2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
第02講 排列、組合
目錄
知識點1、排列與排列數(shù)
（1）定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．
（2）排列數(shù)的公式：．
特例：當(dāng)時，；規(guī)定：．
（3）排列數(shù)的性質(zhì)：
①；②；③．
（4）解排列應(yīng)用題的基本思路：
通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計算；而在進(jìn)行含字母算式化簡或證明時，多用．
知識點2、組合與組合數(shù)
（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．
（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)
求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：
第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；
第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；
因此．
這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．
注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．
（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．
（4）組合應(yīng)用題的常見題型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型
知識點3、排列和組合的區(qū)別
組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．
注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進(jìn)行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．
知識點4、解決排列組合綜合問題的一般過程
1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；
2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步；
3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；
4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．
【解題方法總結(jié)】
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯位排列公式
3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．
題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．1或3D．
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模），則等于 ．
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)） ．
變式3．（2023·高三課時練習(xí)）已知，則 .
變式4．（2023·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）若，則
變式5．（2023·全國·高三對口高考）計算的值為 .
題型二：直接法
例4．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（ ）
A．360B．480C．600D．720
例5．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2023賽季中國高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎儀式上，女籃隊員12人（其中1人為隊長），教練組3人，站成一排照相，要求隊長必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（ ）
A．120B．60C．40D．30
變式6．（2023·全國·高三對口高考）要排出某班一天中語文，數(shù)學(xué)，政治，英語，體育，藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．24B．72C．144D．288
變式7．（2023·全國·高三對口高考）運輸公司從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，到，，，，這五個不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求地只能派男司機，地只能派女司機，則不同的方案種數(shù)是（ ）
A．360B．720C．1080D．2160
變式8．（2023·全國·高三對口高考）從編號為1，2，3，4，5的5個球中任取4個，放在編號為A，B，C，D的4個盒子里，每盒一球，且2號球不能放在B盒中的不同的方法數(shù)是（ ）
A．24B．48C．54D．96
變式9．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（ ）
A．144B．864C．1728D．2880
題型三：間接法
例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）個點將半圓分成段弧，以個點（包括個端點）為頂點的三角形中鈍角三角形有（ ）個
A．B．C．D．
例8．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）甲?乙?丙?丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（ ）
A．65B．73C．70D．60.
例9．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)校聯(lián)考二模）從正360邊形的頂點中取若干個，依次連接，構(gòu)成的正多邊形的個數(shù)為（ ）
A．360B．630C．1170D．840
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（ ）．
A．1860種B．3696種C．3600種D．3648種
題型四：捆綁法
例10．（2023·四川內(nèi)江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲和乙相鄰，丙不站在兩端，則不同的排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．36種D．48種
例11．（2023·江西宜春·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學(xué)術(shù)大師.浙江大學(xué)?復(fù)旦大學(xué)?武漢大學(xué)?中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已知某班級有共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（ ）
A．24種B．60種C．96種D．240種
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某個單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（ ）
A．504種B．960種C．1008種D．1200種
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年春節(jié)在北京工作的五個家庭，開車搭伴一起回老家過年，若五輛車分別為，五輛車隨機排成一排，則車與車相鄰，車與車不相鄰的排法有（ ）
A．36種B．42種C．48種D．60種
變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為慶祝廣益中學(xué)建校130周年，高二年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動，活動結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（ ）種.
A．40B．24C．20D．12
題型五：插空法
例13．（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知來自甲、乙、丙三個學(xué)校的5名學(xué)生參加演講比賽，其中三個學(xué)校的學(xué)生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學(xué)校的學(xué)生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（ ）
A．40B．36C．56D．48
例14．（2023·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（ ）
A．12B．36C．48D．72
例15．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校考開學(xué)考試）五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，則可排成不同的音序種數(shù)為（ ）
A．72B．28C．24D．32
變式13．（2023·全國·高三對口高考）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排．若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為（ ）
A．36B．42C．48D．60
變式14．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）某校舉行文藝匯演，甲、乙、丙等6名同學(xué)站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共有（ ）
A．72種B．144種C．288種D．432種
變式15．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）北京地處中國北部?華北平原北部，東與天津毗連，其余方向均與河北相鄰，是世界著名古都，也是國務(wù)院批復(fù)確定的中國政治中心?文化中心?國際交往中心?科技創(chuàng)新中心.為了感受這座古今中外聞名的城市，某學(xué)生決定在高考后游覽北京，計劃6天游覽故宮?八達(dá)嶺長城?頤和園?“水立方”?“鳥巢”?798藝術(shù)區(qū)?首都博物館7個景點，如果每天至少游覽一個景點，且“水立方”和“鳥巢”在同一天游覽，故宮和八達(dá)嶺長城不在相鄰兩天游覽，那么不同的游覽順序共有（ ）
A．120種B．240種C．480種D．960種
變式16．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）一排有8個座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（ ）
A．120種B．60種C．40種D．20種
題型六：定序問題（先選后排）
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）滿足，且的有序數(shù)組共有（ ）個.
A．B．C．D．
例17．（2023·高二課時練習(xí)）已知，則滿足的有序數(shù)組共有（ ）個
A．B．C．D．
例18．（2023·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校校考期中）五人并排站在一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（ ）
A．60種B．48種C．36種D．24種
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（ ）
A．20B．40C．60D．120
變式18．（2023·江蘇揚州·高三?？计谀┗?，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為_________
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）
變式20．（2023·高二課時練習(xí)）7人排隊，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有__不同的排法.
題型七：列舉法
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)是（ ）
A．28B．24C．20D．16
例20．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）已知字母，，各有兩個，現(xiàn)將這6個字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如），則不同的排法共有（ ）種
A．36B．30C．24D．16
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走了幾個單位，如果擲出的點數(shù)為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點處的所有不同走法共有（ ）
A．21種B．22種C．25種D．27種
變式21．（2023·海南海口·統(tǒng)考一模）形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字，千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可組成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個數(shù)為
A．20B．18C．16D．11
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．
題型八：多面手問題
例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）種不同的選法．
A．B．C．D．
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225B．185C．145D．110
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．26種B．30種C．37種D．42種
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．56種B．68種
C．74種D．92種
題型九：錯位排列
例25．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（ ）
A．72B．108C．144D．196
例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（ ）
A．10種B．20種C．30種D．60種
例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式24．（2023·廣東廣州·高二廣州奧林匹克中學(xué)校考階段練習(xí)）將編號為1?2?3?4?5?6的六個小球放入編號為1?2?3?4?5?6的六個盒子里，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數(shù)是（ ）
A．20B．40C．120D．240
題型十：涂色問題
例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有 種.
例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對正方體的6個面進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色可供選擇.要求每個面只涂一種顏色，且有公共棱的兩個面不同色，則總的涂色方法個數(shù)為 （填寫數(shù)字）
例30．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某城市休閑公園管理人員擬對一塊圓環(huán)區(qū)域進(jìn)行改造封閉式種植鮮花，該圓環(huán)區(qū)域被等分為5個部分，每個部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進(jìn)行栽植．要求相鄰區(qū)域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有 種．

變式25．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中有一個3乘3方格圖（小正方形邊長為1），一共有十六個紅色的格點，游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個點的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個點由紅色改成綠色，則這個點周圍與之相鄰的點也要從原來的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個點也要變成綠色，那么最少需要 步，才能使得位于直線上的四個點變成綠色，而其他點都是紅色.
變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，現(xiàn)要對某公園的4個區(qū)域進(jìn)行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有 種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.
變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）七巧板是古代勞動人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形?一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域涂不同顏色，一共有 種不同的涂色方法．
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個區(qū)域涂色，每種顏色至少使用一次，每個區(qū)域僅涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同，則區(qū)域，，，和，，，分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有 種；區(qū)域，，，和，，，分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有 種.
題型十一：分組問題
例31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）貴陽一中體育節(jié)中，乒乓球球單打12強中有4個種子選手，將這12人平均分成3個組（每組4個人）、則4個種子選手恰好被分在同一組的分法有（ ）
A．21B．42C．35D．70
例32．（2023·高二課時練習(xí)）把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少1個，至多5個，則不同的分法共有（ ）
A．4種B．5種C．6種D．7種
例33．（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲地點有遠(yuǎn)、近兩處；②由于Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項任務(wù)，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處，那么不同的搜尋方案有（ ）
A．25種B．30種C．40種D．50種
變式30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）將12個不同的物體分成3組，每組4個，則不同的分法種數(shù)為（ ）.
A．34650B．5940C．495D．5775
變式31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）某中學(xué)要給三個班級補發(fā)8套教具，先將其分成3堆，其中一堆4套，另兩堆每堆2套，則不同的分堆方法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式32．（2023·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將6名同學(xué)分成兩個學(xué)習(xí)小組，每組至少兩人，則不同的分組方法共有___________種.
題型十二：分配問題
例34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書.
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有 種不同的分配方式；
（2）甲?乙?丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有 種不同的分配方式；
（3）平均分成三份，每份2本，有 種不同的分配方式；
（4）平均分配給甲?乙?丙三人，每人2本，有 種不同的分配方式；
（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有 種不同的分配方式；
（6）甲?乙?丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有 種不同的分配方式；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有 種不同的分配方式.
例35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有 種．（用數(shù)字作答）
例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)計劃安排A，B，C，D，E五名教師教這六門課程，每名教師至少教一門課程，每門課程只配一名教師，且教師A不教“圍棋”，教師B只能教一門課程，則滿足條件的課程安排的種數(shù)為 ．
變式33．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）綿陽中學(xué)食堂，以其花樣繁多的飯菜種類和令人難忘的色香味使大批學(xué)子醉倒在它的餐盤之下，學(xué)子們不約而同地將其命名為“遠(yuǎn)航大酒樓”．“遠(yuǎn)航大酒樓”共三層樓，5名高一新同學(xué)相約到食堂就餐，為看盡食堂所有美食種類，他們打算分為三組去往不同的樓層．其中甲同學(xué)不去二樓，則一共有 種不同的分配方式．
變式34．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了貫徹落實中央新疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，某市派出了包括甲、乙在內(nèi)的5名專家型教師援疆，現(xiàn)將這5名教師分配到新疆的A、B、C、D四所學(xué)校，要求每所學(xué)校至少安排一位教師，則在甲志愿者被安排到A學(xué)校有 種安排方法．
變式35．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）8個完全相同的球放入編號1，2，3的三個空盒中，要求放入后3個盒子不空且數(shù)量均不同，則有 種放法.
變式36．（2023·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）為了落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某校開設(shè)三門德育校本課程，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法有 .
題型十三：隔板法
例37．（2023·云南紅河·統(tǒng)考三模）某校將個三好學(xué)生名額分配到高三年級的個班，每班至少個名額，則共有多少種不同的分配方案（ ）
A．15B．20C．10D．30
例38．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）學(xué)校決定把個參觀航天博物館的名額給三（1）?三（2）?三（3）?三（4）四個班級.要求每個班分別的名額不比班級序號少，即三（1）班至少個名額，三（2）班至少個名額，……，則分配方案有（ ）
A．種B．種C．種D．種
例39．（2023·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（ ）
A．28B．24C．18D．16
變式37．（2023·江蘇蘇州·高二吳縣中學(xué)校考期中）學(xué)校有6個優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則有（ ）種分配方案．
A．135B．10C．75D．120
變式38．（2023·全國·高二期末）方程的正整數(shù)解共有（ ）組
A．165B．120C．38D．35
題型十四：數(shù)字排列
例40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．36B．48C．60D．72
例41．（2023·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)字、、組成五位數(shù)，且數(shù)字、、至少都出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共有（ ）個
A．B．C．D．
例42．（2023·北京·高二北京八中?？计谀┯萌齻€數(shù)字組成一個四位數(shù)，要求每個數(shù)字至少出現(xiàn)一次，共可組成個不同的四位數(shù)__________（用數(shù)字作答）.
變式39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有___________.個（用數(shù)字作答）.
變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個．（用數(shù)字作答）
題型十五：幾何問題
例43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從正方體的8個頂點中選取4個作為頂點，可得到四面體的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
例44．（2023·高二課時練習(xí)）一只螞蟻從正四面體的頂點出發(fā)，沿著正四面體的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機的，則螞蟻第1秒后到點，第4秒后又回到點的不同爬行路線有（ ）
A．6條B．7條C．8條D．9條
例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一只螞蟻從點出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點，再由點沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點，則它可以爬行的不同的最短路徑有（ ）條
A．40B．60C．80D．120
變式41．（2023·全國·高二專題練習(xí)）凸八邊形的對角線有（ ）條
A．20B．28C．48D．56
變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知分子是一種由60個碳原子構(gòu)成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它具有60個頂點和若干個面，.各個面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖.已知其中正六邊形的面為20個，則正五邊形的面為（ ）個.
A．10B．12
C．16D．20
變式43．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)凸n (n≥3)棱錐中任意兩個頂點的連線段的條數(shù)為f(n)，則f(n＋1)－f(n)＝( )
A．n－1B．n
C．n＋1D．n＋2
題型十六：分解法模型與最短路徑問題
例46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？
A．6B．8C．10D．12
例47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（ ）條．
A．23B．24C．25D．26
例48．（2023·廣東惠州·高三校考期末）如圖，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（ ）
A．23 條B．24 條C．25條D．26 條
變式44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個大正方體（由個大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（ ）
A．種B．種
C．種D．種
變式45．（2023·高二課時練習(xí)）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有（ ）
A．6種B．8種
C．36種D．48種
變式46．（2023·廣東惠州·高二?？计谥校┫聢D是某項工程的網(wǎng)絡(luò)圖(單位:天)，則從開始節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑共有（ ）
A．14條B．12條C．9條D．7條
變式47．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的5個交匯處，今在道路網(wǎng)M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止，則（ ）
A．甲從M到達(dá)N處的走法有70種
B．甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的走法有12種
C．若甲、乙兩人途中在處相遇，則共有144種走法
D．若甲、乙兩人在行走途中會相遇，則共有1810種走法
甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在處相遇，他們在處相遇的走法有種，
則，故D正確．
故選：AD．
變式48．（2023·高二課時練習(xí)） 5400的正約數(shù)有______個
變式49．（2023·上海嘉定·高二校考期中）正整數(shù)2022有______個不同的正約數(shù)．
題型十七：排隊問題
例49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊共名隊員（紅隊人，黃隊人）合照，要求人站成一排，紅隊人中有且只有名隊員相鄰，則不同排隊的方法共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
例50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）七輛汽車排成一縱隊，要求甲車、乙車、丙車均不排隊頭或隊尾且各不相鄰，則排法有（ ）
A．48種B．72種C．90種D．144種
例51．（2023·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有（ ）
A．種B．種C．種D．種
變式50．（2023·全國·高二專題練習(xí)）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數(shù)．
(1)選5名同學(xué)排成一排；
(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端；
(3)全體站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全體站成一排，男生排在一起；
(6)全體站成一排，男生彼此不相鄰；
(7)全體站成一排，男生各不相鄰、女生各不相鄰；
(8)全體站成一排，甲、乙中間有2個人；
(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(10)全體站成一排，乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊．
題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型
例52．（2023·天津河?xùn)|·高二統(tǒng)考期末）九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具.它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下關(guān)于九連環(huán)的名句“縱妙手、能解連環(huán).”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)1次，解下2個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán) 2 次，記 為解下個圓環(huán)需要移動圓環(huán)的最少次數(shù)，且，則解下 8 個圓環(huán)所需要移動圓環(huán)的最 少次數(shù)為（ ）
A．30B．90C．170D．341
例53．（2023·福建福州·高三統(tǒng)考期中）三名籃球運動員甲、乙、丙進(jìn)行傳球訓(xùn)練，由丙開始傳，經(jīng)過次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（ ）
A．4種B．10種
C．12種D．22種
例54．（多選題）（2023·河北滄州·高二滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面說法正確的是（ ）
A．進(jìn)入第二個格子走法有2種
B．進(jìn)入第二個格子走法有1種
C．進(jìn)入第三個格子走法有2種
D．進(jìn)入第八個格子走法有21種
變式51．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，滿足條件的關(guān)燈方法有______種.
變式52．（2023·浙江·高三競賽）馬路上有編號為1，2，，2011的2011只路燈.為節(jié)約用電，要求關(guān)閉其中的300只燈，但不能同時關(guān)閉相鄰兩只，也不能關(guān)閉兩端的路燈.則滿足條件的關(guān)燈方法共有______.（用組合數(shù)符合表示）.
題型十九：環(huán)排問題
例55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報數(shù)，報數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數(shù)．那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數(shù)的次數(shù)為（ ）
A．19B．38C．51D．57
例56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（ ）
A．60種B．48種C．30種D．24種
例57．（2023·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學(xué)?？计谥校┈F(xiàn)有8個人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式53．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習(xí)）如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（ ）.
A．40320種B．5040種C．20160種D．2520種
變式54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．
1．（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有
A．30種B．60種C．120種D．240種
2．（2023?甲卷）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為
A．120B．60C．40D．30
3．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有
A．種B．種
C．種D．種
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）理解排列、組合的概念．
（2）能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．
（3）能利用排列組合解決簡單的實際問題．
2023年乙卷（理）第7題，5分
2023年甲卷（理）第9題，5分
2023年II卷第3題，5分
2023年I卷第13題，5分
從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，也是高考?？純?nèi)容，以考查基本概念和基本方法為主，涉及特殊元素與特殊位置、兩元索相鄰或不相鄰、分組、分配等問題，分值為5分．本節(jié)內(nèi)容與生活實際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)留意常見的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意識．

相關(guān)試卷

第02講 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（五大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）：

這是一份第02講 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（五大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考），文件包含第02講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析五大題型講義原卷版docx、第02講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析五大題型講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共78頁， 歡迎下載使用。

第01講 統(tǒng)計（八大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）：

這是一份第01講 統(tǒng)計（八大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考），文件包含第01講統(tǒng)計八大題型講義原卷版docx、第01講統(tǒng)計八大題型講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共72頁， 歡迎下載使用。

第05講+數(shù)列求和（九大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）：

這是一份第05講+數(shù)列求和（九大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考），文件包含第05講數(shù)列求和九大題型講義原卷版docx、第05講數(shù)列求和九大題型講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共73頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第02講 三角恒等變換（九大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）

第02講 三角恒等變換（九大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）
第02講 排列、組合（十九大題型）（講義）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)（新教材新高考）

第02講 排列、組合（十九大題型）（講義）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)（新教材新高考）
第02講 三角恒等變換（九大題型）（講義）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

第02講 三角恒等變換（九大題型）（講義）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）
第02講 排列與組合 (精講）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

第02講 排列與組合 (精講）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部