第02講 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（五大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學一輪復習講義（新教材新高考）

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2、精練習題。復習時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應在老師的指導下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次。
第02講 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
目錄
知識點一、變量間的相關(guān)關(guān)系
1、變量之間的相關(guān)關(guān)系
當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系．由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著非常重要的作用．我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷．
注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．
2、散點圖
將樣本中的個數(shù)據(jù)點描在平面直角坐標系中，所得圖形叫做散點圖．根據(jù)散點圖中點的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關(guān)系．
（1）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；
（2）如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負相關(guān)，如圖（2）所示．
3、相關(guān)系數(shù)
若相應于變量的取值，變量的觀測值為，則變量與的相關(guān)系數(shù)，通常用來衡量與之間的線性關(guān)系的強弱，的范圍為．
（1）當時，表示兩個變量正相關(guān)；當時，表示兩個變量負相關(guān)．
（2）越接近，表示兩個變量的線性相關(guān)性越強；越接近，表示兩個變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上．
（3）通常當時，認為兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系．
知識點二、線性回歸
1、線性回歸
線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．
對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為
其中，，，（，）稱為樣本點的中心．
2、殘差分析
對于預報變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值等于殘差，稱為相應于點的殘差，即有．殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．
（1）殘差圖
通過殘差分析，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．
（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．
（3）相關(guān)指數(shù)
用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：．
越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．
知識點三、非線性回歸
解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．
求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測，注意計算要細心，避免計算錯誤．
1、建立非線性回歸模型的基本步驟：
（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；
（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；
（3）由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；
（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；
（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；
（6）消去新元，得到非線性回歸方程；
（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．
知識點四、獨立性檢驗
1、分類變量和列聯(lián)表
（1）分類變量：
變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．
（2）列聯(lián)表：
①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．
②2×2列聯(lián)表．
一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為
從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關(guān)系．
2、等高條形圖
（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．
（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系．
3、獨立性檢驗
計算隨機變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗．
【解題方法總結(jié)】
常見的非線性回歸模型
（1）指數(shù)函數(shù)型（且，）
兩邊取自然對數(shù)，，即，
令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．
（2）對數(shù)函數(shù)型
令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．
（3）冪函數(shù)型
兩邊取常用對數(shù)，，即，
令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．
（4）二次函數(shù)型
令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．
（5）反比例函數(shù)型型
令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．
題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系
例1．（2023·河北·高三校聯(lián)考期末）下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，
帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，顯然D選項的擬合精度最高.
故選：D.
例2．（2023·天津薊州·高三校考開學考試）對兩個變量，進行線性相關(guān)檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)，對兩個變量，進行線性相關(guān)檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A．變量與正相關(guān)，變量與負相關(guān)，變量與的線性相關(guān)性較強
B．變量與負相關(guān)，變量與正相關(guān)，變量與的線性相關(guān)性較強
C．變量與正相關(guān)，變量與負相關(guān)，變量與的線性相關(guān)性較強
D．變量與負相關(guān)，變量與正相關(guān)，變量與的線性相關(guān)性較強
【答案】C
【解析】因為線性相關(guān)系數(shù)，所以，正相關(guān)，
因為線性相關(guān)系數(shù)，所以，負相關(guān)，
又因為，所以變量，的線性相關(guān)性比，的線性相關(guān)性強，
故A、B、D錯誤，C正確.
故選：C.
例3．（2023·寧夏吳忠·高三鹽池高級中學?？茧A段練習）在如圖所示的散點圖中，若去掉點，則下列說法正確的是（ ）

A．樣本相關(guān)系數(shù)變大
B．變量與變量的相關(guān)程度變?nèi)?br>C．變量與變量呈正相關(guān)
D．變量與變量的相關(guān)程度變強
【答案】D
【解析】由散點圖知，自變量與因變量呈負相關(guān)，即，故C錯誤；
去掉點后，進一步接近1，所以變小，故A錯誤；
去掉點后，與的線性相關(guān)加強，即相關(guān)程度變強，故B錯誤，D正確．
故選：D．
變式1．（2023·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習）已知建筑地基沉降預測對于保證施工安全，實現(xiàn)信息化監(jiān)控有著重要意義．某工程師建立了四個函數(shù)模型來模擬建筑地基沉降隨時間的變化趨勢，并用相關(guān)指數(shù)、誤差平方和、均方根值三個指標來衡量擬合效果．相關(guān)指數(shù)越接近1表明模型的擬合效果越好，誤差平方和越小表明誤差越小，均方根值越小越好．依此判斷下面指標對應的模型擬合效果最好的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】相關(guān)指數(shù)越接近于1，擬合效果越好，比較相關(guān)指數(shù)知，可選C，D，
誤差平方和及均方根值都越小，擬合效果越好，觀察誤差平方和和均方根值，知C的擬合效果最好．
故選：C.
變式2．（2023·高三課時練習）甲、乙、丙、丁四位同學各自對，A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表:
則能體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】在驗證兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系中，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，
在四個選項中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大，
殘差平方和越小，相關(guān)性越強，只有丁的殘差平方和最小，
綜上可知丁的試驗結(jié)果體現(xiàn)、兩變量有更強的線性相關(guān)性，
故選：D．
變式3．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定，殘差應是均值為0、方差為的隨機變量的觀測值.
對于A選項，殘差與觀測時間有線性關(guān)系，故A錯；
對于B選項，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)；故B正確；
對于C選項，殘差與觀測時間有非線性關(guān)系，故C錯；
對于D選項，殘差的方差不是一個常數(shù)，隨著觀測時間變大而變大，故D錯.
故選：B.
變式4．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙、丙、丁四位同學分別對一組變量進行線性相關(guān)試驗，并分別計算出相關(guān)系數(shù)，則線性相關(guān)程度最高的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】因為相關(guān)系數(shù)越大，線性相關(guān)程度越強，
所以線性相關(guān)程度最高的是乙.
故選：B
變式5．（2023·全國·高三專題練習）給出下列有關(guān)線性回歸分析的四個命題：
①線性回歸直線未必過樣本數(shù)據(jù)點的中心；
②回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線；
③當相關(guān)系數(shù)時，兩個變量正相關(guān)；
④如果兩個變量的相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)就越接近于.
其中真命題的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】對于①，線性回歸直線一定過樣本數(shù)據(jù)點的中心，故①錯誤；
對于②，回歸直線在散點圖中可能不經(jīng)過任何一個樣本數(shù)據(jù)點，故②錯誤；
對于③，當相關(guān)系數(shù)時，兩個變量正相關(guān)，故③正確；
對于④，如果兩個變量的相關(guān)性越強，則相關(guān)性系數(shù)就越接近于或，故④錯誤.
故真命題的個數(shù)為1，
故選：A.
【解題方法總結(jié)】
判定兩個變量相關(guān)性的方法
（1）畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關(guān)．
（2）樣本相關(guān)系數(shù)：當r>0時，正相關(guān)；當r