0 ．
【變式6-1】（2023春·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若多項(xiàng)式(k?5)x2?3x+1中不含x2項(xiàng)，則k的值為 ．
【答案】5
【分析】根據(jù)不含某項(xiàng)即該項(xiàng)的系數(shù)為0進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵(k?5)x2?3x+1中不含x2項(xiàng)，
∴k?5=0，
∴k=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式項(xiàng)中的系數(shù)求值，熟知不含某項(xiàng)即該項(xiàng)的系數(shù)為0是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果整式xm+nx是關(guān)于x的二次單項(xiàng)式，則（ ）．
A．m=0，n=0B．m=2，n=1C．m=0，n=1D．m=2，n=0
【答案】D
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)和次數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：∵整式xm+nx是關(guān)于x的二次單項(xiàng)式，
∴m=2，n=0．
故選：D
【點(diǎn)睛】此題主要考查了多項(xiàng)式，關(guān)鍵是掌握一個(gè)多項(xiàng)式含有a個(gè)單項(xiàng)式，次數(shù)是b，那么這個(gè)多項(xiàng)式就叫b次a項(xiàng)式．
【變式6-3】（2023春·北京東城·七年級(jí)北京市第五中學(xué)分校?？计谥校┤绻囗?xiàng)式x4?a?1x3+5x2+b+3x?1不含x3和x項(xiàng)，則ab= ．
【答案】-3
【分析】根據(jù)題意得出x3和x項(xiàng)的系數(shù)為0，即?a?1=0，b+3=0，解方程求出a和b的值，代入即可求出ab的值．
【詳解】∵x4?a?1x3+5x2+b+3x?1不含x3和x項(xiàng)，
∴?a?1=0，b+3=0，
解得：a=1，b=?3，
∴ab=1×?3=?3．
故答案為：-3．
【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是多項(xiàng)式不含有的項(xiàng)的系數(shù)為零．
【題型7 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式中的結(jié)論開放性問題】
【例7】（2023春·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）寫出一個(gè)單項(xiàng)式，要求：此單項(xiàng)式含有字母a、b，系數(shù)是負(fù)數(shù)，次數(shù)是3．我寫的單項(xiàng)式為 ．
【答案】答案不唯一，如：﹣ab2
【分析】單項(xiàng)式的次數(shù)是字母部分的次數(shù)和,系數(shù)是數(shù)字部分,據(jù)此即可解題.
【詳解】解：這個(gè)單項(xiàng)式可以是﹣ab2,答案不唯一.
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的定義,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉單項(xiàng)式的概念是解題關(guān)鍵.
【變式7-1】（2023春·甘肅平?jīng)觥て吣昙?jí)校考期中）小馬虎在抄寫一個(gè)5次單項(xiàng)式?23xy□z□時(shí)，誤把字母y、z上的指數(shù)給漏掉了，原單項(xiàng)式可能是 （填一個(gè)即可）．
【答案】?23xy2z2或?23xy3z或?23xyz3
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)是單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)之和即得．
【詳解】解：∵單項(xiàng)式?23xy□z□的次數(shù)是5
∴y、z上的指數(shù)之和為5?1=4
∴有三種情況：?23xy2z2或?23xy3z或?23xyz3
故答案為：?23xy2z2或?23xy3z或?23xyz3
【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式的次數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是理解單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)之和是單項(xiàng)式的次數(shù)．
【變式7-2】（2023春·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考期中）請(qǐng)你寫出一個(gè)只含x的整式，滿足當(dāng)x=﹣2時(shí)，它的值等于3．你寫的整式是 ．
【答案】?32x，答案不唯一
【分析】直接利用已知結(jié)合整式的定義：多項(xiàng)式和單項(xiàng)式的統(tǒng)稱，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意可得：?32x（答案不唯一），當(dāng)x＝-2時(shí)，?32x=3．
故答案為：?32x（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式，正確理解整式的定義是解題關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）任意寫出一個(gè)含有字母m，n的三次四項(xiàng)式，其中最高次項(xiàng)的系數(shù)為6，常數(shù)項(xiàng)為-8的式子為 ．
【答案】6m3?2mn+n2?8（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三次四項(xiàng)式、最高次項(xiàng)的系數(shù)為6，常數(shù)項(xiàng)?8可寫出所求多項(xiàng)式，只要符合題意即可．
【詳解】解：∵一個(gè)含有字母m,n三次四項(xiàng)式，其中最高次項(xiàng)的系數(shù)為6，常數(shù)項(xiàng)為?8，
此多項(xiàng)式是：6m3?2mn+n2?8．
故答案是：6m3?2mn+n2?8．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式中系數(shù)、最高次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)的概念．
【題型8 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式綜合運(yùn)用】
【例8】（2023春·廣西河池·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x，y的多項(xiàng)式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四項(xiàng)式，單項(xiàng)式3x2ny5–m的次數(shù)與這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)相同，求m-n的值．
【答案】1
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四項(xiàng)式知2+m+1=6，求得m的值，根據(jù)單項(xiàng)式3x2ny5-m的次數(shù)與這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)相同知2n+5-m=6，求得n的值，再代入計(jì)算可得．
【詳解】解：因?yàn)槎囗?xiàng)式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四項(xiàng)式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因?yàn)閱雾?xiàng)式6x2ny5–m的次數(shù)也是六次，
所以2n+5-m=6，
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式次數(shù)的判斷，得出m、n的值，難度一般．
【變式8-1】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知多項(xiàng)式xa+1y2?x3+x2y?1是關(guān)于x、y的五次四項(xiàng)式，單項(xiàng)式?8x2y3z的次數(shù)為b，c是最小的正整數(shù)，求a?bc+1的值．
【答案】16
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式xa+1y2?x3+x2y?1是五次四項(xiàng)式，可得a+1=3，a=2，由單項(xiàng)式?8x2y3z的次數(shù)為b，c是最小的正整數(shù)，得出b=6，c=1，代入即可得出答案．
【詳解】∵多項(xiàng)式xa+1y2?x3+x2y?1是五次四項(xiàng)式，
∴a+1=3，a=2．
∵單項(xiàng)式?8x2y3z的次數(shù)為b，c是最小的正整數(shù)，
∴b=6，c=1，
∴a?bc+1=2?61+1=?42=16．
∴a?bc+1的值為16．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式、單項(xiàng)式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的定義．
【變式8-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知單項(xiàng)式3x2yn的次數(shù)為5，多項(xiàng)式6+x2y﹣12x2﹣16x2ym+3的次數(shù)為6，求單項(xiàng)式（m+n）xmyn的次數(shù)與系數(shù)的和．
【答案】8
【分析】根據(jù)已知求出m、n的值，把m、n的值代入單項(xiàng)式，求出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)，即可得出答案．
【詳解】解：∵單項(xiàng)式3x2yn的次數(shù)為5，多項(xiàng)式6＋x2y?12x2?16x2ym＋3的次數(shù)為6，
∴2＋n＝5，2＋m＋3＝6，
解得：m＝1，n＝3，
∴（m＋n）xmyn＝4xy3，
系數(shù)是4，次數(shù)是1＋3＝4，
4＋4＝8，
即單項(xiàng)式（m＋n）xmyn的次數(shù)與系數(shù)的和是8．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式和單項(xiàng)式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力．
【變式8-3】（2023春·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知多項(xiàng)式?3x2ym+1?2x2y2+4y2+8是五次四項(xiàng)式，單項(xiàng)式5xny的次數(shù)與該多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)相同，求mn的值．
【答案】6
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)，單項(xiàng)式的次數(shù)列等式求出m，n，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)多項(xiàng)式?3x2ym+1?2x2y2+4y2+8是五次四項(xiàng)式，
有2+m+1=5，解得m=2，
根據(jù)單項(xiàng)式5xny的次數(shù)與?3x2ym+1?2x2y2+4y2+8的二次項(xiàng)系數(shù)相同，
即有n+1=4，解得n=3，
則有：mn=2×3=6，
即值為6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式和單項(xiàng)式的次數(shù)，掌握多項(xiàng)式和單項(xiàng)式次數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．
【題型9 與整式有關(guān)的規(guī)律探究題】
【例9】（2023春·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一組按規(guī)律排列的式子：?2，52，?83，114，??．第n個(gè)式子是______（n為正整數(shù)）（ ）
A．(?1)n+13n?1nB．(?1)n3n?1n+1C．(?1)n2n+1nD．(?1)n3n?1n
【答案】D
【分析】觀察各式子可以得到分子滿足3n?1，分母是連續(xù)整數(shù)n，符號(hào)為奇數(shù)位負(fù)，偶數(shù)為正，即為(?1)n+1，按要求寫出公式即可．
【詳解】解：?2=?21，52，?83，114，……的分子相差3，故分子滿足3n?1，分母是連續(xù)整數(shù)n，符號(hào)為奇數(shù)位負(fù)，偶數(shù)為正，即為(?1)n，
∴第n個(gè)式子是(?1)n3n?1n，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律問題，通過觀察得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）觀察下列數(shù)：1x2，?1x3，1x4，?1x5，…，按此規(guī)律排列，第十個(gè)數(shù)為 ．
【答案】?1x11
【分析】先通過觀察數(shù)字的變化規(guī)律得出第n個(gè)數(shù)是(?1)n+1?1xn+1，再把n等于10代入即可．
【詳解】解：由1x2，?1x3，1x4，?1x5，…可得：
第n個(gè)數(shù)是：(?1)n+1?1xn+1 ，
則第十個(gè)數(shù)為(?1)10+1? 1x10+1 = ?1x11．
故答案為：?1x11．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化問題，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，在找規(guī)律時(shí)首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的解題的關(guān)鍵是把數(shù)據(jù)的分母用n表示出來．
【變式9-2】（2023春·遼寧錦州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一組按規(guī)律排列的兩項(xiàng)式：a?b，a2?b3，a3?b5，a4?b7，…，則第2023個(gè)兩項(xiàng)式為 ．
【答案】a2023?b4045
【分析】把已知的多項(xiàng)式看成由兩個(gè)單項(xiàng)式組成，分別找出兩個(gè)單項(xiàng)式的規(guī)律，也就知道了多項(xiàng)式的規(guī)律．
【詳解】解：多項(xiàng)式的第一項(xiàng)a的指數(shù)依次為：1，2，3，4，…，
第二項(xiàng)b的指數(shù)依次為：1，3，5，7，…，（2×1?1=1，2×2?1=3，2×3?1=5，2×4?1=7，…，）且系數(shù)都是?1，
∴第n個(gè)式子是：an?b2n?1，
當(dāng)n=2023時(shí)，這個(gè)二項(xiàng)式為a2023?b4045．
故答案為：a2023?b4045．
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式，本題屬于找規(guī)律的題目，把多項(xiàng)式分成幾個(gè)單項(xiàng)式的和，分別找出各單項(xiàng)式的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2023春·山西忻州·七年級(jí)校考期中）觀察下列多項(xiàng)式：2a?b，4a+b2，8a?b3，16a+b4，…，按此規(guī)律，則可得到第2023個(gè)多項(xiàng)式是 ．
【答案】22021a?b2021
【分析】把已知的多項(xiàng)式看成由兩個(gè)單項(xiàng)式組成，分別找出兩個(gè)單項(xiàng)式的規(guī)律，也就知道了多項(xiàng)式的規(guī)律．
【詳解】解：多項(xiàng)式的第一項(xiàng)依次是2a，4a，8a，16a，…2na，
第二項(xiàng)依次是?b，b2，?b3…(?1)nbn，
則可以得到第2023個(gè)多項(xiàng)式是22021a?b2021．
故答案為：22021a?b2021．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式，本題屬于找規(guī)律的題目，把多項(xiàng)式分成幾個(gè)單項(xiàng)式的和，分別找出各單項(xiàng)式的規(guī)律是解決這類問題的關(guān)鍵．
【題型10 列整式解決實(shí)際問題】
【例10】（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）甲、乙兩家體育用品商店出售同樣的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定價(jià)40元，乒乓球每盒定價(jià)5元，現(xiàn)兩家商店搞促銷活動(dòng)，甲店的優(yōu)惠辦法是：每買一副乒乓球拍贈(zèng)兩盒乒乓球；乙店的優(yōu)惠辦法是：全部商品按定價(jià)的8.5折出售．某班需購(gòu)買乒乓球拍4副和x盒乒乓球．
(1)當(dāng)x>8時(shí)，分別求在這兩家商店購(gòu)買所需支付的費(fèi)用．（用含x的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)x=20時(shí)，分別計(jì)算在這兩家商店購(gòu)買所需支付的費(fèi)用，如果這兩種方案可以同時(shí)使用，請(qǐng)幫助該班設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案，并計(jì)算此方案所需支付的費(fèi)用．
【答案】(1)甲商店費(fèi)用為：5x+120元，乙商店費(fèi)用為：4.25x+136元；
(2)甲店費(fèi)用220元，乙店費(fèi)用221元；先在甲商店購(gòu)買4副乒乓球拍，再在乙商店購(gòu)買12盒乒乓球，所需支付的費(fèi)用為211元．
【分析】（1）根據(jù)優(yōu)惠方案結(jié)合金額=單價(jià)×數(shù)量列式即可得到答案；
（2）將x=20代入（1）中代數(shù)式求解，即可得到答案.
【詳解】（1）解：由題意可得，
甲商店費(fèi)用：40×4+5x?8=5x+120元，
乙商店費(fèi)用：0.85×40×4+5x=4.25x+136元，
∴甲商店費(fèi)用為：5x+120元，乙商店費(fèi)用為：4.25x+136元；
（2）解：當(dāng)x=20時(shí)，
甲商店：5×20+120=220（元），
乙商店：4.25×20+136=221（元），
如果兩種方案能同時(shí)使用，可先在甲商店購(gòu)買4副乒乓球拍，再在乙商店購(gòu)買12盒乒乓球，此時(shí)最省錢，
所需支付的費(fèi)用為：40×4+0.85×5×20?8=211（元）．
【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式及求值，解題的關(guān)鍵是從題干中找到數(shù)量關(guān)系，列出代數(shù)式．
【變式10-1】（2023春·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某公園的門票價(jià)格是：成人票每張10元，學(xué)生票每張5元，一個(gè)旅游團(tuán)有成人x人，學(xué)生y人．
（1）該旅游團(tuán)應(yīng)付多少門票費(fèi)？
（2）如果該旅游團(tuán)有30個(gè)成人和15個(gè)學(xué)生，那么他們應(yīng)付多少門票費(fèi)？
【答案】(10x+5y)元；（2）375元
【分析】（1）根據(jù)旅游團(tuán)應(yīng)付的門票費(fèi)=成人的單人票價(jià)×成人人數(shù)＋學(xué)生的單人票價(jià)×學(xué)生人數(shù)即可得出結(jié)論；
（2）將x=30,y=15代入（1）中代數(shù)式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意可知：該旅游團(tuán)應(yīng)付門票費(fèi)為(10x+5y)元
答：該旅游團(tuán)應(yīng)付(10x+5y)元．
（2）當(dāng)x=30,y=15時(shí)，
10x+5y=10×30+5×15=375
答：他們應(yīng)付375元門票費(fèi)．
【點(diǎn)睛】此題考查的是用代數(shù)式表示實(shí)際意義和求代數(shù)式的值，掌握實(shí)際問題中的等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2011秋·山東·七年級(jí)統(tǒng)考期中）今年十月份，為方便民眾出行，連江縣成立了出租車公司，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)5元，可乘坐3千米；3千米之后每千米加收1.8元.若某人乘坐了x千米，
（1）用代數(shù)式表示他應(yīng)支付的費(fèi)用；
（2）若他乘坐了13千米，應(yīng)支付多少元？
【答案】（1）①當(dāng)0﹤x≦3時(shí)：5，②當(dāng)x﹥3時(shí)：5+1.8（x-3）（2）23
【分析】（1）根據(jù)題意分兩種情況①當(dāng)0＜x≤3與②當(dāng)x＞3寫出代數(shù)式即可；（2）把x=13代入即可求出.
【詳解】（1） ①當(dāng)0＜x≦3時(shí)：支付的費(fèi)用為5，
②當(dāng)x＞3時(shí)：支付的費(fèi)用為5+1.8（x-3）
（2）當(dāng)x=13時(shí)，費(fèi)用為5+1.8×（13-3）
=5 +1.8×10
=5+18
=23
【變式10-3】（2023春·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某超市新進(jìn)了一批百香果，進(jìn)價(jià)為每斤8元，為了合理定價(jià)，在前五天試行機(jī)動(dòng)價(jià)格，售出時(shí)每斤以10元為標(biāo)準(zhǔn)，超出10元的部分記為正，不足10元的部分記為負(fù)，超市記錄的前五天百香果的銷售單價(jià)和銷售數(shù)量如下表所示，
(1)前5天售賣中，單價(jià)最高的是第___________天；單價(jià)最高的一天比單價(jià)最低的一天多___________元；
(2)求前5天售出百香果的總利潤(rùn)；
(3)該超市為了促銷這種百香果，決定推出一種優(yōu)惠方案：購(gòu)買不超過6斤百香果，每斤12元，超出6斤的部分，每斤9.6元．若嘉嘉在該超市買x(x>6)斤百香果，用含x的式子表示嘉嘉的付款金額．
【答案】(1)3，5
(2)前5天售出百香果的總利潤(rùn)為200元
(3)付款金額為9.6x+14.4元
【分析】（1）根據(jù)+3>+2>+1>?1>?2得前5天售賣中，單價(jià)最高的是第3天；根據(jù)+3?(?2)=5得價(jià)最高的一天比單價(jià)最低的一天多5元；
（2）以10元為標(biāo)準(zhǔn)每斤百香果所獲的利潤(rùn)為2元，則前5天售出百香果的總利潤(rùn)為20×(1+2)+35×(?2+2)+10×(3+2)+30×(?1+2)+15×(2+2)，進(jìn)行計(jì)算即可得；
（3）根據(jù)題意得12×6+9.6(x?6)，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】（1）解：∵+3>+2>+1>?1>?2，
∴前5天售賣中，單價(jià)最高的是第3天；
∵+3?(?2)=5
∴價(jià)最高的一天比單價(jià)最低的一天多5元，
故答案為：3，5；
（2）解：以10元為標(biāo)準(zhǔn)每斤百香果所獲的利潤(rùn)為10?8=2（元），
前5天售出百香果的總利潤(rùn)為：20×(1+2)+35×(?2+2)+10×(3+2)+30×(?1+2)+15×(2+2)
= 20×3+35×0+10×5+30×1+15×4
= 200（元），
答：前5天售出百香果的總利潤(rùn)為200元；
（3）解：根據(jù)題意得，12×6+9.6(x?6)=9.6x+14.4元，
即嘉嘉在該超市買x(x>6)斤百香果，付款金額為9.6x+14.4元．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)比較大小，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，解題意的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)，正確計(jì)算．第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
銷售單價(jià)（元）
+1
?2
+3
?1
+2
銷售數(shù)量（斤）
20
35
10
30
15

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