2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破04 輕松搞定圓錐曲線離心率十九大模型
目錄
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．
2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．
3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．
5、利用判別式建立不等關(guān)系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．
7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．
二、函數(shù)法：
1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；
2、通過確定函數(shù)的定義域；
3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標(biāo)法：
由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．
題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式
例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，由雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，可得橢圓的長(zhǎng)半軸為3a，半焦距為c，設(shè)P為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，設(shè)，，則，可得，
由題意P在以為直徑的圓上，所以，
所以可得，即離心率，
故選：C
例2．（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【解析】因?yàn)椋裕?br>即，
所以，所以.
設(shè)，則，所以，
由得，
所以，所以，
在中，由，
得，所以.
故答案為: .
例3．（2023·海南海口·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)A的直線l與圓相切，與C交于另一點(diǎn)B，且，則C的離心率為（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】A
【解析】顯然圓的圓心為，半徑為，令直線l與圓相切的切點(diǎn)為，連接，
則，有，而，又，因此，解得，
所以雙曲線C的離心率為.
故選：A
變式1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接 ，，，
設(shè)，，結(jié)合橢圓對(duì)稱性得，
由橢圓定義得，，則.
因?yàn)椋?br>則四邊形為平行四邊形，
則，而，故，
則，即，
整理得，在中，，
即，即，
∴，故.
故選：A
變式2．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為
【答案】/
【解析】如圖所示：
設(shè)直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立，
解得，
因?yàn)椋?br>所以，
即，即，
解得，
故答案為：
變式3．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線的左焦點(diǎn)為F，直線與雙曲線C的右支交于點(diǎn)D，A，B為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為 .
【答案】
【解析】由題意得，取中點(diǎn)，連接，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為，連接，
因?yàn)椋裕?br>又A，B為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，即為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以，故，
設(shè)，則，又，
由勾股定理得，則，
由雙曲線定義得，即①，
在Rt中，由勾股定理得，
即②，
由①得，兩邊平方得，
解得或（負(fù)值舍去），
將代入②得，故離心率為.
故答案為：
變式4．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為的左焦點(diǎn)，若的面積為，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題設(shè)知：，則，
所以且，易知：，
又，故，且，
所以，則，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍），
綜上，，故，則離心率為.
故答案為：
變式5．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為 .

【答案】
【解析】如圖所示：
由題意可得，所以，
又因?yàn)?，結(jié)合可知
，
所以，而，即，
所以，所以離心率.
故答案為：.
變式6．（2023·陜西西安·?？既＃┮阎p曲線：的左焦點(diǎn)為，過的直線與圓相切于點(diǎn)，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】由題知，記右焦點(diǎn)為，過做如圖所示，
與圓相切，
，，
，，
為中點(diǎn)，，
故，且相似比為，
即，，
，
，，
在雙曲線中，有，
，
，，
為直角三角形，
，
即，
化簡(jiǎn)可得，上式兩邊同時(shí)平方，將代入可得，
則，即離心率.
故答案為：
變式7．（2023·河北·高三校聯(lián)考期末）雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線交的漸近線于點(diǎn)，恰為的角平分線，則的離心率為 ．
【答案】2
【解析】設(shè)，作出圖像，如下圖：
根據(jù)題意易知，且，又，
所以由勾股定理可得：，
又恰為的角平分線，
所以根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得：，
，又，
，
，即，
，即，
又，
所以解得：.
故答案為：.
題型二：圓錐曲線第一定義
例4．（2023·湖南株洲·高三校考階段練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以為等邊三角形，
則，則，由雙曲線的定義，得，
所以，則．
故答案為：．
例5．（2023·山西大同·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，且四邊形的面積為，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，
所以四邊形為矩形，即，
所以，
由橢圓定義與勾股定理知：，
所以，所以，所以，
即C的離心率為．
故答案為：
例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，焦距為，與坐標(biāo)軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，則，
所以，為等腰直角三角形，
設(shè)，則，
由橢圓的定義可得，
所以，，
所以，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因此，該橢圓的離心率為.
故答案為：.
變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，則是的角平分線，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，設(shè)，
由橢圓定義得，
即，解得，
則，
則，
所以，則，
故答案為：
變式9．（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段恰被軸平分，則的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)交y軸與A，A為的中點(diǎn)，
因?yàn)镺為的中點(diǎn)，故為的中位線，
則，而，則,
因?yàn)橹本€的斜率為，故中，，
故設(shè)，則，
結(jié)合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有，
則，
故選：C
變式10．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線Ε：的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交E于點(diǎn)C，若，，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知，，，
所以為等邊三角形，則，則.
由雙曲線的定義，得，所以，，
則.
故選：A
變式11．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：（，），斜率為的直線l過原點(diǎn)O且與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，P為第二象限上的點(diǎn)，
連接PF，，QF，，
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和直線l的對(duì)稱性知，四邊形為平行四邊形.
因?yàn)橐訮Q為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，
所以，即四邊形為矩形，
由直線l的斜率為，得，
又，則是等邊三角形，所以.
在中，，則，故，
又由雙曲線定義知，所以，
則.
故選：B.
變式12．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．2或B．3或C．2D．3
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的下焦點(diǎn)為，可知，
則，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
由題意可得，且，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以方程，且，解得，
則，所以雙曲線E的離心率為.
故選：D.
變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知延長(zhǎng)則必過點(diǎn),如圖：
由雙曲線的定義知，
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，因此，
從而由得，所以，
則，，，
又因?yàn)椋裕?br>即，即，
故選：B.
變式14．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，
又因?yàn)?，所以?br>所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
由雙曲線的定義可得：，，
又因?yàn)闉橹苯侨切危?br>所以，即，解得，
所以，，
又因?yàn)闉橹苯侨切?，?br>所以，即：，
所以，即.
故選：D.
變式15．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，，且的面積為，則的離心率是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【解析】如圖，若在第一象限，因?yàn)?，所以?br>由圖形的對(duì)稱性知四邊形為矩形，因?yàn)榈拿娣e為，所以，
又因?yàn)椋?，?br>在中，，解得．
故選：B
題型三：圓錐曲線第二定義
例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，
所以.
故選：B
例8．（2023·北京石景山·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為左支上一點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，若、、成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】，
，即①，
又②．
由①②解得：，，
又在焦點(diǎn)三角形中：，
即：，即，
解得：，
又，
，
故選：D．
例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，
過、分別作于，于，于，
如圖所示：
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
∴，，
由雙曲線的第二定義得：，
又∵，
∴，
∴
故選：B
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
例10．（2023·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線：虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
【答案】
【解析】如圖，設(shè)的垂心為，則有,
不妨設(shè),則，
因?yàn)樵跐u近線上，所以，
直線與交于，兩點(diǎn)，
所以，解得，
所以
又因?yàn)?
所以，
整理得，，所以，
故答案為: .
例11．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】，
設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為，
所以，
則，
由直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，
得，
兩式相減得，
即，
所以，
即，所以，
則，
所以，
所以離心率.
故答案為：.
例12．（2023·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，線段的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【解析】
如圖，設(shè)的垂直平分線與交于點(diǎn)，
由題，，，，則，
，，
，
，化簡(jiǎn)得，，
由，解得，
，即.
故答案為：.
變式16．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，，，則且，
兩式相減，得，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以雙曲線的漸近線方程為，即，
因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，可得，又因?yàn)?，所以?br>所以雙曲線的離心率.
故答案為：
變式17．（2023·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上（點(diǎn)異于A，兩點(diǎn)），線段與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，易知，
則，，
又，
所以.
故選：C
題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解
例13．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，由，有，
可得，可得，有.
在Rt中，由，
不妨設(shè)，則，由勾股定理得，
又由雙曲線的定義可得，，
根據(jù)可得，
解得，所以，
在Rt中，，可得，
故雙曲線的離心率為.
故選：B.
例14．（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若的離心率，則使為直角三角形的點(diǎn)有（ ）個(gè)
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】由可得，即，可得，
因此以為直徑作圓與必有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
因此中以的三角形有四個(gè)，
除此之外以為直角，為直角的各有兩個(gè)，
所以存在使為直角三角形的點(diǎn)共有8個(gè).
故選：D
例15．（2023·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)A，若，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令雙曲線的右焦點(diǎn)為，半焦距為c，取線段中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榍袌A于，則，有，
因?yàn)椋瑒t有，，
而為的中點(diǎn)，于是，即，，
在中，，整理得，
所以雙曲線E的離心率.
故選：C
變式18．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知，以為直徑的圓與橢圓相交，所以，
所以，
故選：D.
題型六：利用正弦定理
例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意及正弦定理得：，
令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B
例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
例18．（2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由橢圓的幾何性質(zhì)，知，
所以且，
所以且，
即且，
結(jié)合，可解得．
故答案為：.
變式19．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)校考二模）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M，，，使得離心率，則e取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由，，設(shè)，，在中，由正弦定理有：，
離心率，則：解得：，
由于，得，
顯然成立，
由有，即，得，
所以橢圓離心率取值范圍為．
故答案為：.
變式20．（2023·江西吉安·高三吉安一中?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線：（，）和圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且，其中，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】/
【解析】
由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則，
∴，，，
．
故答案為：
變式21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，曲線與在第一象限交點(diǎn)為，且離心率之積為1.若，則該雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】設(shè)焦距為2c
在三角形PF1F2中，根據(jù)正弦定理可得
因?yàn)?，代入可?br>，所以
在橢圓中，
在雙曲線中，
所以
即
所以
因?yàn)闄E圓與雙曲線的離心率乘積為1
即 ，即
所以
化簡(jiǎn)得，等號(hào)兩邊同時(shí)除以
得，因?yàn)?即為雙曲線離心率
所以若雙曲線離心率為e，則上式可化為
由一元二次方程求根公式可求得
因?yàn)殡p曲線中
所以
題型七：利用余弦定理
例19．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P是C右支上一點(diǎn)，線段與C的左支交于點(diǎn)M．若，且，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是右支上一點(diǎn)，線段與的左支交于點(diǎn)，且，，
所以為等邊三角形，所以
由雙曲線定義得，
又由，解得，
則且，
在中，由余弦定理得，
整理得，所以雙曲線的離心率為.
故答案為：.
例20．（2023·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【解析】由橢圓的性質(zhì)可得，設(shè)，在中根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義可得，
即，
整理可得，即，故.
又，故，，
故，即，，
故，故離心率.
故答案為：
例21．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】如圖，
因?yàn)椋钥稍O(shè)，
又，所以，
由橢圓定義，，即，
又，即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，
所以在中，
，
又在中，，
解得或（舍去）.
故答案為：
變式22．（2023·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】由題意得，，則，，
由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
當(dāng)時(shí)，，得，則，即，
所以，，
，
在中，由余弦定理得，
因?yàn)闉殇J角，所以，
所以，
故選：A
變式23．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線C的離心率是（ ）
A．7B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線C的半焦距為，由題意，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據(jù)雙曲線定義得，解得，故雙曲線C的離心率.
故選：B
變式24．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，直線與交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，因?yàn)椋渣c(diǎn)是的中點(diǎn)，
連接，由，得，
設(shè)，則，，．
由余弦定理得，
即，整理得，
則，故．
故選：D
變式25．（2023·江西撫州·高三黎川縣第二中學(xué)校考開學(xué)考試）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】由題意知點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C：的一條漸近線上，
設(shè)漸近線的傾斜角為，則，即，
結(jié)合，可得，
結(jié)合題意可知，故，
又，，
在中利用余弦定理得，
即，
即，即，
故，解得或（舍去），
故選：B
變式26．（2023·廣西百色·高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，若，，則C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】，，O是的中點(diǎn)，所以，
故由得，
因?yàn)?，，所以?br>在中，，
在中，，
∴，即，
則，離心率為．
故答案為：
變式27．（2023·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，，平分，則C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
可知，，得
設(shè)，則，由雙曲線的定義可知：.
因?yàn)槠椒?，所以，故?br>又，
即有，，，，，
在，中，由余弦定理可得，
，，
由，
可得.
故選：C.
變式28．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且，則C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】雙曲線C的左焦點(diǎn)，漸近線的方程為，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，
由勾股定理得，
在中，，所以，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，即，因此，雙曲線C的離心率為，
故選：C
題型八：內(nèi)切圓問題
例22．（2023·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）雙曲線其左、右焦點(diǎn)分別為，傾斜角為的直線與雙曲線H在第一象限交于點(diǎn)P，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，若，則雙曲線H的離心率的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設(shè)內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，則，
且，
所以，因?yàn)橹本€的傾斜角為，
所以，所以，
因?yàn)椋?br>由雙曲線的定義可知，，所以，
即，所以，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，
則，
由雙曲線的焦半徑公式可得：，
則，因?yàn)?，所以?br>則，即，化簡(jiǎn)可得：，
則雙曲線H的離心率的取值范圍為，
故答案為：.
例23．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成菱形的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】由題設(shè)，內(nèi)切圓半徑為，故，
所以，則，即，
所以，（舍），故.
故答案為：.
例24．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎獧E圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，P為橢圓上一點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），的內(nèi)切圓半徑為r，若r的最大值為，則橢圓的離心率為 .
【答案】/.
【解析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，連接，
，
由題意可得：，
所以當(dāng)取到最大值時(shí)，有最大值，且最大值為，
所以，整理可得：，
兩邊同時(shí)平方可得：，
所以，所以，解得：或（舍去）.
故答案為：
變式29．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右支上有一點(diǎn)M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】?jī)?nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點(diǎn)S，T，N，P
則四邊形、都為正方形，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，
則，則 ，①
又因?yàn)?，?br>且雙曲線定義得，，③
由①、②、③得，
所以，
從而，
由勾股定理，，所以，解得．
故答案為：
變式30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】
設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質(zhì)知，，，
由對(duì)稱性知，
所以，即，
所以，
所以.
故答案為：
變式31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，
設(shè)的面積為，的面積為，因?yàn)椋?br>所以，即，
設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得
，
由韋達(dá)定理得：，
又，即
化簡(jiǎn)可得，即，
即時(shí)，有.
故答案為：
變式32．（2023·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，
設(shè)的面積為，的面積為，因?yàn)椋?br>所以，，即，
設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得
，
所以，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，有.
故答案為：
變式33．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是的內(nèi)切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓的離心率為 .
【答案】/0.5
【解析】
由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方.設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，內(nèi)切圓半徑為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，
則，得，又，
即，又，化簡(jiǎn)得，即，
解得，可得離心率為.
故答案為：.
題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)
例25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，設(shè)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，利用余弦定理得到，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，得到，代入求解.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，
交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，
則，
又，，故，，
所以，
化簡(jiǎn)得，
即 .
故選：B
例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為,雙曲線的實(shí)半軸為,半焦距為,設(shè),,,橢圓與雙曲線的離心率分別為，
,由余弦定理可得，,即,即 ①,
在橢圓中，由定義得, ①化簡(jiǎn)可得,即,等式兩邊同除,得,即 ②
在雙曲線中，由定義得,①化簡(jiǎn)可得,即,等式兩邊同除,得,即 ③
聯(lián)立②③得,即,
故選B
例27．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．若，則
C．若，則的最小值為2D．
【答案】ACD
【解析】依題意，，解得，A不正確；
令，由余弦定理得： ，
當(dāng)時(shí)，，即，因此，B正確；
當(dāng)時(shí)，，即，有，
而，則有，解得，C不正確；
，
，于是得，
解得，而，因此，D不正確.
故選：ACD
變式34．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是橢圓與雙曲線（）在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則的最小值為2
D．
【答案】AB
【解析】對(duì)A：由橢圓和雙曲線的定義：，故，故A正確；
對(duì)B：在中，由余弦定理：
即，故時(shí)，，故B正確；
對(duì)C：時(shí)，，由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
，所以等號(hào)取不到，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：對(duì)△，將其視作是橢圓中的焦點(diǎn)三角形，
則由余弦定理可得，
解得，故 ，
同理，將△視作雙曲線中的焦點(diǎn)三角形，則，
則，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
變式35．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．若，則
C．若，則的最小值為2D．
【答案】ABD
【解析】由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，，A正確；
在中，由余弦定理得：，
整理得，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，B正確；
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，而，C不正確；
在橢圓中，，即，
在雙曲線中，，即，
于是得，而，則，D正確.
故選：ABD
變式36．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）在中，，，，橢圓和雙曲線以A，B為公共焦點(diǎn)且都經(jīng)過點(diǎn)C，則與的離心率之和為 ．
【答案】/
【解析】如圖所示，
在△ABC中，由，，，得，
所以，
由題意可得橢圓與雙曲線的焦距為，
又因?yàn)闄E圓的，雙曲線的，
所以兩個(gè)曲線的離心率之和為：，
故答案為：.
題型十：利用最大頂角
例28．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：，點(diǎn)，是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如圖：
當(dāng)P在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，
則，
所以，
即，，
所以，
則，
所以橢圓的離心率的取值范圍是，
故選：A
例29．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)A，B是橢圓C：長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
由橢圓的對(duì)稱性得,所以，
所以，
所以橢圓的離心率，
因?yàn)闄E圓的離心率.
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可得.
綜合得.
故選：B
例30．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】連接，當(dāng)不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線、分別與圓切于點(diǎn)A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
連接，則，∴．
又是上任意一點(diǎn)，則，
又，∴，
則由，得，
又，∴．
故選：C．
變式37．（2023·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為，
，
點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，
又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，
該圓內(nèi)含于橢圓，即，，
，．
故選：A．
題型十一：基本不等式
例31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設(shè)，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，
故選：B
例32．（2023·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可設(shè)直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，即，
則，，因?yàn)椋?br>所以
，
所以，則，解得，
故選：A.
例33．（2023·山西運(yùn)城·高三期末）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對(duì)稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
∵直線l上存在點(diǎn)P滿足
∴
即，
∴，即，
所以，
故橢圓離心率的最大值為.
故答案為：.
題型十二：已知范圍
例34．（2023·四川省南充市白塔中學(xué)高三開學(xué)考試）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知點(diǎn)、、、，則線段的方程為，
在線段上取一點(diǎn)，滿足，則，
，，
所以，，
整理可得，
由題意可知，關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根，
則，可得，可得，
所以，.
故選：D.
例35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)，
，因?yàn)椋?br>所以，即，
結(jié)合可得，所以.
故選：B.
例36．（2023·全國(guó)·高三開學(xué)考試）設(shè)，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若橢圓E上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，由橢圓的方程可得，，，
則，即，
由P在橢圓上可得，所以，
所以可得，所以，
由，所以，整理可得：，，
可得：.
故選：B
題型十三：
例37．（2023·江蘇·海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
設(shè)點(diǎn)，可得，
則，解得，
由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.
故選：C.
例38．（2023·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得，則該離心率e的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令 ，則根據(jù)橢圓的焦半徑公式可得 ，
所以根據(jù)題意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因?yàn)镻在橢圓上，
所以 ，即，
因?yàn)?，所以，
即 ，解得 ，
而橢圓離心率范圍為 ，故 .
故選：A
例39．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，
而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
即，即，則，即.
故選：D．
題型十四：中點(diǎn)弦
例40．（2023·全國(guó)·高三開學(xué)考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則C的離心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：設(shè)，則，
所以，又AB的中點(diǎn)為，
所以，所以，由題意知，
所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
法二：直線AB過點(diǎn)，斜率為1，所以其方程為，即，
代入并整理得，
因?yàn)闉榫€段AB的中點(diǎn)，所以，整理得，
所以C的離心率.故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
例41．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，，由題意得，，兩式相減，得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且直線的傾斜角為，所以．設(shè)，則，過作軸，垂足為，則，，由題易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．
故選：B
例42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓()的右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】設(shè)，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題意可得，，
將，的坐標(biāo)的代入橢圓的方程：，
作差可得，
所以，
又因?yàn)殡x心率，，所以，
所以，即直線的斜率為，
故選：A.
題型十五：已知焦點(diǎn)三角形兩底角
例43．（2023·廣西·江南中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，分別是橢圓：的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若在上存在點(diǎn)使，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，且滿足，所以，，所以、，所以，所以；
故選：B
例44．（多選題）（2023·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【解析】∵，則離心率，則排除A；
記，，，
則，
由正弦定理結(jié)合分比定理可知：，
則，
所以B，C是正確的，D不正確.
故選：BC.
例45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在以為直徑的圓上，，
，，，，
由雙曲線定義知：，即，
；
，，，
則，，
即雙曲線離心率的取值范圍為.
故選：D.
題型十六：利用漸近線的斜率
例46．（2023·云南紅河·高三開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】/
【解析】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，
直線
為雙曲線的通徑，則
由得，則，
由得，則
由得：
即
所以，
所以離心率
故答案為：
例47．（2023·四川內(nèi)江·高三期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，兩點(diǎn)到軸的距離之和為，若以為直徑的圓過線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率的平方為 ．
【答案】
【解析】由題意可設(shè)：直線，，，中點(diǎn)，
兩點(diǎn)到軸的距離之和為，；
由得：，，
以為直徑的圓的方程為，，
解得：或（舍）；
，解得：；
，
，即，.
故答案為：.
例48．（2023·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為 .
【答案】/
【解析】雙曲線的漸近線的方程為.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
故該圓的圓心為，半徑為2，
而圓心到漸近線的距離為，
故漸近線被該圓截得的弦長(zhǎng)為，
整理得到：或，
而，故，故離心率為.
故答案為：.
變式38．（2023·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，連接交另一條漸近線于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為 .
【答案】2
【解析】如下圖所示：
易知，則過點(diǎn)作軸的垂線方程為，
不妨設(shè)與漸近線交于點(diǎn)，則可得，
又可得，為的中點(diǎn)，即；
又在另一條漸近線上，即，解得；
所以雙曲線的離心率為.
故答案為：2
變式39．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的一條漸近線上的兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），．若為的左頂點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)椋裕躁P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以四邊形為平行四邊形，
又，所以四邊形為矩形，因?yàn)橐詾橹睆降膱A的方程為，
不妨設(shè)所在的漸近線方程為，則，
由，解得或，不妨設(shè)，
因?yàn)闉殡p曲線的左頂點(diǎn)，所以，
所以，
又，由余弦定理得，
即，整理得，
所以離心率．
故答案為：．
變式40．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎?，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于兩點(diǎn).若，則C的離心率為 .
【答案】/
【解析】根據(jù)雙曲線C：的對(duì)稱性以及其兩條漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，
不妨設(shè)M在第一象限，
可知點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則，
設(shè)，則，
即，則，
由題意得直線的方程為，
聯(lián)立，即得，故,
則，
所以C的離心率為，
故答案為：
變式41．（2023·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知為原點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)，過作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點(diǎn)分別為，平行四邊形的面積為1，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則，漸近線方程為，點(diǎn)P到直線距離為，由及得，所以平行四邊形OBPA面積為離心率為
變式42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓：（）的右焦點(diǎn)，A為橢圓的下頂點(diǎn)，雙曲線：（，）與橢圓共焦點(diǎn)，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)的半焦距為c（），則，又，
所以，又直線與的一條漸近線平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
即的最小值為．
故答案為：
變式43．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┻^雙曲線：的右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【解析】
如圖①，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，所以，在中，，設(shè)
，，，因?yàn)椋裕?br>又，所以，所以，，，，
則，則，且
即，解得，所以
如圖②，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，則，，在中，，
設(shè)，，，因?yàn)?，所以?br>又，所以，所以，，，，
則，，，所以
，則，所以
，即，解得，所以.
故選：B
變式44．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知雙曲線()，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，若與的面積相等(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】與的面積相等，為的中點(diǎn)，
故為等腰直角三角形，
，，，
即，，，
故選：C．
變式45．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，過平行于的一條漸近線的直線交于點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過作一條與平行的直線交于點(diǎn)，
則根據(jù)題意有，
解得：，
雙曲線的離心率，
雙曲線的離心率為，
同理坐標(biāo)是或者作一條與平行的直線也可以得到離心率為.
故答案為：.
題型十七：坐標(biāo)法
例49．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過作的垂線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，是雙曲線的右頂點(diǎn)，連接，，并延長(zhǎng)分別交軸于點(diǎn)，.若點(diǎn)在以為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】由得，
不妨設(shè)，而，
所以直線的方程為，
令得，則，同理可求得，
所以以為直徑的圓的方程為，
將代入上式得：
，
即，則.
故答案為：
例50．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，橢圓：()的右焦點(diǎn)為F，離心率為e，點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，，．若，則離心率e的最小值是 ．

【答案】
【解析】∵點(diǎn)P是上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，∴，設(shè)直線OP的斜率為k，則．
由可得，故，∴，
∵，故，
∴，解得，
∵對(duì)任意的恒成立，故，
整理得到對(duì)任意的恒成立，
故只需，即，即，故離心率e最小值為．
故答案為：
例51．（2023·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】D
【解析】由題意知直線的方程為，令，得，所以．
又因?yàn)?，不妨設(shè)，所以有，
解得，所以，將其代入雙曲線方程，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），
所以的離心率．
故選：D.
變式46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】/0.5
【解析】因?yàn)閮A斜角為的直線過點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為: , ,
線段的中點(diǎn),
聯(lián)立 ，化為，
，
，
的垂直平分線為:,
令 , 解得 ,.
,
,則 ,
橢圓的離心率為,
故答案為:.
變式47．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由令，得，
由于與軸平行，且在第一象限，所以.
由于，
所以，
即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，
，
，
所以離心率.
故選：B
變式48．（2023·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】雙曲線的右焦點(diǎn),
設(shè)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，
由題意知，，解得.
又知，解得，
所以，即，
所以雙曲線C的離心率是
故選：C.
變式49．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考開學(xué)考試）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，直線分別交橢圓于點(diǎn)A，B，若，則橢圓離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：
易知，不妨設(shè)，，易知，由可得，即
同理由可得；
將兩點(diǎn)代入橢圓方程可得；
即，又，整理得
解得，
所以離心率；
故選：D
變式50．（2023·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，，過點(diǎn)所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，
所以直線方程可寫為，聯(lián)立方程，
可得，，
根據(jù)韋達(dá)定理：，，
因?yàn)?，即，所以?br>所以，
即，所以，聯(lián)立，
可得，.
故選：C
變式51．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】雙曲線：的漸近線方程為.
設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.
因?yàn)?，所以，即，可?
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，
將代入，可得，
由，所以，所以，即，
化簡(jiǎn)得，則，所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
變式52．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在軸上方）.關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若，，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
設(shè)分別以O(shè)F，EF，OE為底，高為h，
則，
因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，即，
設(shè)直線AB的方程為：，
聯(lián)立，消去y得，
由韋達(dá)定理得：，
直線BD的方程為：，
令得，，則，
則，即為，
則，即，
即，
解得，則，
故選：D
變式53．（2023·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，線段為半徑作圓，與的右支的一個(gè)交點(diǎn)為A，若，則的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知，且為銳角，
故，
而，故，
將代入中，
得，結(jié)合整理得，
即，解得或,
由于雙曲線離心率，故舍去，
故，
故選：D
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
例52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】依題意，點(diǎn)在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點(diǎn)重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而點(diǎn)P在雙曲線M的右支上，即，從而有，
點(diǎn)P在雙曲線M的右支上運(yùn)動(dòng)，并且異于頂點(diǎn)，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.
故答案為：
例53．（2023·吉林長(zhǎng)春·二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由雙曲線定義可知，，，結(jié)合 可得，從而，又因?yàn)殡p曲線的離心率大于 ，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.
例54．（2023·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由條件得，所以，即，
又因?yàn)?，所以?br>即，得，
又，所以．
故選：C
變式54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，
解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
故答案為：.
變式55．（2023·河南·信陽高中高三期末）若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，其中分別是的左、右焦點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】，，
又，，
解得，則.
故答案為
題型十九：四心問題
例55．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，M是雙曲線C右支上一點(diǎn)，記的重心為G，內(nèi)心為I．若，則雙曲線C的離心率為 ．
【答案】2
【解析】如圖，連接MG，MI并延長(zhǎng)，與分別交于點(diǎn)O，D，
設(shè)雙曲線C的焦距為2c，由題意，得，
因?yàn)?，且G為重心，則，所以，
因?yàn)镮為的內(nèi)心，所以MD為的平分線，
所以，所以，
又，所以，，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則M到x軸的距離為3r，
因?yàn)?，?br>所以，所以，所以雙曲線C的離心率．
故答案為：2．
例56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率為 .
【答案】/
【解析】因?yàn)镚為△重心，是中線且滿足，
即，故,
所以，
且，，又，
，
在△中應(yīng)用余弦定理得,
所以，則.
故答案為: .
例57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知坐標(biāo)平面xOy中，點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)D，且D為的中點(diǎn)，點(diǎn)I為的外心，若O、I、D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，，
不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，則，
由D為的中點(diǎn)，O、I、D三點(diǎn)共線知直線OD垂直平分，
則，有，且，
解得，，所以，
將即，代入雙曲線的方程，
得，化簡(jiǎn)可得，即；
當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同理可得．
故答案為：.
變式56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在C的右支上，且點(diǎn)恰好為的外心，若，則C的離心率為 .
【答案】
【解析】取的中點(diǎn)為C，連接BC、、，如圖所示：
因?yàn)?，所以?br>又C為的中點(diǎn)，所以為等腰三角形且，
因?yàn)辄c(diǎn)恰好為的外心，所以點(diǎn)在直線BC上，且，
由雙曲線的定義知，則，
所以為等邊三角形，則，
在中，即，化簡(jiǎn)得，
同時(shí)除以可得，解得或(舍去).
故答案為：
變式57．（2023·山西太原·高三山西大附中?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設(shè)半焦距為，
由題意知，
，
所以，
所以，
雙曲線.
記的內(nèi)切圓與邊，，分別相切于點(diǎn)，
則橫坐標(biāo)相等，
則，，，
由，
即，
得，
即，
記的橫坐標(biāo)為，
則，
于是，得，
同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸.
設(shè)直線的傾斜角為，
則，
在中，
，
由于直線與的右支有2個(gè)交點(diǎn)，且一條漸近線的斜率為，傾斜角為，
可得，
即，
可得的范圍是.
故答案為：.
變式58．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓E以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左，右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，過P作橢圓的切線，若，且的垂心恰好為坐標(biāo)原點(diǎn)O，記橢圓E的離心率為e，則的值為 .
【答案】
【解析】設(shè)橢圓方程為，則，
設(shè)，故，
因?yàn)榈拇剐那『脼樽鴺?biāo)原點(diǎn)O，
所以，，即，
即，，
下面證明橢圓在處的切線方程斜率為，理由如下：
因?yàn)闀r(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡(jiǎn)得：
，
即，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，，
所以，即，
即，解得：，
所以，化簡(jiǎn)得：，即，設(shè)，
同除以得：，
即，故，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
即，即，
因?yàn)?，所以，即?br>將代入中，可得：，即
所以，
設(shè)橢圓方程為，此時(shí)，
同理可得：，
此時(shí)橢圓在處的切線方程斜率為，
所以，化簡(jiǎn)得：，設(shè)，
同除以得：，
即，故，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
即，即，
因?yàn)椋?，即?br>將代入中，可得：，
所以（舍去）；
故答案為：.

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