2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第02講 三角恒等變換
目錄
知識(shí)點(diǎn)一．兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
知識(shí)點(diǎn)二．二倍角公式
①；
②；
③；
知識(shí)點(diǎn)三：降次（冪）公式
知識(shí)點(diǎn)四：半角公式
知識(shí)點(diǎn)五．輔助角公式
（其中）．
【解題方法總結(jié)】
1、兩角和與差正切公式變形
；
．
2、降冪公式與升冪公式
；
．
3、其他常用變式
．
4、拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
題型一：兩角和與差公式的證明
例1．（浙江省紹興市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題）為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)，.

(1)利用圖中邊長關(guān)系，證明：；
(2)若，求.
例2．（2023·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組研究得到了以下的三倍角公式：
①；②
根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：
(1)在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明：
(2)求值：.
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）(1)試證明差角的余弦公式：；
(2)利用公式推導(dǎo)：
①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；
②倍角公式，，.
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，考慮點(diǎn)，，，，從這個(gè)圖出發(fā).
（1）推導(dǎo)公式：；
（2）利用（1）的結(jié)果證明：，并計(jì)算的值.
變式2．（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí)，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識(shí)來研究，在一定程度上可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式：．具體過程如下：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，．它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B．
則，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有．
設(shè)，的夾角為，則，
另一方面，由圖（1）可知，；
由圖（2）可知，于是，．
所以，也有；
所以，對(duì)于任意角，有：．
此公式給出了任意角，的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作．有了公式以后，我們只要知道，，，的值，就可以求得的值了．
閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點(diǎn)），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）
解決下列問題：
(1)判斷是否正確？（回答“正確”，“不正確”，不需要證明）
(2)證明：．
【解題方法總結(jié)】
推證兩角和與差公式就是要用這兩個(gè)單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數(shù)量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思路．
題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式
例4．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？级＃┮阎?，則（ ）
A．－1B．C．D．
例5．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)），，，則（ ）
A．B．
C．D．
變式3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，則等于（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
變式4．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若，則（ ）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．
題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形
例7．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·上海靜安·高三校考期中）已知、是不同的兩個(gè)銳角，則下列各式中一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例9．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①②B．①④C．①③D．③④
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
變式6．（2023·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（ ）
A．B．
C．D．
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知第二象限角滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．
題型四：角的變換問題
例10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．1D．
例11．（2023·寧夏·高三六盤山高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，則（ ）
A．B．C．D．3
例12．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
變式8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若為銳角，且，則（ ）
A．B．C．D．
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
變式10．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知，則（ ）
A．B．C．或D．0或
變式11．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知，為銳角，且，，則（ ）
A．B．C．D．
變式12．（2023·山東日照·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，，，則（ ）
A．B．C．D．
變式13．（2023·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知?jiǎng)t（ ）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
題型五：給角求值
例13．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）式子化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）計(jì)算：（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求值：（ ）
A．1B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．
（2）給角求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
題型六：給值求值
例16．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知，則________.
例17．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則______．
例18．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則__________.
變式16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則_________
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則________．
【解題方法總結(jié)】
給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時(shí)首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式．
題型七：給值求角
例19．（2023·四川·高三四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？计谥校懗鲆粋€(gè)使等式成立的的值為_______.
例20．（2023·北京·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足方程組，則的一個(gè)值是_______.
例21．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且，，則的值是___________.
變式19．（2023·上海嘉定·高三?？计谥校┤魹殇J角，，則角__________.
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則______．
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，求的值為_____．
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，則________．
【解題方法總結(jié)】
給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角．
題型八：正切恒等式及求非特殊角
例22．（2023·全國·高三對(duì)口高考）的值是__________.
例23．（2023·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，滿足，則______．
例24．（2023·江蘇南通·高三?？计谥校┰谥?，若，則_________.
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）____________．
變式24．（2023·山東·高三濟(jì)寧市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)___________.
變式25．（2023·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若是的內(nèi)角，且，則等于______.
變式26．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，為銳角，且，則__________；__________
變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
正切恒等式：當(dāng)時(shí)，．
證明：因?yàn)椋?，所?br>故．
題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用
例25．（2023·陜西咸陽·?？级＃┮阎瘮?shù)
(1)求函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；
(2)當(dāng)，求函數(shù)的值域．
例26．（2023·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）已知.
(1)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若，求的值.
例27．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時(shí)x的值．
變式28．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)；
(1)若在中，，，求使的角．
(2)求在區(qū)間上的取值范圍；
變式29．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知．若的最小正周期為．
(1)求的表達(dá)式和的遞增區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【解題方法總結(jié)】
（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．
（2）形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性．
1．（2023?新高考Ⅱ）已知為銳角，，則
A．B．C．D．
2．（2023?新高考Ⅰ）已知，，則
A．B．C．D．
3．（2022?新高考Ⅱ）若，則
A．B．C．D．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式
（2）會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式
（3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡單應(yīng)用
（4）能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡單的恒等變換
2023年II卷第7題，5分
2023年I卷II卷第8題，5分
2022年II卷第6題，5分
2021年甲卷（文）第11題，5分
三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上，高考會(huì)側(cè)重綜合推理能力和運(yùn)算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會(huì)有一些它們?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用．
這就需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會(huì)一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用．

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